H157. Une réunion post-confinement Dans cette salle

H157. Une réunion post-confinement

Dans cette salle 𝑆 qui réunit trente-six personnes, toute personne connaît ⁽¹⁾ exactement le même nombre 𝑘 de participants.

Dans toute paire de personnes qui se connaissent, on constate que l’une et l’autre ont exactement quatre connaissances communes dans 𝑆 et dans toute paire de personnes qui ne se connaissent pas, l’une et l’autre ont exactement deux connaissances communes dans 𝑆.

Déterminer 𝑘.

(1) Nota : évidemment, si A connaît B, B connaît A.

Solution

Théorème

Si un graphe 𝑆 = (𝑉, 𝐸) vérifie les propriétés suivantes :

- Il possède 𝑣 sommets, [1]

- Tout sommet a exactement 𝑘 voisins, [2]

- Toute paire de sommets adjacents ont exactement 𝜆 voisins communs, [3]

- Toute paire de sommets non-adjacents ont exactement 𝜇 voisins communs, [4]

Alors nécessairement :

(𝑣 − 𝑘 − 1) 𝜇 = 𝑘 (𝑘 − 𝜆 − 1)

Preuve

Choisissons un sommet 𝑋 de 𝑉. Notons 𝑌 l’ensemble des sommets adjacents à 𝑋. Notons 𝑍 l’ensemble des sommets différents de 𝑋 et n’appartenant pas à 𝑌. On a 𝑉 = {𝑋} ⊔ 𝑌 ⊔ 𝑍 (union disjointe).

Notons 𝑛 le nombre total d’arêtes de 𝐸 qui relient les sommets de 𝑌 aux sommets de 𝑍. On obtient l’égalité souhaitée en dénombrant 𝑛 de deux façons différentes.

D’après [2], 𝑋 a exactement 𝑘 voisins donc 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑌) = 𝑘. D’après [3], chaque sommet de 𝑌 est adjacent à 𝑋 et a donc exactement 𝜆 voisins communs avec 𝑋, c'est-à-dire dans 𝑌. D’après (2), chaque sommet de 𝑌 a donc exactement (𝑘 − 𝜆 − 1) voisins différents de 𝑋 qui ne sont pas dans 𝑌, autrement dit dans 𝑍. On a finalement 𝑛 = 𝑘 (𝑘 − 𝜆 − 1).

D’après [1], 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑍) = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑉) − 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑌) − 𝐶𝑎𝑟𝑑({𝑋}) = (𝑣 − 𝑘 − 1). D’après [4], tout élément non- adjacent à 𝑋, c'est-à-dire dans 𝑍, a exactement 𝜇 voisins communs avec 𝑋, c’est dire dans 𝑌. On a finalement 𝑛 = (𝑣 − 𝑘 − 1) 𝜇.

Application

En appliquant le théorème aux données du problème, 𝑣 = 36, 𝜆 = 4, 𝜇 = 2, il vient : (36 − 𝑘 − 1) × 2 = 𝑘(𝑘 − 4 − 1)

𝑘²− 3𝑘 − 70 = 0 (𝑘 + 7)(𝑘 − 10) = 0 On en conclut que nécessairement 𝑘 = 10.

Chaque personne connait exactement 10 autres participants.