cours 11, le lundi 28 f´evrier 2011 Tribu produit Si (E1

cours 11, le lundi 28 f´evrier 2011 Tribu produit

Si (E1,F1) et (E2,F2) sont deux espaces mesurables, on d´efinit sur le produit E1 ×E2

latribu produit, not´ee F1⊗ F2, qui est engendr´ee par les pav´es mesurables A1×A2, o`u le sous-ensemble A1 de E1 varie dans F1 et A2⊂E2 varie dans F2.

On peut ´etendre la d´efinition `a des produits plus longs, et d´emontrer une propri´et´e d’associativit´e :

(F1⊗ F2)⊗ F3 =F1⊗(F2⊗ F3)

qui est aussi la tribu F1 ⊗ F2⊗ F3 d´efinie en un seul coup comme tribu de parties de E1×E2×E3 engendr´ee par les pav´es mesurables A1×A2×A3, o`u Aj ∈ Fj.

Donnons les ´el´ements pour prouver cette associativit´e ; consid´erons d’une part des ensem- bles B de E1×E2, et consid´erons un produit de la forme B×A3 comme un sous-ensemble de E1×E2×E3. Alors la tribu (F1⊗ F2)⊗ F3 est engendr´ee par les produits B×A3, o`u B d´ecrit F1⊗ F2 et A3 d´ecrit F3; il est clair que cette famille contient tous les pav´es mesurables A1×A2×A3, donc

F1⊗ F2⊗ F3⊂(F1⊗ F2)⊗ F3; pour montrer l’autre inclusion, il faut voir que la classe

D={B⊂E1×E2 : B×A3∈ F1⊗ F2⊗ F3}

est une tribu de parties de E1×E2qui contient les pav´es A1×A2: cela r´esulte du lemme B1 qui se trouve plus loin. On en d´eduit queF1⊗ F2 ⊂ D, ce qui implique que les g´en´erateurs B×A3 de (F1⊗ F2)⊗ F3 sont dansF1⊗ F2⊗ F3, et termine la preuve.

Mesurabilit´e d’un couple

Si on consid`ere deux applications f1 : E → G1, f2 : E → G2 d´efinies sur le mˆeme ensemble E, on peut introduire l’applicationcouple(f1, f2) de E dans le produit G1×G2, d´efinie par

(f1, f2) :x∈E →(f1(x), f2(x))∈G1×G2.

Plus g´en´eralement, si des applications fk : E → Gk, pour k = 1, . . . , d sont donn´ees, on peut consid´erer l’application

(f1, . . . , fd) :x∈E→(f1(x), . . . , fd(x))∈G1× · · · ×Gd.

Lemme. Si des applications fk: E →Gk, pour k = 1, . . . , d sont donn´ees, l’application x∈E→(f1(x), . . . , fd(x))∈G1× · · · ×Gd

est mesurable de (E,F)dans (G1× · · · ×Gd,G1⊗ · · · ⊗ Gd) si et seulement si chaque fk

est mesurable de (E,F)dans (Gk,Gk), pour k = 1, . . . , d.

Preuve. — On se contentera du cas de deux. Supposons d’abord f1 et f2 mesurables ; l’image inverse par le couple (f1, f2) d’un pav´e mesurable B1 ×B2 est l’intersection {f1 ∈ B1} ∩ {f2 ∈ B2}, qui est dans F quand B1 ∈ G1, B2 ∈ G2; cela ´etant vrai pour tout g´en´erateur de la tribu produit G1 ⊗ G2, on en d´eduit que le couple (f1, f2) est mesurable par le crit`ere de mesurabilit´e.

Inversement, si le couple est mesurable, on note que

{f1 ∈B1}={(f1, f2)∈B1×G2} ∈ F, donc f1 est mesurable, et de mˆeme pour f2.

Tribu bor´elienne de R^d

Sur l’espace R², on dispose maintenant de deux tribus : la tribu bor´elienne de l’espace topologiqueR², et la tribu produit sur le produitR×R. Il serait tr`es d´esagr´eable qu’elles soient diff´erentes, et au contraire, on sera bien content de d´emontrer un peu plus loin qu’elles sont identiques. On va commencer par prouver un lemme qui pourra servir `a plusieurs reprises.

Lemme B1. SoitT une tribu de parties du produit E1×E2, qui contienne un ensemble fix´e E1×B; la classe DB de parties de E1 d´efinie par

DB ={A ⊂E1 : A×B∈ T }

est une tribu. On a un r´esultat analogue si A×E2 est ´el´ement de T.

