Cette grille est proposée par Jean-Michel BERNARD Elle concerne la résolution d'une équation du second degré (x - x

F158. Nombres croisés - Grille n°58

Cette grille est proposée par Jean-Michel BERNARD

Elle concerne la résolution d'une équation du second degré (x - x

)*(x - x

)où x

et x

sont les racines.

Elle contient un nombre premier de Mersenne de la forme Mp = 2

- 1 et deux nombres premiers dits "sexy" de la forme p et p + 6.

Tous les nombres sont différents.

Aucun nombre ne commence par zéro.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A)

(B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I)

Horizontalement

A1 Racine x

de l'équation (x-x

)*(x-x

) = 0 A2 Facteur premier de x

B1 Puissance p d'un nombre

où p est la puissance de Mersenne de C2

C1 Racine x2 de l'équation (x-x

)*(x-x

) = 0 avec x

> x

C2 Facteur premier de x

égal à un nombre de Mersenne : C2 = 2

-1 D1 Puissance du dernier chiffre de I1

E1 Somme des racines : x

+ x

E2 Facteur premier de x

F1 Cube d'un nombre premier G1 Produit des racines : x

*x

H1 Carré

H2 Facteur premier de x

, sexy de E2, avec H2 supérieur à E2

I1 Discriminant de l'équation (x-x

)*(x-x

) = 0

Verticalement a1 Nombre premier

b1 Produit de cinq nombres premiers c1 Nombre premier

d1 Nombre premier

e1 Produit de quatre nombres premiers f1 Cube

g1 Nombre premier h1 Multiple de 16 i1 Nombre premier

1. (C2)

Il existe 3 nombres de Mersenne de 3 chiffres : 127 = 2⁷ - 1, 255 = 2⁸ - 1 et 511 = 2⁹ - 1 Seul 127 est premier, donc (C2) = 127

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A)

(B)

(C) 1 2 7

(D) (E) (F) (G) (H) (I)

Au passage, on note que (B) est une puissance 7^ème :

n 14 15 16 17 18

(B) 105 413 504 170 859 375 268 435 456 410 338 673 612 220 032

2. (A1) = x₁, (A2)

x1 = (A1) = (C2) x (A2) x k = 127 x (A2) x p avec (A2) premier,

x1 = 5 chiffres,

(A2) =3 chiffres et différent de 127 déjà placé sur la grille (A1) et (A2) sans zéro.

On trouve 170 valeurs possibles pour x₁ = (A1)

(C2) (A2) k (A1) (C2) (A2) k (A1) (C2) (A2) k (A1) (C2) (A2) k (A1) (C2) (A2) k (A1) (C2) (A2) k (A1) (C2) (A2) k (A1) 127 101 1 12 827 127 131 1 16 637 127 157 1 19 939 127 211 1 26 797 127 281 1 35 687 127 383 1 48 641 127 601 1 76 327

2 25 654 2 33 274 2 39 878 2 53 594 2 71 374 2 97 282 127 613 1 77 851

3 38 481 3 49 911 3 59 817 127 223 1 28 321 127 283 1 35 941 127 409 1 51 943 127 617 1 78 359

5 64 135 4 66 548 4 79 756 2 56 642 2 71 882 127 419 1 53 213 127 619 1 78 613

6 76 962 5 83 185 5 99 695 3 84 963 127 293 1 37 211 127 421 1 53 467 127 643 1 81 661

7 89 789 6 99 822 2 42 418 127 227 1 28 829 2 74 422 127 431 1 54 737 127 647 1 82 169

2 26 162 127 137 1 17 399 3 63 627 2 57 658 127 307 1 38 989 127 433 1 54 991 127 653 1 82 931

3 39 243 2 34 798 4 84 836 3 86 487 2 77 978 127 439 1 55 753 127 659 1 83 693

4 52 324 3 52 197 127 173 1 21 971 2 58 166 127 311 1 39 497 127 443 1 56 261 127 661 1 83 947

