1
REPÉRAGE DU MOUVEMENT - corrigé des exercices
I. Équations cartésiennes paramétriques
1.
• En dérivant les expressions paramétriques des coordonnées cartésiennes, on obtient les coordon- nées cartésiennes du vecteur vitesse : x• = 2!
"
# t ; y
• =
!
" # 1$ t2
%2
&
'( )
*+ ; z• =
!
µ" 1+ t2
#2
$
%&
' ().
2.
• La norme du vecteur vitesse peut sʼécrire : v =!
x•2+y•2+z•2 ce qui correspond à : v2 =
!
"2+ µ2
( )
+2(
"2+ µ2)
#t22+(
"2+ µ2)
#t44 =!
A. 1+ t2
"2
#
$% &
'(
2
avec A = λ2 + µ2 = 25,0 m2.s-2.
• Ceci donne : v =
!
v0. 1+ t2
"2
#
$%
&
'( avec v0 =
!
A = 5,0 m.s-1.
• Puisque la norme de la vitesse ne sʼannule jamais (v ≥ 5,0 m.s-1), le mouvement est toujours dans le même sens. On peut alors choisir comme sens positif (arbitraire) le sens du mouvement, et alors la vi- tesse algébrique est toujours positive et égale à la norme v calculée précédemment.
3.
• Lʼangle θ de la tangente avec lʼaxe Oz peut être repéré (par exemple) par cos(θ) =!
vz v =
!
z• v ; or, aux incertitudes de mesure près, on peut écrire : z• =
!
µ" 1+ t2
#2
$
%&
'
() donc : cos(θ) =
!
µ v0 =
!
3
5 ; cette quantité est visiblement constante.
II. Cycloïde en coordonnées cartésiennes
1.
• Lorsque la roue tourne dʼun angle θ en roulant vers la droite sans glisser sur lʼaxe des x, son pour- tour roule dʼune longueur Rθ et les coordonnées du centre C sont donc {Rθ ; R}.• Le point M de la roue qui était au contact de lʼaxe, en O, à lʼinstant initial, était tel que
!
CM était vertical vers le bas. A lʼinstant t considéré,
!
CM a tourné dʼun angle θ dans le sens inverse trigonométrique et ses coordonnées sont {-R sin(θ) ; -R cos(θ)}.
• Les coordonnées du point M sont donc : {R.[θ-sin(θ)] ; R.[1-cos(θ)]}.
2.
• Les coordonnées du vecteur vitesse sʼobtiennent en dérivant par rapport à t : vx = x• = Rθ•.[1–cos(θ)] ; vy = y• = Rθ• sin(θ).• De même : ax = x•• = Rθ••.[1-cos(θ)] + Rθ•2 sin(θ) ; ay = y•• = Rθ•• sin(θ) + Rθ•2 cos(θ).
3.
• Aux instants où M touche lʼaxe Ox (à chaque tour) : θ = k2π avec k ∈ ℕ ; x = Rθ = k2πR ; y = 0.• Les coordonnées du vecteur vitesse sont alors : vx = 0 ; vy = 0.
◊ remarque : le point sʼimmobilise au moment du contact puisquʼil ne glisse pas horizontalement et quʼil rebrousse chemin verticalement.
• Les coordonnées de lʼaccélération sont alors : ax = 0 ; ay = Rθ•2.
◊ remarque : la vitesse horizontale est toujours positive, et sʼannule à lʼinstant du contact, donc ax < 0
avant et ax > 0 après, et ax = 0 au contact ; par contre ay > 0 au contact puisque le point rebrousse chemin verticalement.
2
III. Vecteurs en coordonnées polaires et notion de base locale 1.
• Le vecteur!
OM1 = r1
!
ur et le vecteur
!
OM2 = r2
!
ur peuvent sembler ne pas dépendre de la coor- donnée θ. Qui plus est, il peuvent sembler être obligatoirement de même direction : celle de
!
ur (voire même obligatoirement égaux dans le cas r1 = r2).
• Cela vient du fait que les coordonnées au point M1 sont associées à la base polaire en ce point : (
!
ur(θ1),
!
u"(θ1)) alors que les coordonnées de M2 sont pour la base locale (
!
ur(θ2),
!
u"(θ2)). Ainsi les vec-
teurs
!
OM1 et
!
OM2 dépendent de θ par la direction de
!
ur(θ), donc ils n'ont pas forcément la même direction.
2.
