annéescolaire2018-2019 Optique Interférences

Interférences

Optique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Problématique Plan

Comment améliorer la résolution d'un télescope ?

Optique Interférences

1) comprendre les interférences

Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Problématique Plan

2) étudier les conditions pour que se produisent les interférences

Optique Interférences

3) s'intéresser aux trous et aux fentes de Young

Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Exemples de phénomènes d'interférences

Les interférences : l'intensité de la somme n'est pas la somme des intensités. Dans certains cas, de la lumière ajoutée à de la lumière donne de l'obscurité !

Optique Interférences

Formule de Fresnel

Au pointM, deux vibrations lumineuses synchrones

s_k(M,t) =a_0kcos

ω

t−(S_kM) c

−ϕ_supk−φ₀

s'ajoutent :

I(M) =D s₁(M,t)²E

+D s₂(M,t)²E

+2hs₁(M,t)s₂(M,t)i

Une formule trigonométrique permet d'écrire 2hs₁(M,t)s₂(M,t)i= 2√

I₁I₂hcos [(ω−ω)t+ ∆ϕ]i +2√

I₁I₂ cos

(ω+ω)t+ ∆ϕ⁰

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Formule de Fresnel

L'intensité I résultant de l'interférence de deux sources monochromatiques synchrones de longueur d'onde λ ₀ dans le vide, respectivement d'intensité I ₁ et I ₂ (si elles étaient seules) est

I = I ₁ + I ₂ + 2 p

I ₁ I ₂ cos (∆ϕ) où ∆ϕ = ² _λ ^π

0

δ + ϕ _sup avec δ , la diérence de marche en M et ϕ _sup = π dans le cas :

• d'une réexion sur un miroir métallique

• d'une réexion sur un dioptre d'indice supérieur

• du passage par un point de convergence

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Interprétation de la formule de Fresnel

I ₁ est l'intensité reçue au point M avec la seule source S ₁ , et I ₂ , l'intensité reçue au point M avec la seule source S ₂ .

I 6= I ₁ + I ₂ à cause du terme d'interférence 2 √

I ₁ I ₂ cos (∆ϕ)

où ∆ϕ(M ) est le déphasage entre les deux vibrations lumineuses

arrivant au point M .

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Ordre d'interférence (dénition)

L'ordre d'interférence est la grandeur p sans dimension telle que ∆ϕ(M ) = 2π p.

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Franges claires et sombres, interférences constructives et destructives (dénition)

Sur un écran, le lieu des points M contigus de même

éclairement, donc de même phase, est appelé frange

d'interférences.

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Nature des interférences et ordre d'interférence On est en présence

• d'une interférence constructive (c'est à dire d'une frange brillante ou claire) si p est entier ;

• d'une interférence destructive (c'est à dire d'une frange sombre ou noire) si p est demi entier ( p = ¹ ₂ + n avec n ∈ Z).

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Contraste ou visibilité des franges (dénition) le contraste ou visibilité des franges est

C = I _max − I _min

I max + I min

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Encadrement du contraste (exercice) Montrer que 0 6 C 6 1 .

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Encadrement du contraste (exercice) CommeImax=I₁+I₂+2√

I₁.I₂etI_min=I₁+I₂−2√

I₁.I₂, on en déduit : C= ^4.

√I1.I2 2.(I1+I2)=

√I1.I2 (I1+I2) 2

. Aussi, le contraste est le rapport de la moyenne géométrique des intensités des deux ondes seules sur la moyenne arithmétique deI₁ etI₂.

En calculant

pI₁−p I₁₂

=I₁+I₂−2p I₁I₂≥0 on a bienC61.

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Interprétation de la visibilité des franges Aussi,

• le contraste est nul si I ₁ I ₂ ou I ₂ I ₁ . Il est donc primordial d'avoir des intensités I ₁ et I ₂ proches pour conserver un bon contraste donc une bonne visibilité des franges.

