Diraction Les points du cours à connaître

Diraction

Les points du cours à connaître

I- Diraction de Fraunhofer

1. Cadre de la diraction de Fraunhofer Transmission d'une pupille diractante La transmission est complexe, telle que |˜t| ∈[0; 1] :

• ˜t(P) = 0⇒ la pupille est opaque en P;

• ˜t(P) = 1⇒ la pupille est transparente en P;

• ˜t(P) =e^{j ϕ(P)} ⇒ la pupille est un "objet de phase" enP. 2. Utilisation des fréquences spatiales

Lois de la diraction pour une fréquence spatiale

Une périodicitéa dans la pupille de diraction correspond à une fréquence spatiale σ = 1

a

La lumière est diractée dans une direction faisant un angle θ avec l'axe optique tel que sinθ=λ σ

L'intensité lumineuse diractée I est proportionnelle au module au carré du coecient de Fourier c_n de la transmission de la pupille :I ∝ |c_n|².

3. Limitation de la résolution à cause de la diraction

Limitation de la résolution d'un instrument optique par la diraction

La diraction par l'ouverture d'un instrument d'optique limite la résolution de ce dernier.

II- Interférences à N ondes

1. Interférences crées par N fentes inniment nes

Eet du nombre de fentes sur la courbe de l'intensité lumineuse

L'intensité diractée par N fentes présente des pics. En augmentant le nombre de fentes, la position des pics ne change pas, leur intensité augmente et leur largeur diminue.

2. Interférences crées par N fentes nes

Diraction par N fentes de largeur non nulle

L'intensité diractée parN fentes inniment nes est modulée par l'intensité diractée par une fente de largeur non nulle.

III- Réseaux

1. Formule des réseaux Formule des réseaux

Si on éclaire un réseau de période spatiale a

avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui fait un angle θ_i avec la normale au plan du réseau,

l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions

repérées par les angles θ_p par rapport à la normale au plan du réseau, telles que sinθ_p−sinθ_i =pλ

a (p, l'ordre de diraction, est entier).

2. Déviation par un réseau Angle de déviation

L'angle de déviation pour l'ordre pest

D=θ_p−θ_i

où le rayon incident fait un angleθ_i avec la normale au réseau, et le rayon diracté dans l'ordre p un angle θp.

Minimum de déviation dans le cas du réseau Si on éclaire un réseau de période spatiale a

avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) et que la déviation est minimale (D=D_min ⇔θ_p =−θ_i) on a alors la formule

2 sin

Dmin

2

= p λ a 3. Applications des réseaux

Exercice traité en n de cours

Modélisation d'un spectroscope à réseau

Grâce à un miroir sphérique,N trous alignés équidistants (de distancea) sont éclairés par une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ faisant un angle θi avec la normale au plan des trous. On observe la lumière diractée à l'inni dans la direction θd avec la normale au plan des trous, le réseau étant xé sur un miroir plan. Un second miroir sphérique focalise la lumière diractée sur une barrette de détecteurs.

1) Exprimer le déphasageϕentre deux ondes passant par deux trous successifs.

2) En utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la position des ordres par condition d'interférence constructive. En déduire la formule des réseaux.

3) Toujours en utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la demi-largeur angulaire ∆θ des franges brillantes par condition d'interférence destructive. Interpréter la dépendance de∆θavecN.

4) Expliquer en quoi ∆θ limite la résolution spectrale d'un spectroscope à réseau.

Techniques à maîtriser

I- Diraction de Fraunhofer grâce aux fréquences spatiales

Construire l'onde transmise par un réseau de transmission sinusoïdal par superposition de trois ondes planes dénies par la condition aux limites sur le réseau. Interpréter les observations dans le plan de Fourier.

Dans le cas deN traits parallèles équidistants ou d'une fente, relier une fréquence spatiale du spectre à la position d'un point du plan de Fourier. Relier l'amplitude de l'onde en ce point à la composante du spectre de Fourier correspondant. Interpréter les observations dans le plan de Fourier.

Dans le cas d'une fente, faire le lien avec la relationsinθ=λ/avue en première année.

ce qu'il faut savoir faire capacités

˜t(P) = 0⇒la pupille est opaque enP;

˜t(P) = 1⇒la pupille est transparente enP.

˜t(P) = e^j∆ϕ exponentielle complexe ⇒ la pupille est un "objet de phase" en P qui introduit un déphasage∆ϕ.

