ANALYSE LAGRANGIENNE SUR UNE ONDE LONGITUDINALE SPHÉRIQUE

(1)

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ANALYSE LAGRANGIENNE SUR UNE ONDE

LONGITUDINALE SPHÉRIQUE

J. Cagnoux

To cite this version:

J. Cagnoux. ANALYSE LAGRANGIENNE SUR UNE ONDE LONGITUDINALE SPHÉRIQUE.

Journal de Physique Colloques, 1985, 46 (C5), pp.C5-575-C5-581. �10.1051/jphyscol:1985574�.

�jpa-00224808�

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JOURNAL

DE

PHYSIQUE

Colloque C5, suppl6ment au n08, Tome 46, ao0t 1985 page C5-575

ANALYSE LAGRANGIENNE SUR UNE ONDE LONGITUDINALE S P H ~ R I Q U E

J. Cagnoux

Centre d r E t u d e s de Gramat, 46500 Gramat, France

RESME : Des techniques de msure de la vitesse mtQrielle et de la con- trainte radiale sur un hulement sphkique divergent sont dkrites. On donne les Asultats de telles msures dans le FM4R et le verre pyrex. Les techniques d'analyse lagrangienne sont utilis&s sur ces r&sultats. On &a- lue notamnent leur capacitg & calculer la contrainte transversale.

AESlPACT : Experimental techniques used to msure the mterial velocity and the radial stress in a divergent spherical flow are described. Results are sham for M and pyrex glass. Ihe capacity of lagrangian analysis techniques for calculating the transversal stress is evaluated.

L'onde longitudinale plane est souvent consid&& amme le chargement privilki6 pour l'htude des ph&an&es de propagation d'onde de q r d e intensit& dans les milieux solides. La dtrologie et les techniques de d6puillement associks & ce processus de chargement /1/ sont appliquks & l'heure actuelle avec fiabilit6 pour l'identification des modsles de amportement des nathriaux /2/. La critique que nous ferons ici

a

ce type de chargement est qu'il ne permet d'explorer qu'un d.lemin dans l'espace des contraintes. Partant de 1&, il est logique de rechercher des configurations d'essais pennettant d'identifier et de valider des mod&les de

-

portement dans d'autres &ions de l'espace des wntraintes que celle dkrite en d&formation uniaxiale. Le but du travail pr6sent6 ici est d'hluer en ce sens les possibilit6s des ondes longitudinales sph6riques divergentes ( O W ) . La validation de la msure de la vitesse nathrielle au myen de capteurs &ectrmgn&tiques sera effectuk par interf&r&ie n3ppler-laser. b mat&riau &ole retenu pour cette expE?rience est le FM4R, milieu dans lequel l'effet extensan&rique sur les jauges sera exacerb&. Une msure de la contrainte radiale par capteurs pi&orhsistifs sera tent& dans le m i k e natkiau. Ces techniques de msure s e n t ensuite wliqu&s h l'enregistrement de la vitesse mt6rielle et de la mntrainte radiale sur une OLSP dans un verre pyrex. Les rhsultats &enus seront analys6s dans ce dernier mathriau en vue d'estimr les possibilit6s de calculer la wntrainte tranversale sur l'&oulement.

Le muvement uniaxial se fait dans la direction r. Les directions perpendiculaires sont not& et 4, et sont Wvalentes. Ies ampsantes du vecteur vitesse parti- culaire (ou nat8rielle) sont $. 0, u = ue =

2.

La structure du tenseur des contraintes

Z

et celle du tenseur3es d&fo%mt~ons

:

sont :

(3)

C5-576 JOURNAL DE PHYSIQUE

La p s i t i o n r d'une particule se calcule en fonction de l a vitesse particulaire

'Jr

Par :

r ( h , t ) = h + / \ d t

to (1)

avec h = r

(h)

position i n i t i a l e (ou lagrangienne) de la particule. Les d6fom- tions radiale er et transversale E, se calculent par l e s relations /2/ :

r r ( h , t ) = LaJ

(

)

avec cr (kto) = 0 (2) e, ( h , t ) =

w

+

avec ee (h,to) = 0 ( 3 )

L' &quation de continuit6 peut s ' h r i r e /2/ :

+

=

-$-

avec p = po pur t = to (4)

11 -&t, en considkant l e s relations (1)

,

(2), (3) et (4) que l ' o n p u t calcu- l e r l e s a m p s a n t e s er et ee de l a d&fonmtion, a i n s i que l a densit6 p atta- c h & ~ ii la particule lagrangienne consid&&, h p a r t i r de la msure continue de la

vitesse m t k i e l l e

I+.