• le contraste est maximal (c'est à dire C = 1) si I ₁ = I ₂ : c'est la meilleure visibilité des franges.

Optique Interférences

Réecriture de la formule de Fresnel avec le contraste (exercice)

Montrer qu'on peut écrire la formule de Fresnel d'une autre façon :

I (M ) = I ₀ [1 + C cos (∆ϕ)] avec I ₀ = I ₁ + I ₂

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Réecriture de la formule de Fresnel avec le contraste (exercice) CommeI_max=I₁+I₂+2√

I₁.I₂etI_min=I₁+I₂−2√

I₁.I₂, on en déduit : C= ^4.

√ I1.I2 2.(I1+I2)=

√ I1.I2 (I1+I2) 2

.

Aussi,I=I₁+I₂+ (I₁+I₂).C.cos (∆ϕ)

Optique Interférences

Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec le

contraste

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Surfaces d'iso-eclairement

Une surface d'iso-eclairement (ou d'iso-intensité) est l'ensemble connexe des points M tels que I (M ) = constante, d'où

δ(M) = constante donc (S ₂ M ) − (S ₁ M) = constante.

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Forme des surfaces iso-eclairement

Le système de franges possède la symétrie de révolution par rapport à l'axeS₁S₂. Si le milieu est homogène d'indicenconstant, cela correspond à

S₂M−S₁M=constante

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Forme des surfaces iso-eclairement

Dans le cas d'interférences de deux ondes issues de deux ondes synchrones en S ₁ et S ₂ , les surfaces d'iso éclairement dans un milieu homogène sont des hyperboloïdes homofocales de foyers S ₁ et S ₂ .

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Quelques surfaces iso-éclairement

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Phénomène d'interférence Dénitions relatives aux interférences Etude géométrique des interférences

Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plan contenant S ₁ et S ₂

la trace de surfaces iso-éclairement dans un plan contenant l'axe S ₁ S ₂ : hyperboles de foyers S ₁ et S ₂ .

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Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Calcul de l'intensité résultant de la superposition de deux ondes monochromatiques (exercice) On s'intéresse à deux sources ponctuelles précédentes : s ₁ (S ₁ , t) = a ₀₁ cos (ω ₁ t − φ ₁ ) et s ₂ (S ₂ , t) = a ₀₂ cos (ω ₂ t − φ ₂ ) .

Montrer que l'intensité lumineuse en M est I (M) = I ₁ + I ₂ + 2 p

I ₁ I ₂ hcos [(ω ₁ − ω ₂ ) t + ∆ϕ]i où

∆ϕ = ω ₂ ^(S

_c ^M) − ω ₁ ^(S

_c ^M) +ϕ sup

− ϕ sup

+φ ₂ − φ ₁

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Calcul de l'intensité résultant de la superposition de deux ondes monochromatiques (exercice)

Les deux vibrations lumineuses s'additionnent et

I(M) =D s₁(M,t)²E

+D s₂(M,t)²E

+2hs₁(M,t)s₂(M,t)i

Une formule trigonométrique permet d'écrire 2hs₁(M,t)s₂(M,t)i= 2√

I₁I₂hcos [(ω₁−ω₂)t+ ∆ϕ]i +2√

I₁I₂ cos

(ω₁+ω₂)t+ ∆ϕ⁰

où∆ϕ=−ω₁^(S1M)

c −ϕ_sup1−φ₁+ω₂^(S2M)

c +ϕ_sup2+φ₂et

∆ϕ⁰=−ω₁^(S1_c^M)−ϕ_sup1−φ₁−ω₂^(S2_c^M)−ϕ_sup2−φ₂. Bien entendu, la seconde moyenne est nulle :

Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Condition d'interférence et cohérence temporelle

Il faut que les deux sourcesS₁etS₂aient la même pulsation :ω₁=ω₂pour que

hcos [(ω₁−ω₂)t+ ∆ϕ]i=hcos (∆ϕ)i 6=0

c'est à dire pour qu'il y ait interférence.

