Feuille d’exercices n˚22 Limites et continuit´ e

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚22 Limites et continuit´ e

Exercice 205 : Soitf la fonction d´efinie par :

f : R\ {5} → R

x 7→ 2x−1 5−x

.

D´emontrer les assertions suivantes en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.

(a) f(x) →

x→1

1

4 (b) f(x) →

x→5⁺−∞ (c) f(x) →

x→+∞−2

Exercice 206 : Soit (un)n∈Nla suite d´efinie paru0∈ [1,+∞[ et la relation de r´ecurrence : un+1= ln(un) + 1

valable pour toutn∈N.

1. D´emontrer que pour toutn∈N: un est bien d´efini etun≥1.

2. ´Etudier le signe de ln(x) + 1−xsur [1,+∞[.

3. En d´eduire que la suite (un)n∈N est d´ecroissante.

4. D´emontrer que la suite (un)n∈Nest convergente, et pr´eciser sa limite.

Exercice 207 : Soitf une fonction d´efinie et continue sur un intervalleIdeR, telle qu’il existea∈Iv´erifiant f(a)>0. D´emontrer que f est strictement positive localement ena.

Exercice 208 : Soita∈R. Donner une condition n´ecessaire et suffisante surapour que la fonction

f : R → R

x 7→









 sin(x)

|x|^a si x6= 0 0 si x= 0 soit continue surR.

Exercice 209

1. Montrer que la fonctionf d´efinie par :

f : ]0,1[∪]1,+∞[ → R

x 7→ ln(x)

x−1 est prolongeable par continuit´e en 1.

2. Peut-on prolonger par continuit´e la fonction

g : ]0,+∞[ → R

x 7→ sin 1

x

en 0 ?

1

Exercice 210 : Soitf une fonction d´efinie et continue sur un intervalleI deR, qui ne s’annule pas surI.

1. D´emontrer quef garde un signe constant surI, i.e. :

(∀x∈I f(x)>0 ) ou (∀x∈I f(x)<0 ). 2. On suppose ici de plus queI est un segment. D´emontrer que :

(∃m∈R_>0 ∀x∈I f(x)≥m) ou (∃M ∈R_<0 ∀x∈I f(x)≤M).

Exercice 211 : Soitf une fonction d´efinie et continue sur [0,+∞[, telle quef(x) →

x→+∞0. Montrer quef est born´ee sur [0,+∞[.

Exercice 212 : Montrer que l’´equation :

(E) :xcos²⁰¹⁴(x) +xsin(x) + 1 = 0 poss`ede une solution surR.

Exercice 213

1. Soitf une fonction. On appelle point fixe def tout ´el´ementx0 deDf tel que : f(x0) =x0.

Interpr´eter graphiquement l’existence d’un point fixe pour la fonctionf.

2. Soitf: [0,1]→[0,1] une fonction continue sur [0,1]. Montrer quef poss`ede un point fixe.

Exercice 214 : D´emontrer que l’´equation :

(E) : ln(x) = 2−x d’inconnuex∈[1,2] poss`ede une unique solution.

Exercice 215

1. Soitn∈N^∗fix´e. Soitfn la fonction d´efinie par :

fn : R → R

x 7→ xⁿ+nx−1 . D´emontrer que l’´equation :

(En) :fn(x) = 0

d’inconnuex∈[0,1] poss`ede une unique solution. On notexn celle-ci dans la suite.

2. D´emontrer que la suite (xn)n∈N^∗ est d´ecroissante.

3. D´emontrer quexn→0.

4. D´emontrer quexn∼ 1 n.

Exercice 216 : Soitf une fonction d´efinie surR, continue en 0 et telle que pour tout (x, y)∈R² : f(x+y) =f(x) +f(y).

On se propose de montrer quef est alors lin´eaire.

1. Montrer quef est continue surR.

2. On posea=f(1).Montrer que pour pour toutx∈R: (∗) f(x) =ax.

Indication : on pourra d’abord montrer que(∗) est vraie pourx∈N, puis pourx∈Z, puis pourx∈Q, avant d’´etablir le r´esultat pourx∈R quelconque.

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