Preuve. — La classe DB contient E1 par hypoth`ese. Elle est stable par passage au compl´ementaire, car si A∈ DB on a

A^c ×B = (E1\A)×B = (E1×B)\(A×B)∈ T, donc A^c ∈ DB. Si (An) est une suite d’´el´ements de Dn, on ´ecrit

[

n

An

×B =[

n

An×B

∈ T, ce qui montre que S

nAn est dans DB. La classe DB est donc une tribu.

Proposition. La tribu bor´elienne BR^d de R^d est ´egale `a la tribu produitBR⊗. . .⊗ BR

de d exemplaires de la tribu bor´elienne B^R de R.

Preuve. — On va se limiter au cas d = 2. On commence par d´emontrer une inclusion qui est vraie en g´en´eral,

B^R⊗ B^R ⊂ BR².

La v´erification de cette inclusion se fait en deux ´etapes ; on introduit d’abord, pour tout ouvert V de R, la classe

DV ={A⊂R: A×V ∈ BR²};

on remarque que tous les produits U×V, o`u U est un ouvert de R, sont des bor´eliens de R<sup>2</sup>, en particulier R×V ; d’apr`es le lemme B1, la classe DV est une tribu de parties de R, et elle contient les ouverts de R, donc DV contient tous les bor´eliens de R; dans un deuxi`eme temps, on fixe un bor´elien A de R et on pose

D^A={B⊂R: A×B∈ BR²};

`a nouveau, c’est une tribu, et elle contient les ouverts V d’apr`es le premier pas, doncD^A contient tous les bor´eliens B. On a ainsi montr´e que tous les pav´es A×B sont dans BR², donc la tribu bor´elienne BR² contient la tribu produit BR⊗ BR engendr´ee par ces pav´es.

Pour l’autre inclusion, il suffit de prouver le lemme qui suit ; il en r´esultera que la tribu produit contient tous les ouverts de R², donc BR² ⊂ BR⊗ BR, ce qui terminera la preuve de la proposition.

Lemme. Tout ouvert de R^d est r´eunion d´enombrable de pav´es ouverts.

Preuve. — On se limitera encore `ad = 2. Consid´erons la famille d´enombrableRde tous les rectangles ouverts rationnels, c’est-`a-dire les produits d’intervalles ouverts rationnels,

Q = ]q1, q2[×]r1, r2[,

o`u q1 < q2, r1 < r2 sont rationnels. Soit V un ouvert de R² et soit RV la famille, encore d´enombrable, des rectangles Q∈ Rqui sont contenus dans V ; on va montrer que l’ouvert V est la r´eunion de tous les rectangles rationnels qu’il contient,

V = [

Q∈RV

Q.

Il est clair que la r´eunion qui se trouve `a droite de l’´egalit´e est contenue dans V, puisque tous les rectangles Q qui la forment sont contenus dans V. Inversement, si (x, y)∈V, il existe ε >0 tel que ]x−ε, x+ε[×]y−ε, y+ε[ soit contenu dans V ; par la densit´e deQ dans R, il existe q1, q2, r1, r2 rationnels tels que

x−ε < q1 < x < q2 < x+ε, y−ε < r1 < y < r2 < y+ε, donc

(x, y)∈Q := ]q1, q2[×]r1, r2[⊂]x−ε, x+ε[×]y−ε, y+ε[⊂V,

donc Q est un ´el´ement de RV qui contient (x, y) : tout point de V est contenu dans un rectangle rationnel contenu dans V, ce qui termine la preuve.

Remarque. On montre de la mˆeme fa¸con que la tribu bor´elienne de R×R, ou bien celle de [0,+∞]², co¨ıncident avec le produit des deux tribus bor´eliennes des facteurs.

Plus g´en´eralement, si (X1, d1) et (X2, d2) sont deux espaces m´etriques s´eparables, la tribu bor´elienne de l’espace produit X1 ×X2 est ´egale au produit des tribus bor´eliennes BX1

et BX2. Un espace topologique X est s´eparable s’il existe un sous-ensemble d´enombrable qui soit dense dans X ; dans le cas d’un espacem´etrique s´eparable, on peut en d´eduire qu’il existe une famille d´enombrable de boules dont les r´eunions produisent tous les ouverts de X : c’est exactement ce dont on a eu besoin dans la preuve pr´ec´edente.