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Condition d'interférence et cohérence temporelle

Deux longueurs d'onde diérentes n'interfèrent pas.

Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Condition d'interférence et cohérence spatiale

Si les deux sourcesS₁etS₂ont la même pulsation :ω₁=ω₂pour que

hcos [(ω₁−ω₂)t+ ∆ϕ]i=hcos (∆ϕ)i 6=0

pour qu'il y ait interférence. Or

∆ϕ= ^ω_c[(S₂M)−(S₁M)] +ϕ_sup2−ϕ_sup1+φ₂−φ₁. Comme le déphasage à l'origineφ₂−φ₁entre deux sources lumineusesS₁etS₂est variable et quelconque.

Ainsi sur le temps de réponse du détecteur, la phase varie un très grand nombre de fois entre 0 et 2πet ainsihcos (∆ϕ)i=0 siS₁etS₂sont diérentes.

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Condition d'interférence et cohérence spatiale

Deux sources primaires diérentes n'interfèrent pas.

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Condition d'interférence sur les trains d'onde Pour quehcos (∆ϕ)i 6=0 avec

∆ϕ= ^ω_c[(S₂M)−(S₁M)] +ϕ_sup2−ϕ_sup1+φ₂−φ₁, il faut que les trains d'ondes se superposent. Or, pour que se superposent ces trains d'onde, il faut que la diérence de marche ne soit pas plus grande (en valeur absolue) que la longueur du train d'onde dans l'espace, c'est à dire`_c, la longueur de cohérence temporelle.

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Condition d'interférence sur les trains d'onde Pour que les interférences ne soient pas brouillées, il faut que la diérence de marche soit inférieure à la longueur de cohérence temporelle :

|δ| < ` _c

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Utilisation des laser pour des interférences

Une grande monochromaticité (et une grande longueur de cohérence temporelle) associée à une grande directivité (un point source à distance innie) expliquent pourquoi il est plus facile de réaliser des interférences avec un laser.

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Interférence à partir d'une unique source primaire

si l'on veut réaliser des interférences, une solution consiste à créer deux sources à partir d'une unique source primaire. On parle alors de deux sources secondaires. C'est ce qui se passe en particulier dans le dispositif des trous de Young.

Il faut pour réaliser une source quasi ponctuelle :

• un laser (source ponctuelle à l'inni) ;

• ou bien un laser à qui on adjoint un objectif de microscope (source ponctuelle à distance nie) ;

• soit encore une lampe qui éclaire (grâce à un condenseur) un

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Principe du dispositif des trous de Young

deux rayons lumineux diérents, issus du même point source primaire (qu'on notera S ) qui vont interférer en un point M. Depuis M , ces deux rayons lumineux semblent provenir (ou proviennent eectivement) de deux point sources secondaires S ₁ et S ₂ .

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Non localisation des interférences

Dans le cas d'utilisation d'une source ponctuelle, les interférences ne sont pas localisées. C'est à dire qu'elles existent a priori dans toute la zone de recouvrement des faisceaux.

Aussi, il n'est pas nécessaire a priori d'utiliser un dispositif de

formation d'image (lentille) pour visualiser les interférences.

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Champ d'interférences

le champ d'interférences est le lieu des points M pouvant être atteints par les deux signaux. On parle aussi de zone de recouvrement des faisceaux.

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Détermination de la diérence de marche dans le cas des trous de Young (exercice)

Déterminer la diérence de marche δ dans le cas des trous de Young.

En utilisant le fait que les trous de Young sont

situés à une distance a faible devant la distance d

séparant les trous de l'écran, faire un développement

limité pour exprimer δ en fonction de x et y les

coordonnées du point M sur l'écran.

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Détermination de la diérence de marche dans le cas des trous de Young (exercice) La diérence de marche est

δ= (SS₁M)−(SS₂M) =SS₁−SS₂+S₁M−S₂M

On peut calculer, en prenantO, l'origine du repère au milieu deS₁S₂.