L'applicaticn de l a relation (5) permet ensuite de calcu- l e r la o3mposarrte 00 du tenseur des cantraintes p r t i r de la msure continue de l a contrainte radiale or. L a & h d e u t i l i s b pour appliquer ces relations p u t & ec e l l e & r i t e par Searnan /3/ pax l'analyse lagrangienne sur m e mde longitudinale plane arrortie.

La vitesse ur est obtenue ii partir de la force ice e qui apparaEt aux bornes d'une h c l e conductrice &nt l a surface S offerte au &amp mgn6tique B

varie sous l ' e f f e t de u. Ems l a pratique, l ' 6 l b t m b i l e de l a toucle e s t cons-

tit& d'un conducteur rectiligne de longueur L plack prpendiculairement aux lignes du champ B. Les h i l s du m t a q e e&rimental sont donn&s en &f&ence /4/. Le champ B est &&6 au nayen d'aimants p e m e n t s en magn6tite. Ia vitesse s'obtient alors par la relation :

&i q est un facteur correctif tenant q t e de l ' e f f e t extenscmkrique. @I m n t r e

/4/ r) =

bkn~s proposons i c i une &ode de validation directe de la nresure p r jauges & l e e trmqn&tiques

.

Le milieu choisi e s t l e dans lequel m e cnde sphhique est g&&b au nayen d'un explosif h&sph&ique pla& au contact et mr& au centre. Nous avons r&lis& d'une un essai pendant lequel la vitesse mat6rielle a &&

mesurb par capteurs 6ledrmgn&iques en t r o i s abscisses lagranqiennes (ro=4Qnn

r, = 50 mn, ro = 60 mn). D'autre part, mus avons r&lis& deux essais au cours desquels l a vitesse m a t k i e l l e a && m e s u r b par intexf&&ie Doppler-laser, respectivement aux abscisses ro = 40 mn et ro = 60 mn. La amparaison des r&

su1tats"des deux types de msure est e f f e c t u b sur la figure 1, et m n t r e m e tr&s bonne concordance pour la premike abscisse,mais un l k e r d h l a g e sur l e profil de d&tente pour l a t r o i s i h abscisse. Pour ro = 40 mn, l'enregistrement par l a &hale interfBr&ique a && interranpu au b u t de 4 p s environ (dhhirement de l a n&tallisaticn 3). Au b u t de c e t t e d u r b , nous calculons m e d6formation transversale ce = 5 %, s o i t un allonqement du f i l de msure de 4/10 m. Pour ro = 60 mn, l a d6formation transversale E, calcul& sur l e signal d6livrB par l S i n t e r f & &e est de 1,98 % au bout de 5 p s ; calculke sur l e signal d&livr& par l e cap

(4)

exc&s et par &£&race au signal interf6rdtrique.

I

I I I I I I 1 I I I I

1 -

capteurs e'lectromagn6tiques

FIGURE 1 : V i t e s s e r n a t 6 r i e l l e d a n s l e PMMA s u r une onde l o n e i t u d i n a l e s o h g r i a u e d i v e r ~ e n t e .

Nous presentom ici une tentative de la msure de la contrainte radiale en utili- sant un capteur pi6zor6sistif en mganin (HEM. FNS 6/50 YT). Le problh de l'ex- t e n d t r i e est aborde par le chetnin suivant :

-

msure de la variation de r4sistance M a l e (piezoresistive et extenscan& trique) pendant la sollicitation,

-

&valuation de la ccmposante extens&ique de la variation totale de r&sistance, au myen d'un rrod&le bas6 sur la g&m&rie de la partie sensi- ble du capteur, et de la connaissance de la vitesse mtkielle,

-

en supposant le &couplage entre les dew ph&&es (pibrBsistivitB et extens&ie), calcul de la variation de &sistance due h la seule pi8z.o- r&sistivit&,

-

application du efficient d'gtalonnage piQzor6sistif b l i en Agime de d6fomtion mncdimensionnelle.

Nous avons appliqu6 cette approche la msure de or dans le EWA. La variation totale de r6sistance (AR/R,)~ des jauges enregistree au cours de l'essai aux abcisses lagrangiennes ro = 40, 50, 60 mn ffit repr&sent& sur la figure 2. hbus hrirons :

(AR/R~), = (AR/Ro)~i&rn.

+

(AR/R0)extens.