6 78 486 4 69 596 2 43 942 3 87 249 2 78 994 127 461 1 58 547 127 673 1 85 471

7 91 567 5 86 995 3 65 913 127 233 1 29 591 127 313 1 39 751 127 487 1 61 849 127 677 1 85 979 127 107 1 13 589 127 139 1 17 653 4 87 884 2 59 182 127 337 1 42 799 127 491 1 62 357 127 683 1 86 741

2 27 178 3 52 959 127 179 1 22 733 3 88 773 2 85 598 127 499 1 63 373 127 691 1 87 757

4 54 356 5 88 265 2 45 466 2 61 214 2 88 138 127 503 1 63 881 127 719 1 91 313

5 67 945 127 149 1 18 923 3 68 199 3 91 821 127 349 1 44 323 127 509 1 64 643 127 727 1 92 329 6 81 534 2 37 846 127 181 1 22 987 127 251 1 31 877 2 88 646 127 521 1 66 167 127 739 1 93 853

7 95 123 3 56 769 2 45 974 2 63 754 127 353 1 44 831 127 523 1 66 421 127 743 1 94 361

127 109 1 13 843 4 75 692 3 68 961 3 95 631 2 89 662 127 547 1 69 469 127 751 1 95 377

2 27 686 5 94 615 4 91 948 127 257 1 32 639 127 359 1 45 593 127 569 1 72 263 127 757 1 96 139 3 41 529 127 151 1 19 177 127 191 1 24 257 2 65 278 2 91 186 127 571 1 72 517 127 761 1 96 647

4 55 372 2 38 354 2 48 514 3 97 917 2 93 218 127 577 1 73 279 127 769 1 97 663

5 69 215 3 57 531 3 72 771 127 269 1 34 163 127 373 1 47 371 127 587 1 74 549 127 773 1 98 171 127 113 1 14 351 5 95 885 127 193 1 24 511 2 68 326 2 94 742 127 593 1 75 311 127 787 1 99 949

5 71 755 3 73 533 127 271 1 34 417 127 379 1 48 133

127 199 1 25 273 2 68 834 2 96 266

3 75 819 127 277 1 35 179

3. (C1) = x2, (E2) ,(H2)

x2 = (C1) = (E2) x (H2) x k, avec

(E2) et (H2) premiers sexy, tous deux de 3 chiffres (E2) x (H2) x k = 5 chiffres

On trouve 57 valeurs possibles pour x2 = (C1)

(E2) (H2) k (C1) (E2) (H2) k (C1) (E2) (H2) k (C1) (E2) (H2) k (C1) 101 107 1 10 807 107 113 1 12 091 157 163 1 25 591 223 229 1 51 067

2 21 614 2 24 182 2 51 182 227 233 1 52 891 3 32 421 3 36 273 3 76 773 233 239 1 55 687 4 43 228 4 48 364 167 173 1 28 891 251 257 1 64 507 5 54 035 5 60 455 2 57 782 257 263 1 67 591 6 64 842 6 72 546 3 86 673 263 269 1 70 747 7 75 649 7 84 637 173 179 1 30 967 271 277 1 75 067 8 86 456 8 96 728 2 61 934 277 283 1 78 391 9 97 263 131 137 1 17 947 3 92 901 307 313 1 96 091 103 109 1 11 227 2 35 894 191 197 1 37 627 311 317 1 98 587

2 22 454 3 53 841 2 75 254

3 33 681 4 71 788 193 199 1 38 407

4 44 908 5 89 735 2 76 814

5 56 135 151 157 1 23 707 6 67 362 2 47 414 7 78 589 3 71 121 8 89 816 4 94 828

4. (I1)

Soit (E1) = (A1) + (C1) = x1 + x2 = S et (G1) = (A1).(C1) = x1 . x2 = P (I1) le discriminant vaut S² - 4P

On calcule donc tous les couples (x1 , x2), puis, pour chacun, S, P, et S² - 4P

avec x1 < x2 , S = 5 chiffres, P = 9 chiffres et S² - 4P = 8 chiffres, dont les 4 premiers et 7ème sont tous impairs, puisque dernier chiffre d'un nombre premier, ou d'un produit de nombres premiers, et le huitième pair puisque dernier chiffre d'un multiple de 16.

et, on ne trouve aucune solution. Alors on vérifie tous les calculs, tous les programmes, puis on les revérifie, etc...

jusqu'à ce qu'on comprenne, il était temps, que le produit de nombres premiers est pair, avec 2 comme facteur. Ouf!