Cons´equence : fonctions mesurables `a valeurs dans C. Consid´erons que, du point de vue m´etrique et topologique, C est identifi´e `a R²; la tribu bor´elienne de C ' R² est

´egale `a la tribu produit, donc f est mesurable de (E,F) dans (C,BC) si et seulement si le couple (Ref,Imf) est mesurable `a valeurs dans la tribu produit, ce qui est vrai si et seulement si les deux composantes sont des fonctions F-mesurables r´eelles. C’´etait la d´efinition provisoire qu’on avait adopt´ee, et qui rejoint maintenant le point de vue g´en´eral des applications mesurables.

Fonction bor´elienne de fonctions mesurables

Proposition. Si f1, . . . , fd sont des fonctions F-mesurables r´eelles sur E, si ϕ est une fonction bor´elienne de R^d dans R, alors

x∈E→ϕ(f1(x), . . . , fd(x)) est une fonction F-mesurable.

Preuve. — On va tirer profit de l’´egalit´e de tribus surR^d; l’application x∈E→(f1(x), . . . , fd(x))∈R^d

est mesurable `a valeurs dans la tribu produit B<sup>R</sup> ⊗ . . . ⊗ B<sup>R</sup>; par hypoth`ese, ϕ est mesurable de (R^d,BR^d) dans R, et l’´egalit´e des deux tribus permet de composer les deux applications mesurables pour obtenir le r´esultat voulu.

Remarque.Dans ce qui pr´ec`ede, on avait seulement besoin pour la composition de savoir que la tribu produit est plus grande que la tribu bor´elienne ; c’est la partie qu’on a trait´ee en second (avec des consid´erations sp´ecifiques de d´enombrabilit´e).

Mesure image

On donne deux ensembles F et G, une application T : (F,F) →(G,G) mesurable, et µ une mesure sur (F,F). On d´efinit une mesure ν sur l’espace d’arriv´ee (G,G) en posant

∀B∈ G, ν(B) =µ T⁻¹(B) .

Comme T⁻¹ pr´eserve les op´erations ensemblistes, il est clair que ν est une mesure : si (Bn)n>0 ⊂ G est une suite d’ensembles deux `a deux disjoints, les images inverses T<sup>−1</sup>(Bn) sont deux `a deux disjointes, leur r´eunion est l’image inverse de la r´eunion, donc

ν^+∞[

n=0

Bn

=µ T^−1+∞[

n=0

Bn

=µ^+∞[

n=0

T⁻¹(Bn)

=

+∞

X

n=0

µ T⁻¹(Bn)

=

+∞

X

n=0

ν(Bn).

Cette mesure ν est appel´ee la mesure image de µ par T, et elle est not´ee ν = T(µ), ou aussi T#µou Tµ.

La mesure image peut ˆetre tr`es bizarre : si T : R → R est l’application nulle et λ la mesure de Lebesgue, la mesure T#λ donne la mesure +∞ `a tout bor´elien B qui contient 0, et la mesure 0 sinon.

Int´egration par rapport `a une mesure image

On consid`ere ν = Tµ, mesure sur (G,G) image par T d’une mesure µ sur (F,F).

Lemme. Pour toute fonction G-mesurableg sur G, `a valeurs dans [0,+∞], on a Z

G

g(y) dν(y) = Z

F

g(Tx) dµ(x),

ce qui s’´ecrit aussi

Z

G

gdν = Z

F

g◦T dµ.

De plus, si g est G-mesurable r´eelle ou complexe, elle est ν-int´egrable si et seulement si la compos´ee g◦T est µ-int´egrable sur F, et dans ce cas, on a la mˆeme formule pour le calcul de l’int´egrale,

Z

G

g(y) dν(y) = Z

F

g(Tx) dµ(x).

Preuve. — On commence par g = 1B, avec B ∈ G; dans ce cas x ∈ F → 1B(Tx) est l’indicatrice de l’image inverse T⁻¹(B), et l’´egalit´e

Z

G

1B(y) dν(y) = ν(B) =µ(T⁻¹(B)) = Z

F

1B(Tx) dµ(x)

est l’expression de la d´efinition deν; on passe aux fonctionsG-´etag´ees≥0 par^hhlin´earit´e positiveⁱⁱ, puis on r´ealise g, fonction G-mesurable `a valeurs dans [0,+∞], comme limite croissante d’´etag´ees (ϕn) et on utilise le cas ´etag´e d´ej`a d´emontr´e, ainsi que le th´eor`eme de convergence monotone appliqu´e aux deux mesuresµetν, en notant que ϕn(Tx) tend en croissant vers g(Tx) pour tout x∈F,

Z

G

g(y) dν(y) = lim

n

Z

G

ϕn(y) dν(y) = lim

n

Z

F

ϕn(Tx) dµ(x) = Z

F

g(Tx) dµ(x).