La -ante extendtrique sera h l u & au myen de e e suivant une id& de Keough /5/. CXJ trtrve tous calculs faits /4/ :

D1apr&s ce d & l e , la variation purement pibor6sistive ffit tra& en trait discon- tinu sur la figure 2. Le coefficient d'&taIonnage trow6 par Perez /6/ a

&&

ap- plique pour obtenir les contraintes radiales repr6senths sur la figure 3. hcune technique directe ne m u s est apparue apte 2 ~ l i d e r cette m h c d e de msure de la contrainte radiale.

(5)

JOURNAL DE PHYSIQUE

FIGURE

2

: V a r i a t i o n d e r S s i s t a n c e d e s j a u g e s p i 6 z o r C s i s t i v e s

d a n s l e P M s u r une onde l o n g i t u d i n a l e s p h e r i q u e d i v e r g e n t e .

FZGURE

3

: C o n t r a i n t e r a d i a l e d a n s l e PMfA s u r une onde l o n g i t u d i n a l e s p h e r i q u e d i v e r g e n t e .

(6)

IV

-

APPLICATION DE L1AN7+LYSE IAGRANGIENNE A DES RESJLTATS -ALK

Nous n'avons pas applicp6 l'analyse lagrangienne dhrite au chapitre I1 aux rhul- tats obtenus dans le FWA, h cause du carportanent quasi-hydrodynamique de ce m&- riau. Nous avons Choisi d'appliquer les techniques de d6pouillmt aux r6sultats obtenus dans le verre -ex, h cause du carad&re rigide nvntr6 par ce rmt6riau /7/ pour des amtraintes &l&v&s.

Sur les figures 4 et 5, sont respectivement mxtr&s les vitesses mttielles et les contraintes radiales mesur&s dans le verre pyrex suivant les techniques dhri- tes au chapitre 111.

FIGURE

4

: V i t e s s e m a t s r i e l l e e n r e g i s t r g e FIGURE 5 : C o n t r a i n t e r a d i a l e e n r e s i s t r & d a n s l e v e r r e p y r e x , s u r une d a n s l e v e r r e p y r e x , s u r une onde l o n e i t u d i n a l e s o h e r i a u s - - - u dnde l o n ~ i t u d i n a l e s p h g r i q u e d i v e r g e n t e . d i v e r g e n c e .

-

Nous avons calm16 par l'analyse lagrangienne des profils des figures 4 et 5 (i) le chemin suivi dans le plan (ar, V) et (ii) le chemin suivi dans le plan (%, u ). Ceux-ci sont m t r 6 s sur les figures 6 et 7 et c~npar6s aux r6sultats d'une sirnufa- tion n h i q u e de l'expkience h l'aide du logiciel de calcul MONO. Le verre pyrex est repr6sentQ par un modale aastique mn-linhire /2/. A l'issue de l'analyse lagrangienne, les wmtatations sont les suivantes :

-

L'analyse des signaux de vitesse, suivie d'un couplage avec les signaux de wntrainte radiale permet de restituer wrrectanent le trajet (a V) en mnpTes-

T'

sion. h dkente l'accord entre les deux approches (calcul ndr1que et edr~ence) est rhlis6 h 6 % pr&s.

-

L'analyse coupl& des signaux de vitesse et de mtrainte (application de la relation (5)) est un khec sur la phase de ampression. Cet h e c peut h e attribu6 h la tr&s faible sensibilit6 de cette phase de ll&oulenaent h la cranpo-

sante ae (en fait le chemin suivi est quasiment celui suivi en d6formation uniaxiale). Sur la phase de dkente, le calm1 de ae(t) est possible, m i s d&pend sensi- blernent des choix pris sur la discristisation des signaux %(t) et ar(t) /4/. Cepen-

(7)

C5-580 JOURNAL DE PHYSIQUE

h ug = 0 (figure 7 ) . Q1 ranarquera alors que par sa situation privil&gi& sur l'axe a,, l e p o i n t h ue = 0 determine l e t r a j e t de d a e n t e . Ia tr&s faible incertitude sur l e p i t i o n n e m e n t de ce p i n t par l'analyse lagrangienne permet de m c l u r e h

l a faculti! de c e t t e mkthode h daerminer l e chemin en d k e n t e dans l'espace des contraintes.