On obtient une unique solution :

(A1) = x1 (C1) = x1 S = (E1) = x1 + x2 (G1) = P = x1 . x2 (I1) = Delta 14 351 17 947 32 298 257 557 397 12 931 216

Ce qui donne (A2) = 113, (E2) = 131 et (H2) = 137, en se référant aux tableaux précédents.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 3 5 1 1 1 3 (B)

(C) 1 7 9 4 7 1 2 7 (D)

(E) 3 2 2 9 8 1 3 1 (F)

(G) 2 5 7 5 5 7 3 9 7

(H) 1 3 7

(I) 1 2 9 3 1 2 1 6 5. (F) et (D1)

(F) est un cube de chiffres se terminant par 7, donc (F) = 27

(D1) est une puissance du dernier chiffre de I1, donc de 6, et un tableur donne 6¹⁰ = 362 797 056, seul nombre de 9 chiffres.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 3 5 1 1 1 3 (B)

(C) 1 7 9 4 7 1 2 7 (D) 3 6 2 7 9 7 0 5 6 (E) 3 2 2 9 8 1 3 1

(F) 2

(G) 2 5 7 5 5 7 3 9 7

(H) 1 3 7

(I) 1 2 9 3 1 2 1 6

6. Le reste

En fonction de tous les chiffres connus, on recherche les valeurs possibles de :

• (a1) nombre premier : 49 possibilités

• (c1) nombre premier : 44 possibilités

• (d1) nombre premier : 38 possibilités

• (g1) nombre premier : 5 possibilités

• (h1) multiple de 16 : 20 possibilités

• (i1) nombre premier de 8 chiffres : 7 possibilités

• (B) puissance 7^ème : 5 possibilités (voir plus haut)

• (F) Cube d'un nombre premier : 11 possibilités

• (H1) carré de 4 chiffres : 68 possibilités

(a1) (c1) (d1) (g1) (h1) (i1) (B) (F) (H1)

111 330 251 309 221 779 524 790 593 101 018 311 102 531 936 32 761 277 105 413 504 109 902 239 1 024 4 356 111 331 291 309 222 709 524 792 503 101 019 311 102 533 936 32 761 777 170 859 375 131 872 229 1 089 4 489 111 332 231 309 223 769 524 792 573 131 010 311 102 535 936 32 761 877 268 435 456 202 262 003 1 156 4 624 111 332 281 309 224 759 524 793 593 151 010 311 102 537 936 35 761 177 410 338 673 344 472 101 1 225 4 761 111 333 241 309 224 789 524 794 513 161 019 311 102 539 936 35 761 577 612 220 032 393 832 837 1 296 4 900 111 333 251 309 227 719 524 795 503 132 531 936 36 761 177 410 172 407 1 369 5 041 111 334 231 309 227 729 524 795 533 132 533 936 36 761 377 569 722 789 1 444 5 184 111 335 251 309 228 779 524 795 573 132 535 936 629 422 793 1 521 5 329 111 337 201 309 229 759 524 797 513 132 537 936 746 142 643 1 600 5 476 111 337 211 329 221 729 524 798 503 132 539 936 949 862 087 1 681 5 625 111 337 231 329 223 749 524 798 543 152 531 936 973 242 271 1 764 5 776