Pour traiter le cas d’une fonction g r´eelle ou complexe, on voit d’abord que g◦T est F-mesurable, et on note que |g| ◦T est la valeur absolue (ou le module) de g◦T, (Reg)◦T est la partie r´eelle de g◦T dans le cas complexe, g⁺◦T la partie positive de g◦T dans le cas r´eel, etc., ce qui ram`ene tout au cas positif.

III.2. Mesure et topologie

Soient (X, d) un espace m´etrique et A une partie non vide de X ; on d´efinit la distance d’un point x∈X `a l’ensemble A par

d(x,A) = inf{d(x, a) :a∈A}.

La fonction x ∈ X → d(x,A), ^hhdistance `a la partie Aⁱⁱ, est lipschitzienne, donc en particulier continue. En effet, pour tous x, y ∈ X et a ∈ A on a d(x,A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a). En prenant l’inf en a on obtient d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y,A) et en inversant les rˆoles de x et y on obtient que

∀x, y∈X,

d(x,A)−d(y,A)

≤d(x, y).

Sixest un point d’un ouvert V, on note que la distance dexau ferm´e compl´ementaire V^c est > 0 : en effet, il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ V : tous les points `a distance < r de x sont dans V, donc d(x,V<sup>c</sup>) ≥ r > 0. Autrement dit, si F est ferm´e, la condition d(x,F) = 0 ´equivaut `a x∈F.

Remarque.On a d(x,A) = 0 si et seulement six est adh´erent `a A.

Dans un espace m´etrique, tout ouvert V est r´eunion d’une suite croissante de ferm´es ; on le voit en consid´erant par exemple pour tout n≥0

Fn={x ∈X : d(x,V^c)≥2⁻ⁿ}.

Ces ensembles sont croissants, ferm´es d’apr`es la continuit´e de la fonction distance `a V^c, contenus dans V (si la distance de x `a V^c est ≥2⁻ⁿ >0, le point x n’est pas dans V^c, il est dans V), et pour tout point x de V on a d(x,V^c) > 0, donc il existe un entier n tel qu’on ait 2⁻ⁿ ≤ d(x,V^c) et alors x est dans Fn : tous les points de V sont dans la r´eunion des Fn.

Approximation des bor´eliens par des ouverts (et des ferm´es)

Lemme : approximation ferm´e-ouvert. On suppose donn´ee une mesure finie ν sur la tribu bor´elienneBXd’un espace m´etrique (X, d). Pour tout bor´elienBde X et pour tout ε >0, il existe un ferm´e Fε et un ouvert Uε de X tels que

Fε ⊂B⊂Uε, et ν(Uε\Fε) =ν(Uε)−ν(Fε)< ε.

Preuve. —On consid`ere la classeDde toutes les parties B de X qui admettent l’approxi- mation de l’´enonc´e : pour tout ε > 0, il existe F ferm´e, U ouvert (oublions l’indice ε!) tels que

F⊂B⊂U, ν(U\F)< ε.

On montre d’abord que la classe D contient tous les ouverts de X ; on a dit que tout ouvert U de X est r´eunion d’une suite croissante de ferm´es (Fn). Par la monotonie de la mesure,

ν(Fn)→ν(U)<+∞;

si ε >0 est donn´e, on aura pour U, pour n assez grand, l’encadrement ferm´e-ouvert Fn ⊂U⊂U, et ν(U\Fn)< ε,

donc U appartient `a la classeD. Puisque D contient les ouverts, elle contient X et ∅; la classe D est stable par passage au compl´ementaire : si B∈ D est approch´e `a ε pr`es par F⊂B⊂U, son compl´ementaire B^c est approch´e par

U^c ⊂B^c ⊂F^c,

et la diff´erence F^c \U^c est la mˆeme que U\F, donc l’approximation en mesure reste vraie,

F^c\U^c = F^c∩U = U\F, ν(F^c\U^c) =ν(U\F)< ε.