S₁M²= a

2+x ₂

+y²+d²≈d

"

1+1 2

2a+x d

!₂ +1

2 y

d ₂#

Donc

δ≈SS₁−SS₂+d

"

1+x²+a x+a²/4 2d² + y²

2d²

#

−d

"

1+x²−a x+a²/4 2d² + y²

2d²

#

=SS₁−SS₂+d2a x 2d²

On trouve doncδ≈SS₁−SS₂+^{a x}_d .

Optique Interférences

Ecran éclairé par un laser à travers des trous de Young

le plan d'observation derrière des trous de Young éclairés par un

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Forme des franges dans le cas des trous de Young (exercice)

En utilisant la diérence de marche

δ ≈ SS ₁ − SS ₂ + ^{a x} _d , déterminer la forme des franges observées sur l'écran dans le cas des trous de Young.

Retrouver le résultat en utilisant les surfaces iso-éclairement.

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Forme des franges dans le cas des trous de Young (exercice) La formule de Fresnel donne :

I=I₁+I₂+2p

I₁I₂cos (∆ϕ)

avec∆ϕ=²_λ^π

SS₁−SS₂+^{a x}_d

car il n'y a pas de déphasage supplémentaire.

Aussi,

I=I₁+I₂+2p I₁I₂cos

2π λ

SS₁−SS₂+a x d

qui n'est que fonction dex, donc invariante par translation suivanty: les franges sont rectilignes.

L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles.

Sur une petite distances, ces hyperboles peuvent être considérées comme

Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Interfrange (dénition)

sur l'écran d'observation, la distance i entre deux franges consécutives de même nature est appelée interfrange. C'est par exemple l'espace entre deux franges sombres consécutives.

Optique Interférences

Attention !

Cette dénition n'a véritablement d'intérêt que si i est constant,

c'est à dire si l'éclairement est une fonction périodique d'une

direction (par exemple x ) du plan d'observation.

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Interfrange dans le cas des trous de Young (exercice)

En utilisant la diérence de marche

δ ≈ SS ₁ − SS ₂ + ^{a x} _d , déterminer l'interfrange dans le cas des trous de Young écartés de a et observés à une distance d .

Optique Interférences

Interfrange dans le cas des trous de Young (exercice) La formule de Fresnel donne :

I=I₁+I₂+2p

I₁I₂cos (∆ϕ)

avec∆ϕ=²_λ^π

SS₁−SS₂+^{a x}_d

car il n'y a pas de déphasage supplémentaire.

Aussi,

I=I₁+I₂+2p I₁I₂cos

2π λ

SS₁−SS₂+a x d

qu'on peut réécrire sous la forme

I=I₁+I₂+2p I₁I₂cos

2πx

i +ϕ₀

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Cohérence temporelle d'une source (exercice) Considérons un point source primaire : S ₀ qui éclaire par deux sources monochromatiques de fréquences ν ₁ et ν ₂ deux trous de Young S ₁ et S ₂ .

p ₁ (M) est l'ordre d'interférence en M dû à la source de fréquence ν ₁

et p ₂ (M ) celui dû à la source de fréquence ν ₂ . Montrer que la diérence d'ordre d'interférence en un point M est

|∆p| = |p ₁ (M ) − p ₂ (M )| = δ

c |ν ₁ − ν ₂ |

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Cohérence temporelle d'une source (exercice)

Si la diérence de marche estδ= [(S₀S₂) + (S₂M)−(S₀S₁)−(S₁M)],

∆ϕ(ν₁,M) = ^{2π ν}_c¹δ, et∆ϕ(ν₂,M) = ^{2π ν}_c²δ, soit :

p₁(M)−p₂(M) =δ c(ν₁−ν₂) Donc :

|∆p|=δ c

|ν₁−ν₂|

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Cohérence spatiale d'une source (exercice) Considérons deux points sources primaires très proches : P ₁ et P ₂ qui éclairent par une source monochromatique de longueur d'onde λ deux trous de Young S ₁ et S ₂ .