Déterminer la transmittance d'une pupilleméthode

Pour un objet de taillea, une fréquence spatialeσ= ¹_a (et toutes ses harmoniques) apparaissent.

Cela se caractérise par de la lumière dans une direction faisant un angle θ = λ σ avec l'axe optique.

L'intensité lumineuse est proportionnelle au module au carré du coecient de Fourier.

Observé dans le plan focal d'une lentille convergente de focale f⁰, on observera de la lumière à une distancef⁰λσ du foyer.

Déterminer les fréquences spatialesméthode

1.1) Diraction par une grille

On considère une mire qui présente une grille de pas a suivantx éclairée sous incidence normale par une onde plane de longueur d'ondeλ.

1) Quelle est l'allure de la mire éclairée ?

Cette mire est placée devant une lentille convergente Lde focalef⁰.

2) A quelle(s) position(s) observe-t-on de la lumière dans le plan focal image de la lentille L?

1.2) Largeur d'un faisceau laser

Un laser hélium-néon émet une onde quasiment plane et monochromatique de longueur d'onde λ= 633nm. A la sortie du laser, le faisceau est limité par un trou du diamètre du faisceau de sortie :D1= 3,0mm. 1) Déterminer l'ordre de grandeur du diamètre D du faisceau à une distance :

1.a) L= 15m; 1.b) L= 150m.

L2= 15 m⇒D≈7 mm. etL3= 150 m⇒D≈ mm.

1.3) Les phares de voiture la nuit

Les deux phares avant (supposés ponctuels) d'une voiture observée à une distance D (très grande) sont distants del= 1,4m.

1) Quel est l'angleαsous lequel on voit ces deux phares ? Le diamètre de la pupille de l'÷il est d= 5mm.

2) Quelle est l'ouverture angulaire δθ de la tache de diraction donnée par un phare ? On prendra une longueur d'onde moyenne de la lumière :λ= 600nm.

Le critère de Rayleigh stipule que deux images sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au diamètre de la tache de chacune des images.

3) Déterminer la distance Dmax à partir de laquel l'÷il peut séparer l'image des deux phares. Application numérique.

Dmax≈10 km.

1.4) Brouillard

On observe une source ponctuelle blanche (λ ≈0,6µm) à l'inni à travers un brouillard est constitué de goutelettes opaques de rayon r. On visualise un halo irisé, de premier anneau sombre obtenu pour l'angle θ= 2^◦.

1) En déduirer. Application numérique.

r= 10µm.

II- Diraction de Fraunhofer grâce aux interférences

Il faut calculer la vibration lumineuse comme somme de toutes les vibrations lumineuses issues de tous les points sources de la pupille diractante.

Puis il faut calculer l'intensité résultante.

Déterminer l'image de diraction par interférences de N ondes méthode

2.1) Calcul de la diraction deN pupilles identiques

On éclaire un plan par une onde plane monochromatique, de longueur d'onde λ, qui fait un angle αi avec l'axe optique Oz dans le plan (xOz)(et un angle βi avec l'axe optique Oz dans le plan (yOz)). On observe l'onde diractée à l'inni dans les directions respectives αet β avec l'axe optique Oz respectivement dans le plan(xOz)et dans le plan(yOz).

Ce plan diractant est constitué deNpupilles identiques. Chaque pupille, numérotéem, centrée sur(xm, ym), a une transparencet0 identique et la transmission du plan diractant estt(x, y) =P

m

t0(x−xm, y−ym). 1) Quelle est la gure de diraction d'une pupille constituée de petits grains sphériques de même dimension ? 2) Tracer l'intensité diractée par une fente parallèle à(Ox)d'épaisseuresuivant(Oy).

3) Donner l'intensité diractée par deux fentes d'Young (deux fentes parallèles à (Ox) d'épaisseur e et distantes deasuivant(Oy)). TracerI(α).

4) On considère un réseau plan deN fentes, de largeure. Tracer l'intensité diractée pour plusieurs valeurs deN.

Vérier que le résultat est conforme à la loi des réseaux.

le nombre de fentes inue sur la largeur des pics (qui diminue siN augmente), pas sur leurs positions qui est donnée par la loi des réseaux.

2.2) Limitation de la détection d'une étoile par la diraction (d'après Centrale 2007)

1) Grâce au dispositif de la gure précédente (de focale f⁰= 100cm), on observe une source à l'inni (une étoile vue sous l'angleε= 31⁰).

