Exercice
Diraction
Optique
Saint Louis PC*1
année scolaire 2018-2019
Optique Diraction
Comment fonctionne un spectroscope à réseaux ?
Exercice
1) limiter l'étude à la diraction de Fraunhofer
Optique Diraction
2) faire des interférences avec plus que deux ondes
Exercice
3) comprendre le fonctionnement des réseaux
Optique Diraction
Phénomène de diraction
La diraction est un écart à la propagation rectiligne qui ne peut s'expliquer ni par la réexion, ni par la réfraction.
Exercice
Transmission d'une pupille diractante (dénition)
La transmission est complexe, telle que|˜t| ∈[0;1]:
• t˜(P) =0⇒ la pupille est opaque enP;
• t˜(P) =1⇒ la pupille est transparente enP;
• t˜(P) =ejϕ(P) ⇒la pupille est un "objet de phase" en P.
Optique Diraction
Objet de phase (exercice)
On s'intéresse à une pupille telle que
• pourx >0,t˜(x) =1 la pupille est transparente ;
• pourx <0, la pupille est une lame de verre à faces parallèles d'épaisseur e d'indicen. Déterminer ˜t(x) pourx <0.
Exercice
Objet de phase (exercice) ˜t(x) =ej2πλ(n−1).epourx<0.
Optique Diraction
Attention !
dans le cadre de l'optique géométrique, les rayons émergents de la pupille devraient être dans la même direction que ceux qui sont incidents (~ki =~kd), du fait de la propagation rectiligne de la lumière. Mais dans le cadre de la diraction, ce n'est pas nécessairement le cas :~ki 6=~kd.
Exercice
Montage académique
Optique Diraction
Montage simplié
pour simplier, on peut utiliser une unique lentille juste avant la pupille diractante et regarder l'image de diraction dans le plan image de la source ponctuelle par cette lentille.
Exercice
Réseau de transmission sinusoïdale (exercice) On s'intéresse à un réseau unidimensionnel d'extension innie de coecient de transmission sinusoïdal
t(x) =t0
1+ cos 2πx
a
et de pasa.
Décomposer t(x) en une somme d'exponentielles complexes.
Optique Diraction
Réseau de transmission sinusoïdale (exercice) Commecosθ=ejθ+e2−jθ,
t(x) =t0
1+ej2πax
2 +e−j2πax 2
Exercice
Ecran éclairé par un laser à travers un réseau de transmission sinusoïdale
Le faisceau d'un laser, une fois passé à travers un réseau de transmission sinusoïdale, laisse trois taches sur un écran, celle du centre étant plus lumineuse.
Optique Diraction
Directions de diraction d'une onde plane qui passe par un réseau de transmission sinusoïdale (exercice)
On s'intéresse à une onde plane monochromatique de longueur d'onde λincidente de façon normale sur le réseau de transmission sinusoïdal. On cherche la vibration lumineuse transmise sous la forme :
˜
α0e−j(ωt−~k0~r)+˜α−1e−j(ωt−~k−1~r)+˜α+1e−j(ωt−~k+1~r) Ecrire la continuité de la vibration lumineuse au passage de la pupille.
En déduire que l'onde est diractée dans trois directions qui correspondent aux fréquences spatiale p/a par la relationsin(θp) =paλ avec p=0, −1, ou 1.
Exercice
Directions de diraction d'une onde plane qui passe par un réseau de transmission sinusoïdale (exercice)
Comme la vibration lumineuse incidente estA˜0e−j
ωt−~k~r
, avec~k= 2λπ~ez,
˜ s
z=0+,t
=t(x) ˜s
z=0−,t soit
˜ α0e−j
ωt−~k0(x~ex+y~ey) + ˜α−1e−j
ωt−~k−1(x~ex+y~ey) + ˜α+1e−j
ωt−~k+1(x~ex+y~ey)
=t0A˜0e−j(ωt)
1+ej2πax
2 +e−j2πax 2
⇒
˜
α−1= ˜α+1=α˜20 =t02A˜0
~k0~ey=~k+1~ey=~k−1~ey=0
~k0~ex=0
~k+1~ex=2aπ
~k−1~ex=−2π a
Comme la longueur d'onde ne varie pas lors de la diraction,
|~k0|=|~k+1|=|~k−1|=2λπ, on peut donc écrire
~kp=2π
λ cosθp~ez+ sinθp~ex
avecsinθn=nλa pourn=0,−1, ou 1.
