Zig et Puce se rendent à la Fête à Neu-Neu où l’un des forains propose une attraction constituée de six paires de disques concentriques (voir figures ci-dessous) portant les étiquettes n° 4,5,6,7,8 et 9.
Dans chaque paire, le disque extérieur et le disque intérieur sont divisés en k secteurs angulaires identiques, avec k = numéro de l’étiquette.
Dans les k secteurs de chaque disque extérieur le forain a placé une fois pour toutes des jetons de k couleurs différentes.
Zig tire au sort l’étiquette k de la paire de disques avec laquelle il va jouer la partie.Puis il tire au sort un deuxième entier j compris entre 2 et k (2≤ j≤ k) et place sur les k secteurs du disque intérieur k jetons de j couleurs différentes choisies parmi les couleurs disposées sur le disque extérieur.
Le forain fait tourner le disque intérieur secteur par secteur, k fois jusqu’à revenir à la position initiale. Zig gagne la partie si dans chaque position du disque intérieur, un seul jeton est de la même couleur que le jeton du disque extérieur placé dans le même secteur.
Zig place les k jetons sur le disque intérieur de manière à optimiser ses chances de gain. Quelle est la probabilité de gain de Zig ?
Pour les plus courageux : donner une formulation générale des couples (k,j) gagnants pour k quelconque >
2 et 2 ≤ j ≤ k.
Il y a donc, dans la position initiale, coïncidence entre les couleurs d’une paire de secteurs intérieur et extérieur, que nous prendrons comme origine. La roue extérieure peut être divisée en deux parties, droite et gauche, par un axe vertical, l’origine étant placée en haut sur l’axe si k est impair, à sa gauche si k est pair. Numérotons les secteurs et les couleurs de 0 à k-1, modulo k, par exemple dans le sens horaire, et faisons tourner le disque intérieur en sens inverse. Pas à pas, il doit y avoir coïncidence d’une couleur et une seule sur les deux disques, et comme chaque secteur du disque extérieur a sa couleur, chaque secteur du disque intérieur contribue une fois et une seule : la valeur correspondant à sa couleur est alors la différence entre sa position initiale et le décalage (nombre de secteurs dont le disque intérieur a tourné). Puisque l’on balaye tous les décalages, et que toutes les positions initiales sont occupées, la somme des couleurs sur le disque intérieur doit être nulle modulo k.
- Si j=2, la couleur à l’origine correspondant à 0, on doit avoir p secteurs de la couleur a, avec pa=0 (mod k). Ceci n’est possible que si k n’est pas premier.
- Si j=k, chaque couleur apparait une fois sur le disque intérieur, et la somme des nombres correspondants est k(k-1)/2, qui n’est divisible par k que pour k impair. Dans ce cas, on peut, au premier décalage à droite, faire coïncider la première couleur à gauche de l’origine (et inversement), puis ainsi de suite : nous parlerons de
coïncidences séparées : celles d’un coté s’obtiennent en tournant à l’inverse.
- Si k est pair, on répète la couleur 0 au premier décalage à droite, puis on procéde comme ci-dessus, on obtient une solution pour j=k-1 couleurs, avec là encore des coïncidences séparées.
- Toujours pour k pair, avec le même processus, mais en choisissant l’autre possibilité lors de l’avant-dernier décalage à gauche, on répète une autre couleur de droite, et l’on a construit une solution pour j=k-2, avec des coïncidences séparées.
- Enfin, toute solution pour k et j avec des coïncidences séparée permet de construire une solution ayant la même propriété pour k+1 et j, en ajoutant à gauche de l’origine une couleur supplémentaire sur la roue extérieure, et un 0 sur la roue intérieure.
Le tableau ci-après illustre ces méthodes pour k=8.
E628 - La roue tourne
k, j -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 7, 7
8, 7 8, 6 9, 7
- 2 -1 3 0 -3 1 -2 -
- -1 3 0 0 -3 1 -2 2
-1 4 0 0 -3 1 -2 1
-1 3 0 0 0 -3 1 -2 2
Ces lemmes permettent de déterminer si le cas général (k, j) est gagnant pour Zig (valeur 1) ou non (valeur 0) : (k, 2)=0 si k est premier, et 1 sinon ; (k, k )=0 si k pair et 1 sinon, (k, k-1)=0 si k impair et 1 sinon ; (k, j)=1 dans tous les autres cas.
k\j 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 1 0
0 1 0 1
1 1 1 1 0
0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 1
Pour les valeurs de k allant de 4 à 9, les probabilités de gain sont 2/3, 1/2, 4/5, 2/3, 6/7 et 7/8 ; soit 3667/5040=72,8%.