1.a) Donner la position de l'imageAB. 1.b) A.N. : que vautAB?

2) On tient compte de la taille nie du miroir : on modélise la diraction par une pupille carrée de côté 2a.

2.a) Où la placer ?

On pointeSy vers une étoileE à l'inni, on observe une tache comme image.

2.b) Où est le plan de l'image ?

2.c) Donner l'intensitéI(x, z). Commenter : dépendance ena,f,λ,...

On observe une étoile sous l'angle ε.

2.d) Comment évolue l'intensitéI(x, z)par rapport au casε= 0? On observe deux étoiles séparées angulairement deα.

2.e) Quelle est l'ouverture angulaire minimale pour les distinguer ?

ε > α=_2.a^λ .

2.3) Réseau d'antennes (extrait de Mines 2006)

Soient (O0, O1, ..., On−1)nantennes identiques distantes deλ/2et se comportant comme des sources en phase (voir gure ci-contre).

1) Calculer la fonctionf(θ)telle que l'intensité recueillie dans la directionθ soit de la forme :

I(θ) =I₀f(θ)

I₀étant l'intensité émise par O0 dans la directionθ= 0.

2.4) Diraction par des ouvertures rectangulaires (Centrale 2006, Physique II avec ordinateur)

1)

1.a) Calculer l'éclairement obtenu pour une ouverture rectangulaire de dimensions respectives aet b selon Oxet Oy.

1.b) Que se passe-t-il si l'on translate l'ouverture d'une distancedsuivant l'axe Ox? On se place dans le cas de la diraction de Fraunhofer.

2) On considère l'ouverture constituée de motifs rectangulaires de la gure ci-contre ; elle comportenmotifs suivant Ox,pmotifs suivant Oy. 2.a) Que vaut l'amplitude de l'ondes_0,0(M, t)diractée par l'ouverture située à l'origine ?

2.b) Exprimer le déphasageϕ_n,p entre les ondes provenant de On,pet O0,0 centres respectifs des motifs(n, p)et(0,0).

2.c) En déduire les positions où l'éclairement est maximal.

3) À quoi ce dispositif vous fait-il penser ?

2.5) Diraction par une fente

On s'intéresse à une fente de largeurasuivantx, et innie suivantyéclairée par une onde plane monochro- matique (de longueur d'ondeλ).

1) Montrer que I(x, y) = 0, dès quey6= 0. 2) DéterminerI(x, y= 0).

3) Montrer que l'ouverture angulaire de la tache principale est∆θ= ^2.λ_a .

I(x, y) =

A˜₀

2

.(a.b)².sinc²

π.a.x λ.f₂⁰

.sinc²

π.b.y λ.f₂⁰

.

2.6) Diraction par une grande ouverture On s'intéresse à une ouverture très grande.

1) Montrer que I(x, y) = 0, dès qu'on est hors de l'image géométrique de la source.

On repart de l'intensité diractée par une ouverture rectangulaire aveca→ ∞et b→ ∞.

2.7) Diraction de Fraunhofer et transformée de Fourier On note :

•αi l'angle que fait le vecteur d'onde incident~ki avec~uz dans le planXZ,

•βi l'angle que fait~ki avec~uz dans le planY Z,

•αd l'angle que fait le vecteur d'onde diracté~kd avec~uz dans le planXZ,

•βd l'angle que fait~kd avec~uz dans le planY Z.

1) Exprimer les vecteurs d'onde~k_i et~k_d dans le repèreOxyz.

2) Exprimerx_O ety_O les coordonnées deO par rapport àF₂⁰ en fonction deα_i et β_i. 3) Exprimerx_M ety_M les coordonnées deM par rapport àF₂⁰ en fonction deα_d etβ_d.

On repère dorénavant par rapport àO la position du point d'observationM(x, y)dans le plan focal imagexOy deL₂.

4) Exprimerxet y les coordonnées deM par rapport àO en fonction deαi,βi,αd et βd.

5) En déduire que l'amplitude complexe de l'onde au point d'observationM, c'est à dire diractée dans la direction donnée par les anglesαd, βd, est

A˜(αd, βd) = ˜A0

Z

X

Z

Y

t(X, Y˜ )e^{−2.i.πλ ((αd−αi)X+(βd−βi)Y)}dX dY

xO =αi.f₂⁰ etyO =βi.f₂⁰,xM =αd.f₂⁰ et yM =βd.f₂⁰ et x=xM−xO= (αd−αi).f₂⁰ et y=yM −yO= (βd−βi).f₂⁰ .