Optique Diraction
Lois de la diraction pour une fréquence spatiale Une périodicité adans la pupille de diraction
correspond à une fréquence spatiale σ= 1
a
La lumière est diractée dans une direction faisant un angle θavec l'axe optique tel que
sinθ=λ σ
L'intensité lumineuse diractéeI est proportionnelle au module au carré du coecient de Fouriercn de la transmission de la pupille : I ∝ |cn|2.
Exercice
Intensités relatives après un réseau de transmission sinusoïdale (exercice)
On s'intéresse à l'onde plane monochromatique de longueur d'onde λincidente de façon normale sur le réseau de transmission sinusoïdal
Comparer les intensités lumineuses correspondant aux trois directions de diraction.
Optique Diraction
Intensités relatives après un réseau de transmission sinusoïdale (exercice)
Les intensités lumineuses correspondant à ces directions sont proportionnelles au carré de l'amplitude (α˜n) donc des composantes de la décomposition de Fourier complexe det(x). Ici, si l'intensité pourn=0 estI0, alors les intensités pourn=1 etn=−1 sont I40.
Exercice
Mire unidimensionnelle innie de N traits équidistants de pas a (exercice)
On s'intéresse à une onde plane monochromatique de longueur d'onde λincidente de façon normale sur un réseau unidimensionnel d'extension innie deN traits équidistants de pasa, de coecient de transmission
t(x) =
n=+∞
X
n=−∞
h
tnej(2πan x+ϕn)i
et de pasa supérieur àλ.
Dans quelles directions observe-t-on de la lumière diractée ?
Retrouve-t-on les résultats du réseau ?
Optique Diraction
Mire unidimensionnelle innie deNtraits équidistants de pasa(exercice) Les fréquences spatiales sontσn=na, donc on observera de la lumière diractée dans les directions faisant un angleθnavec la normale à la mire, avec
sinθn=λ σn=n aλ
On retrouve bien la formule des réseaux :
sinθn−sinθi= n aλ
carθi=0.
Exercice
Fente rectiligne de largeura (exercice)
On s'intéresse à une onde plane monochromatique de longueur d'onde λincidente de façon normale sur une fente rectiligne de largeura, de coecient de
transmission t(x) =
Z σ=+∞
σ=−∞
ej(2π σx+ϕ(σ))dσ En utilisant les résultats vus en première année (sinθmax = λa), montrer que les composantes de Fourier ne prennent des valeurs notables que pour
|σ|< σmax. On donnera σmax.
Optique Diraction
Fente rectiligne de largeura(exercice)
Comme on a vu en première année quesinθmax=λa et que d'autre part
sinθ=λ σ <λ a
on peut en déduire queσmax=1a.
Exercice
Tache d'Airy (exercice)
On s'intéresse à une étoile qui envoie une onde plane monochromatique de longueur d'ondeλincidente de façon normale sur une lentille convergente de diamètrea.
Montrer que l'image de l'étoile dans le plan focal n'est pas un point lumineux mais une tache (appelée tache d'Airy) dont on estimera la taille.
Optique Diraction
Tache d'Airy (exercice)
Comme on l'a vu la taille angulaire de la tache de diraction estθ≈λa donc la tache d'Airy est de diamètred≈f0λ
a .
Exercice
Illustration du critère de Rayleigh
On peut discerner deux taches lumineuses dès que le minimum de l'une correspond au maximum de l'autre.
Optique Diraction
Résolution angulaire (exercice)
On s'intéresse maintenant à deux étoiles qui envoient chacune une onde plane monochromatique de même longueur d'onde λincidentes sur une lentille
convergente de diamètrea,
• l'une de façon normale (i1=0),
• l'autre inclinée par rapport à l'axe optique de i2. Montrer que le critère de Rayleigh pour discerner les deux taches d'Airy impose que|i2−i1|> ε, qu'on estimera.
Exercice
Résolution angulaire (exercice)
Comme chaque tache d'Airy est de diamètred≈f0λ
a , l'une centrée enO, l'autre à une distancef0i2, il faut que
f0i2>1 2
f0λ a
⇔ |i2−i1|> ε= λ 2a
Optique Diraction
Limitation de la résolution d'un instrument optique par la diraction
La diraction par l'ouverture d'un instrument d'optique limite la résolution de ce dernier.
