Leçon 24 Extrêmums d’une fonction logarithme Exemple 1 : Soit

(1)

Leçon 24 Extrêmums d’une fonction logarithme

Exemple 1 : Soit y= −2 log₃²x−8log₉x+8; 1 x 9, t=log₃x

a. Mettre y en fonction de t en donnant l’encadrement t.

b. Déterminer le maximum et le minimum de y. Solution

a. y= −2 log²₃ x−8log₉x+8 ( 3 )² 3² ( 3 )² 3

2 log 8log 8 2 log 8log 8

x x x 2 x

= − − + = − − +

= −2 log( 3x)²−4 log3x+8 = −2t²− +4t 8

On a : 1  x 9 log 1 log₃  ₃xlog 9₃   0 t 2 b. y= −2t²− +4t 8; 0 t 2

( ) ( )

2 2 2

2 4 8 2 2 8 2 2 1 1 8

y= − t − + = −t t + t + = − t + t+ − +

^{= −}²

(

^t²+ + + + = −²^t ¹

)

^{2 8} ²

^{( )}

^t+¹ ²+^10, ⁰ ^t ²

La représentation graphique de la fonction y est une parbole tournée vers le bas et de sommet S(−1;10).

La fonction y est décroissante sur



⁻¹^,⁻^



donc elle est décroissante sur



⁰^, ²



.

Pour trouver le maximum et le minimum sur 0t2, on compare y(0) et

) 2 ( y .

On a : y(0)=8 et ^y⁽²⁾^{= −}⁸

Donc y_min =y(2)=−8 et y_max = y(0)=8

Exemple 2 : Soit log2 (log 216 ), 1 16, log2

4

y= x x  x s= x

a. Mettre y en fonction de s.

b. Déterminer le maximum et le minimum de y. Solution

(2)

a. log2 (log 216 ) (log2 log 4 log 2 log2 )( 16 16 )

4

y= x x = x− + x

 

( 2 ) 2 ( 2 )( 2 )

1 1 1

log 2 log log 2 1 log

4 4 4

x  x x x

= −  + = − +

¹( ^{2 1})( ) ¹

(

² ²

)

4 s s 4 s s

= − + = − −

2 2 2

1 x 16  log 1log xlog 16  0 s 4

Donc ¹

(

² ^{2 ; 0}

)

⁴

y=4 s − −s  s

b. ¹

(

² ²

)

¹ ² ¹ ¹ ² ¹ ² ¹ ¹ ²

4 4 4 4 4 4 4

y= s − −s = s − + − −s = s − +s − − 

2 2

1 1 9 1 1 9

, 0 4

4s 2 4 4s 2 16 s

=  −  − =  −  −  

1 1 2 9

4 2 16

y= s−  −

La représentation graphique de la fonction y est une parbole tournée vers le

haut et de sommet 



 



 − 16

; 9 2

S 1 .

Donc _min ⁹

y = −16

Pour trouver le maximum sur 0t4, on compare y(0) et y(4). .

1 1 2 9 1 9 1 9 8 1

0 (0) 0

4 2 16 16 16 16 16 2

s=  y =  −  − = − = − = − = −

.

1 1 2 9 49 9 49 9 40 5

4 (4) 4

4 2 16 16 16 16 16 2

s=  y =  −  − = − = − = =

On a donc _max ⁵

y = 2

(3)

Exercices

1. Soit la fonction log5 (log 525 ), 1 125, log5

25

y= x  x  x k = x

a. Mettre y en fonction de k en donnant son encadrement.

b. Déterminer le minimum ou le maximum de y.

2. Soit la fonction y= − +10 36 log27x−3 log( 3x)², 1 x 81, t=log3x

a. Mettre y en fonction de t en donnant son encadrement.

3. Soit la fonction ^y⁼

(

^{log 16}⁸ ^x⁶

)

⁽^log⁴^x⁻^{2 , 1}⁾ ^{ }^x ^32, ^s⁼^log² ^x

a. Mettre y en fonction de s en donnant son encadrement.

4. Soit la fonction y=16 log( 49x)⁴−3 log( 7x)²+2, 1 x 343, =(log7 x)² a. Mettre y en fonction de  en donnant son encadrement.

b. Déterminer le minimum ou le maximum de y. 5. Soit la fonction ⁽ ⁾

11 2

49 2

4

25 2

log log log 2log 8

5 7 , 1 64, log2

x

z x x A x

 

 

 

= +   =

a. Calculer la valeur de x telle que z=0.

b. Mettre z en fonction de A en donnant son encadrement.

c. Déterminer le minimum ou le maximum de y.