~

u ₁ et u ~ ₂ sont des vecteurs normés dans les directions de S ₁ et S ₂ : ~ u ₁ =

− −− → P

S

P

S

et ~ u ₂ =

− −− → P

S

P

S

.

p ₁ (M) est l'ordre d'interférence en M dû à la source P ₁ et p ₂ (M ) celui dû à la source P ₂ .

Montrer que la diérence d'ordre d'interférence en un point M quelconque du plan d'observation est

|∆p| = |p ₁ (M ) − p ₂ (M )| ≈

− −− →

P ₁ P ₂ . (~ u ₁ − ~ u ₂ ) λ

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Cohérence spatiale d'une source (exercice) P₂S₁=

r−−−→ P₂P₁+−−→

P₁S₁₂

. DoncP₂S₁=P₁S₁

1+2.−−−→ P₂P₁·~u₁+_P

1P2 P1S1

₂1 2. Un développement limité au premier ordre donne :P₂S₁≈P₁S₁

1+−−−→ P₂P₁·~u₁

. De la même façon,P₂S₂≈P₁S₂

1+−−−→ P₂P₁·~u₂

.

∆ϕ(P₁,M) =^2π_λ [(P₁S₂) + (S₂M)−(P₁S₁)−(S₁M)], et∆ϕ(P₂,M) =^2π_λ [(P₂S₂) + (S₂M)−(P₂S₁)−(S₁M)], soit :

p₁(M)−p₂(M) = 1

λ[P₁S₂−P₁S₁−P₂S₂+P₂S₁]

Donc :

−−−→

P₁P₂·(~u₁−~u₂)

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Illustration de la cohérence

l'intensité résultant de la superposition de deux systèmes d'interférence

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Critère semi-quantitatif de brouillage des franges Si la variation de l'ordre d'interférence est |∆p| > 1/2 en un même endroit du plan d'observation, les

interférences sont brouillées.

Cela peut arriver :

• pour une source large ( |∆p| est alors évalué sur la moitié de l'étendue spatiale de la source), on parle de cohérence spatiale ;

• pour une source non monochromatique ( |∆p| est

alors évalué sur la moitié de l'étendue spectrale de

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Passage de trous de Young aux fentes de Young

dans le cas des trous de Young,∆pest nulle au premier ordre si−−−→

P₁P₂⊥(~u₁−~u₂). On peut utiliser une fente source primaire (P1P₂) orthogonale à~u₁et~u₂.

Optique Interférences

Passage de trous de Young aux fentes de Young

On peut utiliser une fente source primaire parallèle à

deux fentes de Young : ainsi, on gagne en luminosité,

sans brouiller les interférences.

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Dispositif des trous de Young Notion de cohérence Dispositif des fentes de Young

Expérience de Young

L'expérience des trous (et des fentes de Young) met en évidence le phénomènes d'interférences.

Optique Interférences

de Young

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Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)

On assimile deux télescopes distants de a à deux trous T ₁ et T ₂ de taille négligeable et à une lentille d'axe optique Oz , de centre O, de distance focale f ⁰ . Le foyer image de la lentille est noté F ⁰ et le plan focal est le plan d'observation. T ₁ et T ₂ sont à une distance ^a ₂ de l'axe optique.

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Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)

1) Un unique objet ponctuel à l'inni A est observé dans la direction de l'axe optique.

Pour simplier, on supposera que cet objet émet une unique radiation de longueur d'onde λ = 2 , 0 µ m.

1.a) Où se trouve l'image géométrique A ⁰ de A ?

1.b) Calculer la diérence de marche δ ₀ entre les ondes provenant de A et se recombinant en A ⁰ , passant par les trous T ₁ et T ₂ . 1.c) Dans quelle mesure peut-on considérer que le contraste des interférence vaut 1 ? Dans la suite on supposera eectivement que le contraste vaut 1.