Exercice
Déphasage pour une onde passant par deux trous. (exercice)
N trous alignés équidistants (de distance a) sont éclairés par une onde plane monochromatique de longueur d'onde λfaisant un angleθi avec la normale au plan des trous. On observe la lumière diractée à l'inni dans la direction θd avec la normale au plan des trous.
Exprimer le déphasage ϕentre deux ondes passant par deux trous successifs.
Optique Diraction
Déphasage pour une onde passant par deux trous. (exercice)
Le déphasage entre deux ondes passant par deux trous successifs est
ϕ=2π
λ (ISn+1+Sn+1J) =2π
λa(−sinθi+ sinθd)
Exercice
Utilisation des vecteurs de Fresnel
On peut trouver les minima et maxima d'intensité.
Optique Diraction
Détermination de la position et de la largeur des ordres par les conditions d'interférences.
(exercice)
On s'intéresse au dispositif précédent deN trous alignés équidistants (de distancea).
En utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la position des ordres par condition d'interférence constructive.
Toujours en utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la demi-largeur angulaire ∆θ des franges brillantes par condition d'interférence destructive.
Interpréter la dépendance de∆θ avecN.
Exercice
Détermination de la position et de la largeur des ordres par les conditions d'interférences. (exercice)
La condition d'interférence constructive estϕ=p2πavecpentier, soit :
p2π=2π
λa(−sinθi+ sinθd)⇔sinθd−sinθi=pλ a
La condition d'interférence destructive autour deϕ=0 estN∆ϕ=±2π, la largeur du pic est donc∆ϕ= 4Nπ.
Or, en diérentiant le déphasage on trouve
∆ϕ=2π
λa∆ (sinθ) =2π λ a∆θ
autour deϕ=0. Soit :
2π λa∆θ=4π
N ⇒∆θ= 2λ N a
Donc plus le nombre de fentes éclairéesNest grand, plus la largeur du pic∆θest petite.
Optique Diraction
Eet du nombre de fentes sur la courbe de l'intensité lumineuse
La courbe de l'intensité en fonction de la direction présente des pics. En augmentant le nombre de fentes, la position des pics ne change pas, leur intensité augmente et leur largeur diminue.
Exercice
Eet du nombre de fentes sur l'image de diraction
La largeur des taches de diraction diminue à mesure que le
nombre de fentes augmente. On ne visualise de la lumière diractée que dans certaines directions appelées ordres du réseau. L'ordre nul correspond à l'optique géométrique (pas de déviation des rayons incidents).
Optique Diraction
Eet du nombre de fentes sur la courbe de l'intensité lumineuse
L'intensité diractée parN fentes présente des pics.
En augmentant le nombre de fentes, la position des pics ne change pas, leur intensité augmente et leur largeur diminue.
Exercice
Prise en compte de la largeur des fentes.
(exercice)
On s'intéresse au dispositif précédent deN fentes alignées équidistantes (de distance a), de largeurb (bien sûr,b <a).
En utilisant le déphasage pour la distance x : ϕ(x) = 2λπ (sinθd−sinθi)x, écrire l'expression de la vibration lumineuse diractée dans la direction θd sous la forme
s(θd,t) =e−jωt
N
X
k=1
˜ qk
Z x0=+b2
x0=−b2
e+j2λπ(sinθd−sinθi)x0dx0
Interpréter les deux termes et tracer l'allure de l'intensité en fonction de (sinθd−sinθi).
Optique Diraction
Prise en compte de la largeur des fentes. (exercice) La vibration lumineuse est :
s(θd,t) = N X k=1
Zx=k a+b 2 x=k a−b
2
e−j(ωt−ϕ(x))dx=e−jωt N X k=1
Zx0=+b 2 x0=−b
2 e+jϕ
x0+k a
dx0
s(θd,t) =e−jωt N X k=1
e+j2λπ(sinθd−sinθi)k aZx0=+b 2 x0=−b
2
e+j2λπ(sinθd−sinθi)x0 dx0
cqfd
On peut interpréter les termes de la façon suivante :
• la somme discrète est due à l'interférence desNfentes
• tandis que la somme continue est due à la diraction d'une unique fente.
L'intensité diractée est donc le produit des pics trouvés pourNfentes inniment nes par l'intensité diractée par une fente de largeurb, donc de taille typiqueλb.