• Cela n'est pas possible directement car les coordonnées du point M1 sont associées à la base polaire en ce point : (!
ur(θ1),
!
u"(θ1)) alors que les coordonnées de M2 sont pour la base (
!
ur(θ2),
!
u"(θ2)).
Cela n'est pas simplement possible, pour la même raison, avec les coordonnées de
!
OM1 et
!
OM2.
• On peut par contre le faire indirectement en changeant de base pour l'un des deux vecteurs ; la base locale en M2 peut ainsi être écrite :
!
ur(θ2) = cos(θ2 - θ1)
!
ur(θ1) + sin(θ2 - θ1)
!
u"(θ1) ;
!
u"(θ2) = - sin(θ2 - θ1)
!
ur(θ1) + cos(θ2 - θ1)
!
u"(θ1).
• On en tire ainsi (on pourrait faire de même sur la base locale de M2) :
!
OM1 = r1
!
ur(θ1) ;
!
OM2 = r2
!
ur(θ2) = r2 cos(θ2 - θ1)
!
ur(θ1) + r2 sin(θ2 - θ1)
!
u"(θ1) ;
!
M1M2 =
!
OM2 -
!
OM1 = [r2 cos(θ2 - θ1) - r1]
!
ur(θ1) + r2 sin(θ2 - θ1)
!
u"(θ1).
◊ remarque : cela peut laisser subsister un problème concernant l'origine, mais en exprimant de façon analogue :
!
M1M2 = [r2 - r1 cos(θ2 - θ1)]
!
ur(θ2) + r1 sin(θ2 - θ1)
!
u"(θ2), le cas particulier du point O de coor-
données r0 = 0 et θ0 indéterminé donne l'expression :
!
OM2 = r2
!
ur(θ2) indépendante de θ0.
◊ remarque : l'approfondissement de cette notion de repérage local est l'un des outils utilisés par la relativité générale pour décrire la gravitation.
IV. Coordonnées polaires ; étude d’un mouvement circulaire 1.
• La condition θ =!
"
2 correspond à
!
sin 2"t T
#
$% &
'( =
!
1
2 ce qui est obtenu la première fois pour
!
2"t T =
!
"
6 donc t =
!
T
12 = 83,3 ms.
2.
• En coordonnées polaires :!
OM = r
!
ur ; on en déduit :
!
v =
!
OM• = r•
!
ur + r
!
ur• = r•
!
ur + rθ•
!
u".
Ceci correspond à une composante radiale : vr = r• = 0 ;
et une composante orthoradiale : vθ = rθ• =
!
2"2r
T cos 2"t
T
#
$% &
'( =
!
"2r 3
T = 17,1 m.s-1.
3.
• De même en dérivant!
v = rθ•
!
u" on obtient :
!
a = -rθ•2
!
ur + rθ••
!
u".
Cʼest-à-dire : ar = -rθ•2 =
!
"4#4r
T2 cos2 2#t T
$
%& ' () =
!
"3#4r
T2 = -292 m.s-2 (accélération radiale) ; aθ = rθ•• =
!
"4#3r T2 sin 2#t
T
$
%& ' () =
!
"2#3r
T2 = -61,9 m.s-2 (accélération orthoradiale).
3
4.
• La norme du vecteur accélération est a =!
ar2+a"2, quʼil est mieux d'exprimer en fonction de θ :
ar =
!
"4#4r
T2 cos2 2#t T
$
%& ' () =
!
"4#2r
T2
(
#2" $2)
et aθ =!
"4#3r
T2 sin 2#t T
$
%& ' () =
!
"4#2r
T2 $ ; par conséquent : a =
!
4"2r
T2
(
"2# $2)
2+ $2.• L'accélération a est extremum quand
!
da
d" = 0, ou bien quand θ atteint les valeurs extrêmes (car il y a alors un “point de rebroussement”).
• La condition :
!
da d" =
!
4"2r T2
2#.
(
#2$ "2)
+ #"2$ #2
( )
2+ #2= 0 correspond à : 2θ.(θ2-π2) + θ = 0, donc : θ = 0 ou
θ =
!
± "2#1
2 . La condition θ extremum correspond à θ = ± π.
• En reportant ces valeurs de θ dans l'expression de a, on trouve :
◊ que θ = 0 correspond à : a =
!
4"4r
T2 (maximum) ;
◊ que θ =
!
± "2#1
2 correspond à : a =
!
4"2r
T2 "2# 1
4 (minimum) ;
◊ que θ = ± π correspond à : a =
!
4"3r
T2 (valeur intermédiaire).