La classe D est stable par union d´enombrable : soit (Bn)n>0 une suite dans D, de r´eunion B =S+∞

n=0Bn; pour tout entier n ≥0, on peut trouver par d´efinition de D un encadrement

Fn ⊂Bn⊂Un, avec ν(Un\Fn) < ε2⁻ⁿ⁻²; en posant Y = S+∞

n=0Fn, U = S+∞

n=0Un, on trouve l’enca- drement

Y ⊂B⊂U, et on constate que

(∗) U\Y⊂

+∞

[

n=0

(Un−Fn),

dont la mesure est < ε/2 par sous-additivit´e d´enombrable,

ν(U)−ν(Y) =ν(U\Y)≤

+∞

X

n=0

ν(Un−Fn)<

+∞

X

n=0

ε2⁻ⁿ⁻² =ε/2 ;

v´erifions l’inclusion (∗) : si un point x est dans U\Y, il est dans U, donc il existe n0 tel que x ∈Un0; mais x n’est pas dans Y, donc x n’est dans aucun Fn, en particulier pas dans Fn0 ; ainsi,x est dans Un0 \Fn0, donc x est dans la r´eunion infinie des diff´erences.

Mais Y n’est pas ferm´e en g´en´eral : il faut proc´eder `a une deuxi`eme approximation ; si on consid`ere les ferm´es croissants

Yn = F0∪. . .∪Fn,

on voit que Yn%Y et par monotonie de la mesure finie ν, on peut trouver n0 tel que ν(Y)−ν(Yn0) =ν(Y\Yn0)< ε/2,

et finalement on a l’encadrement

Yn0 ⊂Y ⊂B⊂U,

avec ν(U)−ν(Yn0) = ν(U \Y) +ν(Y \Yn0) < ε. On a ainsi montr´e que la r´eunion d´enombrable B est dans D, ce qui termine la preuve du fait que D est une tribu.

Comme la tribuDcontient les ouverts, elle contient tous les bor´eliens : ainsi, tous les bor´eliens B de X poss`edent la propri´et´e d’approximation, ce qui ach`eve la d´emonstration.

Remarque.Les ensembles F^σet Gδ suffisent pour calculer la mesure pourν d’un ensemble bor´elien B quelconque : il existe C, qui est un ensemble Gδ (intersection d´enombrable d’ouverts) et A, un ensemble F^σ (r´eunion d´enombrable de ferm´es) tels que

A⊂B⊂C, ν(A) =ν(B) =ν(C).

Expliquons le cˆot´e F^σ, le cˆot´e G^δ s’obtient en passant au compl´ementaire. Pour toutn, on peut trouver un ferm´e Fn ⊂B tel que ν(Fn) > ν(B)−2⁻ⁿ; la r´eunion A =S^+∞

n=0Fn est un F^σ tel que ν(A)≥ν(B) et A⊂B, d’o`u le r´esultat ν(A) =ν(B).

On peut d´efinir les ensembles ν-n´egligeables avec des ouverts : si N est un bor´elien de mesure nulle, il existe pour tout ε > 0 un ouvert V contenant N et tel queν(V) < ε. On voit donc qu’un sous-ensemble Y⊂X estν-n´egligeable si et seulement s’il existe pour tout ε >0 un ouvert V contenant Y et tel queν(V)< ε.

Les ensembles ferm´es F ⊂ B qui donnent l’approximation int´erieure sont souvent des ensembles compliqu´es, du type ensemble de Cantor, qui sont des ferm´es deRne contenant aucun intervalle ouvert non vide (c’est-`a-dire que ce sont des ferm´es d’int´erieur vide), dont la mesure ne correspond pas `a l’intuition usuelle de^hhtaille d’un ensembleⁱⁱ, qu’on obtient en additionnant des longueurs d’intervalles (l’id´ee de base de la ^hhmesure de Riemannⁱⁱ).

En r´ealit´e, la mesure de ces ensembles se comprend difficilement autrement qu’en regardant leur compl´ementaire, un ouvert dont les composantes sont des intervalles. Par exemple, on peut consid´erer un ouvert V obtenu en prenant la r´eunion d’intervalles de longueur ε2⁻ⁿ plac´es autour des rationnels de [0,1], ´enum´er´es sous la forme (rⁿ)n>0,

V =

+∞

[

n=0

]rⁿ−ε2⁻ⁿ⁻¹, rn+ε2⁻ⁿ⁻¹[ ;

l’ouvert V est de mesure ≤ 2ε, et son compl´ementaire F = [0,1]\V dans [0,1] est un exemple typique de tel ferm´e^hhcompliqu´eⁱⁱ.