Exercice
Diraction par N fentes de largeur non nulle
L'intensité diractée est le produit :
des pics trouvés pourN fentes inniment nes (distants de λa) par l'intensité diractée par une fente de largeurb, de taille λb.
Optique Diraction
Diraction par N fentes de largeur non nulle L'intensité diractée parN fentes inniment nes est modulée par l'intensité diractée par une fente de largeur non nulle.
Exercice
Caractéristiques d'un réseau par transmission
Un réseau par transmission est un ensemble deN pupilles identiques (N1) régulièrement espacées (de a suivantx).
• aest la période spatiale du réseau (en m) ;
• n= 1a est le nombre de traits par millimètres (en m−1).
Optique Diraction
Réseaux par réexion
un réseau par réexion peut être compris comme un réseau par transmission accolé à un miroir plan.
Exercice
Réseaux holographiques
un réseau holographique est la photographie de franges
d'interférences (l'interfrangei est alors la période adu réseau).
Optique Diraction
Formule des réseaux
On cherche pour quelles directions il y a interférence constructive :
∆ =a.sinθd−a.sinθi=p.λ, oùpest entier.
Exercice
Formule des réseaux
Si on éclaire un réseau de période spatialea
avec une onde plane monochromatique (de longueur d'ondeλ)
qui fait un angleθi avec la normale au plan du réseau, l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions
repérées par les angles θp par rapport à la normale au plan du réseau, telles que
sinθp−sinθi =pλ a (p, l'ordre de diraction, est entier).
Optique Diraction
Utilisation d'un réseau
on visualise de la lumière monochromatique à la sortie d'un réseau par transmission uniquement dans certaines directions : les ordres.
Eclairé en lumière blanche, le réseau disperse la lumière et permet
Exercice
Angle de déviation (dénition) L'angle de déviation pour l'ordre p est
D =θp−θi
où le rayon incident fait un angleθi avec la normale au réseau, et le rayon diracté dans l'ordrep un angle θp.
Optique Diraction
Minimum de déviation dans le cas du réseau dD=0=dθp−dθi, soitdθp=dθi
Or la dérivation de la formule des réseaux donne :cosθp.dθp−cosθi.dθi=0, soit cosθp= cosθi.
Il y a deux solutions : soitθp=θi(et la déviation est nulle : c'est l'ordre nul, qui ne nous intéresse pas), soitθp=−θi.
Exercice
Minimum de déviation dans le cas du réseau Si on éclaire un réseau de période spatialea
avec une onde plane monochromatique (de longueur d'ondeλ)
et que la déviation est minimale (D =Dmin⇔θp =−θi) on a alors la formule
2sin Dmin
2
= pλ a
Optique Diraction
Spectre visible
le spectre visible s'étale de 400nm à 750nm.
Exercice
Phénomène de recouvrement des ordres
Optique Diraction
Caractère dispersif des réseaux
sauf pour l'ordre 0, la direction de diraction dépend de la longueur d'onde.
Exercice
Spectromètres et spectroscopes
on peut analyser la lumière en créant une onde plane qui est diractée par un réseau. On réalise ainsi un spectromètre (une seule longueur d'onde en sort) ou bien un spectroscope (toutes les longueur d'onde sortent dispersées).
Optique Diraction
Goniomètre
le goniomètre permet d'observer (sur un réticule) une onde plane qui est diractée par un réseau, et de mesurer très précisément (avec un vernier angulaire) la déviation du faisceau.
Exercice
Optique Diraction
Grâce à un miroir sphérique,N trous alignés équidistants (de distancea) sont éclairés par une onde plane monochromatique de longueur d'ondeλfaisant un angleθi avec la normale au plan des trous. On observe la lumière diractée à l'inni dans la directionθd avec la normale au plan des trous, le réseau étant xé sur un miroir plan. Un second miroir sphérique focalise la lumière diractée sur une barrette de détecteurs.
Exercice
1) Exprimer le déphasageϕentre deux ondes passant par deux trous successifs.
2) En utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la position des ordres par condition d'interférence constructive. En déduire la formule des réseaux.
3) Toujours en utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la demi-largeur angulaire∆θdes franges brillantes par condition d'interférence destructive. Interpréter la dépendance de∆θavecN. 4) Expliquer en quoi∆θ limite la résolution spectrale d'un
spectroscope à réseau.
Optique Diraction