1.d) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse I _A (x) d'un point d'abscisse x dans le plan focal.

1.e) En déduire l'expression de l'interfrange.

1.f) Tracer l'allure de la gure d'interférence dans le plan (xF ⁰ y) telle qu'on pourrait l'observer avec une caméra infrarouge.

Optique Interférences

2) Un unique objet ponctuel à l'inni B est observé dans la direction i _B 6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan xOz , avec les mêmes caractéristique que A .

2.a) A quelle distance x B de F ⁰ se trouve l'image géométrique de B ?

2.b) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse I _B (x) en un point d'abscisse x .

2.c) L'interfrange est-elle diérente de celle trouvée

précédemment ?

Introduction Interférence de deux sources synchrones Conditions d'interférences Interféromètres à division du front d'onde Exercice

Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)

3) Deux objets ponctuels à l'inni A et B sont observés dans les directions i _A = 0 et i _B 6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan xOz.

Pour simplier, on supposera que ces deux objets émettent une unique radiation de longueur d'onde λ = 2 , 0 µ m et la même puissance lumineuse.

3.a) Ces deux sources sont-elles cohérentes ?

3.b) En déduire l'intensité lumineuse I _A ^S _B (x) en un point d'abscisse x.

3.c) Pour quelle(s) valeur(s) de a y a-t-il brouillage des interférences ? On exprimera le résultat en fonction de i _B .

3.d) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale de l'angle entre deux étoiles composant une étoile double.

3.e) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la limite de résolution angulaire i min du VLTI ?

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enA⁰, passant par les deux trousT₁etT₂sur la gure 5 est δ₀=0 d'après la symétrie du problème.

1.c) Le contraste des interférence vaut 1 si les intensités passant parT₁etT₂ sont identiques.

1.d) L'intensité lumineuse est I_A=I₁+I₂+2√

I₁I₂cos 2πλδ

=2I₁h 1+ cos

2πλδi

oùδest la diérence de marche. Le théorème de Malus permet d'écrireδ=a(im)⇒ δ=^{a x}

f0 . 1.e) PuisqueI_A=2I₁h

1+ cos 2πλ a

f0xi

l'interfrange (périodicité spatiale des interférences) est i=^λf_a⁰ .

1.f) On observe des franges rectilignes (parallèles àF⁰y, éloignées dei), dans une zone circulaire autour deF⁰qui est la tache de diraction ("tache d'Airy", non exigible).

2) Observation d'une source ponctuelle dans une direction diérente de celle de l'axe optique

2.a) tani_B= ^xB

f0, donc x_B=f⁰i_B . 2.b) L'intensité lumineuse est I_B=I₁+I₂+2√

I₁I₂cos 2πλδ

=2I₁h 1+ cos

2πλδi

oùδest la diérence de marche. Le théorème de Malus permet d'écrireδ=a(i_m−i_B)⇒

δ= ^a

f0(x−x_B). 2.c) PuisqueI_B=2I1h

1+ cos_2π λ a

f0(x−x_B)i

l'interfrange (périodicité spatiale des interférences) est inchangée : i= ^λf_a⁰ .

3) Observation de deux sources ponctuelles 3.a) Ces deux sources sont incohérentes.

3.b) L'intensité résultante est donc la somme des deux intensités :

I_A^S_B(x) =I_A+I_B=2I₁

2+ cos 2π

λ a f⁰x

+ cos

2π λ

a f⁰(x−x_B)

donc I_A^S_B(x) =4I₁h 1+ cos_π

λ a

f0(2x−x_B) cos_π

λ a f0x_Bi

. 3.c) Il y a brouillage des interférences sicos_π

λ a f0x_B

=0 soit ^π_λf^a0x_B=^π₂+kπ oùk∈Zc'est-à-direa= ^λf0

xB 1

2+k

⇒ a= ^λ iB

1 2+k

. Optique Interférences