- - - -

expbrience -ca,cu, origine du trajet 60 e x p i r i m ~ n t a l

...

h = 4,15cm ---jexpirience ( 3 types de discritisation) -4 3

volume spe'cif. (10 m /kg ) U, (kbar)

FIGURE 6 : Comp,araison expdrience-calcul FIGURE 7 : Comparaison exp8rience-caicul

v

-

CONCLUSIONS

L'approche exp&iment.ale en g h & r i e sphkique a k 8 l i m i t & au cours de ce tra- v a i l & l'&ude, de la propagation d'une d e longitudinale @&ique divergente. C ' e s t sur ce charganent que nous puvons f a i r e mintenant l e bilan des p s i b i l i t i ! ~ e t des limitations de la mktrologie et des &odes de d&muillanent.

I1 e s t possible de mesurer la vitesse m t k i e l l e sur une d e longitudinale sgh&i-

que divergente h l ' a i d e de capteurs &le&rmagn&tiques. Une l$&re correction d o i t e t peut &re r&lis& afin de tenir o3npte de l ' e f f e t extenwwtrique. Us pssibi- l i t & et l e s limitations de c e t t e *ode de msure sont alors celles cxmnues sur l e s cndes longitudinales planes.

La vitesse m ~ i e l l e eat 6galement meswable h l ' a i d e d'un i n t e r f t k a n k r e w l e r - laser, nais o e t t e mesure est Limit& a m rmt&iaux transparents.

15 ~S~I!I&BIO de msurer la contrainte radiale

nu

mw

a~?8 lmqituaine1e *i-

que divergente h l ' a i d e de capt-eurs pi&or&istifs en, manqanin, & condition de se donner les nuyens de retrancher l a mnposante extensanetrique de l a r h e globale de l a jauge. C e t t e d t h o d e de m s w e e s t alors assujettie aux hypAh&ses suivantes:

-

d s s a n c e de la &formation transversale dans l e s plans de msure,

-

d&uplage des a m p s a n t e s pii!zoresistive et extenscdkrique du capteur en

mganin,

-

validit& du -&le prmettant de calculer l a r 6 p m e e x t d i q u e du f i l de msure,

-

application du a x f f i c i e n t d ' h l o n n a g e pi&zor&istif identifie en defor- mation uniaxiale.

(8)

En supposant recevables ces hypth&ses, les psibilit&s et les limitations de la mesure sont celles des capteurs mganin utilisb sur m e onde longitudinale plane. 11 faut mter que la phase de d&tente impos& par la g&&trie spherique est pro- gressive, ce qui doit permettre lt&uilibre des capteurs dans beaucoup de mt& r iaux

.

~'analyse lagrangienne couplee des signaux de vitesse et de contrainte radiale pennet theoriquement de calculer la contrainte og(t). Cmpte tenu de certains pro-

b l h s d'analyse ndrique rnn r&solus, ce calcul est :

-

restreint h la seule phase de detente,

-

souinis a w incertitudes des techniques de I'analyse lagrangieme.

La premiere restriction n'entame pas les possibilit? du d&uillement. parce que la phase de ampression n'est pas sensible h la g&mtrie sphgrique divergente. Plus graves sont les problhs techniques de l'analyse lagrangienne appliquh h la phase de d&ente. Ckl a constat6 que seul le point pour lequel ae = 0 est exploitable dans 1'&t actuel des techniques d'analyse. Le fait que ce point cccupe m e position d&erminante sur le trajet suivi dans l'espace des contraintes conserve un int&&t

a

ce type de d6pouillement. I1 serait intkessant de pursuivre ll&ude des techni- ques d'analyse en vue de prkiser cette constatation.

/1/ G.R. Fbles, chapter 8 in Dynamic Response of Marerials to Intense Impulsive Loading, edited by Pei Chi Chou and Alan K. Hopkins, Air Force Materials Labo- ratory, Wright Patterson AFB, Chio 45433.

/2/ J. Qgnoux, W & l e p h ~ o l o g i q u e tridimensionnel de mine par &aillage d'un verre pyrex, oolloque JXMAT 85, Paris, dans ces proceedings.

/3/ L. Seaman, J. ?ppl. Phys. 45, 4303 (1974).

/4/ J. C a w , Th&e h paraitre, EtFMA, Poitiers 1985

/ 5 / D.D. Keough, Development of a High-sensibility piezoresistive shock transducer for the l m kilobar range, final &port, SRI, BASA-694.0014 (1970).

/6/ M. Perez, ~h&se de Docteur ~nghieur, Universit& Paul Sabatier, Toulouse, (1980).

/7/ J. Cagnoux, Shock Wave Canpression of a Borosilicate Glass, up to 170 kbar, APS Conference SRI

,

(1981)

.