Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Interrogation de cours n˚7
Nom : Pr´enom :
Question 1 (1 point) La fonction
f:R→R; x7→ln(x2+ 1)−xe−2x
est d´efinie et d´erivable surR, d’apr`es les r´esultats sur la d´erivabilit´e des fonctions usuelles et les op´erations sur les fonctions d´erivables.
Soitx∈R. Donner la valeur def′(x).
f′(x) =
Question 2 (0,5 point)
Donner la d´efinition de la fonction sinus hyperbolique en compl´etant le diagramme suivant.
sh : →
x 7→
Question 3 (1 point)
Soitx∈R. ´Enoncer la relation de trigonom´etrie hyperbolique mettant en jeu ch2(x) et sh2(x).
Question 4 (1,5 point)
Soitf:I→Rune fonction. Donner les trois hypoth`eses du th´eor`eme de la bijection, qui assurent quef r´ealise une bijection deI sur son image.
1.
2.
3.
Question 5 (2 points)
Soitf:I→J une fonction. On suppose queI est un intervalle, quef est d´erivable surIet quef est bijective.
1. Soity0∈J. Donner une CNS pour quef−1 soit d´erivable eny0. f−1est d´erivable eny0 ⇐⇒
2. On suppose que f−1 est d´erivable en y0 ∈ J. Donner une expression de (f−1)′(y0) mettant en jeu la d´eriv´ee de f.
(f−1)′(y0) =
1
Question 6 (2 points)
1. Donner le domaine de d´efinition de arcsin.
Darcsin=
2. Donner le domaine de d´erivabilit´e de arcsin.
D′arcsin=
3. Soity∈ D′arcsin. Donner la valeur de arcsin′(y).
arcsin′(y) =
Question 7 (2 points)
1. Donner le domaine de d´efinition de argch.
Dargch=
2. Donner le domaine de d´erivabilit´e de argch.
D′argch=
3. Soity∈ D′argch. Donner la valeur de argch′(y).
argch′(y) =
Question 8 (10 points)
1. Donnner la constructiond´etaill´eede la fonction arctan. Au cours de la construction, on pr´ecisera notam- ment les ensembles de d´epart et d’arriv´ee de arctan et, pour toutx∈R,y∈ Darctan, on donnera une CNS pour que x= arctan(y).
2. Donner l’allure de la repr´esentation graphique de arctan.
3. ´Enoncer une propri´et´e de parit´e ´eventuelle pour arctan.
4. ´Enoncer des r´esultats concernant la continuit´e et le sens de variation de arctan.
5. Donner le domaine de d´erivabilit´e de arctan. On d´emontrera le r´esultat.
6. Soity∈ D′arctan. Donner la valeur de arctan′(y). On d´emontrera le r´esultat.
2
3
4