111 337 271 329 223 779 544 790 513 152 533 936 1 849 5 929

111 338 231 329 223 799 544 790 593 152 535 936 1 936 6 084

111 339 211 329 224 739 544 792 553 152 537 936 2 025 6 241

121 330 201 329 224 759 544 793 573 152 539 936 2 116 6 400

121 330 211 329 227 709 544 795 513 172 531 936 2 209 6 561

121 332 241 329 227 799 544 795 523 172 533 936 2 304 6 724

121 332 251 329 228 719 544 795 543 172 535 936 2 401 6 889

121 333 231 359 221 729 544 796 503 172 537 936 2 500 7 056

121 334 281 359 222 789 544 796 513 172 539 936 2 601 7 225

121 335 241 359 223 749 544 796 563 2 704 7 396

121 335 251 359 224 729 544 797 553 2 809 7 569

121 336 291 359 224 759 544 797 593 2 916 7 744

121 337 231 359 225 729 544 798 543 3 025 7 921

121 339 241 359 227 769 544 799 533 3 136 8 100

121 339 271 359 228 729 584 790 523 3 249 8 281

121 339 291 359 228 759 584 790 533 3 364 8 464

141 330 221 359 229 719 584 791 553 3 481 8 649

141 330 251 359 229 769 584 792 563 3 600 8 836

141 331 241 359 229 799 584 792 573 3 721 9 025

141 333 221 389 221 769 584 793 553 3 844 9 216

141 333 251 389 222 719 584 796 523 3 969 9 409

141 334 201 389 222 749 584 796 593 4 096 9 604

141 336 241 389 222 789 584 797 553 4 225 9 801

141 339 221 389 223 719 584 797 573 141 339 251 389 223 739 584 798 503 161 330 201 389 223 749 584 798 573 161 330 261 389 224 799 584 799 583 161 331 251 389 226 779

161 332 201 389 227 759 161 332 231 389 227 789 161 333 231 389 227 799 161 333 261 389 229 749 161 334 211 389 229 779 161 335 211

161 336 221 161 336 291 161 337 271 161 338 271

Et on soumet à la calculatrice, qui donne l'unique solution finale :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 4 3 5 1 1 1 3 (B) 6 1 2 2 2 0 0 3 2 (C) 1 7 9 4 7 1 2 7 (D) 3 6 2 7 9 7 0 5 6 (E) 3 2 2 9 8 1 3 1 (F) 3 9 3 8 3 2 8 3 7 (G) 2 5 7 5 5 7 3 9 7

(H) 3 8 4 4 1 3 7

(I) 1 2 9 3 1 2 1 6

7. Contrôles

(A1) Racine x1 de l'équation (x-x1)*(x-x2) = 0 14 351 = 113.127

(A2) Facteur premier de x1 113

(B) Puissance p d'un nombre où p est la puissance de Mersenne de C2 612 220 032 = 18⁷ (C1) Racine x2 de l'équation (x-x1)*(x-x2) = 0 avec x2 > x1 17 947 = 131.137 (C2) Facteur premier de x1 égal à un nombre de Mersenne : C2 = 2^p -1 127 = 2⁷ - 1

(D) Puissance du dernier chiffre de I1 362 797 056 = 6¹¹

(E1) Somme des racines : x1 + x2 32 298 = 14 351 + 17 947

(E2) Facteur premier de x2 131

(F) Cube d'un nombre premier 393 832 837 733³

(G) Produit des racines : x1*x2 257 557 397 = 14 351 . 17 947

(H1) Carré 3 844 = 62²

(H2) Facteur premier de x2, sexy de E2, avec H2 supérieur à E2 137 = 131 + 6

(I) Discriminant de l'équation (x-x1)*(x-x2) = 0 12 931 216 = 32 298² - 4 x 257 557 397

(a) Nombre premier 161 333 231 premier

(b) Produit de cinq nombres premiers 417 629 582 = 2.17.31.37.10 709

(c) Nombre premier 329 223 749 premier

(d) Nombre premier 524 798 543 premier

(e) Produit de quatre nombres premiers 1 279 835 = 5.23.31.359

(f) Cube 27 = 3³

(g) Nombre premier 101 018 311 premier

(h) Multiple de 16 132 533 936 = 16 x 8 283 371

(i) Nombre premier 32 761 777 premier