III- Réseaux

Confronter le modèle de N trous d'Young à l'étude expérimentale du réseau plan.

Utiliser un grapheur pour discuter l'inuence de N sur la nesse sans calculer explicitement l'inten- sité sous forme compacte. Utiliser la construction de Fresnel pour établir la condition d'interférences constructives et la demi-largeur 2π/N des franges brillantes.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Utiliser la construction de Fresnel pour établir la condition d'interférences constructives et la demi- largeur2π/N des franges brillantes. A FAIRE....

Retrouver la formule des réseaux et la nesse des ordresméthode

Si on éclaire un réseau de période spatialeaavec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui fait un angleθi avec la normale au plan du réseau, l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions repérées par les angles θp par rapport à la normale au plan du réseau, telles que

sinθp−sinθi=pλ a (pest entier).

Appliquer la formule des réseauxméthode

3.1) Séparation d'un doublet par un réseau

Un réseau comporte n = 130traits/mm et est éclairé par un faisceau en incidence normale d'extension spatialeL= 5mm dans la direction perpendiculaire aux traits. On se placera aux petits angles.

1) Rappeler :

1.a) l'angleθsous lequel est envoyée la lumière à l'ordreppour la longueur d'ondeλ; 1.b) la largeur angulaire∆θde ce faisceau.

2) On s'intéresse au doublet du sodium : λ= 590nm, et∆λ= 0,6nm. Le critère de Rayleigh stipule que deux images sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au diamètre de la tache de chacune des images.

2.a) Quel est le plus petit intervalle de longueur d'onde séparable ∆λmin dans l'ordre p autour de λ= 590nm?

2.b) Application numérique dans l'ordre 1. Sépare-t-on le doublet du sodium ? 2.c) Application numérique dans l'ordre 2. Sépare-t-on le doublet du sodium ?

∆λmin= 0,9nm >∆λdans l'ordre 1.∆λmin= 0,45nm <∆λdans l'ordre 2.

3.2) Positions des ordres d'un réseau

Soit un réseau à 8 000 LPI (traits par pouce, où 1in= 2,5cm).

1) Situer les positions angulaires θp (en^◦) des maxima principaux pour un faisceau en incidence normale et de longueur d'ondeλ= 546nm.

θ0= 0,θ1= 9,9^◦,θ2= 20,1,θ3= 31,1^◦,θ4= 43,5^◦, θ5= 59,3^◦.

3.3) Détermination d'une raie inconnue par un réseau

On eclaire un réseau den= 547traits/mmen incidence quasi-normale par une raie de longueur d'ondeλ inconue et on observe les déviations suivantes :θ₋₂=−32^◦34⁰,θ₊₂= 32^◦31⁰.

1) Déterminerλ.

1) λ= 492nm.

3.4) Réseau eclairé par une lampe à vapeur de mercure

On eclaire un réseau de pas a par la raie verte du mercure (λ = 546,1nm), et on observe les déviations suivantes :θ₋₃=−63^◦40⁰,θ₋₂=−36^◦41⁰, θ₋₁=−17^◦24⁰,θ₊₁= 17^◦22⁰,θ₊₂= 36^◦22⁰,θ₊₃= 63^◦37⁰.

1) Déterminer :

1.a) a, le pas du réseau ;

1.b) n, le nombre de traits parmm du réseau.

1) sinθp−sinθ0=^p.λ_a . Une modélisation donne : 1.a) a= 1,828µm;

1.b) n= 547traits/mm.

3.5) Réseau eclairé par une lumière blanche

On eclaire un réseau de n= 500traits/mmen incidence quasi-normale par une lumière blanche (dont les longueurs d'ondes sont dans le domaineλ∈[400nm; 750nm]).

1) Pour chaque ordrek, déterminer en degré les déviations minimaleθ_mink et maximaleθ_maxk. 2) En déduire :

2.a) le nombre de spectres complets observables ; 2.b) les ordres des spectres sans recouvrement.

Ordre 1 : θ_min1 = 11,55^◦ et θ_max1 = 22,02^◦; ordre 2 : θ_min2 = 23,62^◦ et θ_max2 = 48,59^◦; ordre 3 : θ_min3= 36,96^◦ etθ_max3 : pas de solution.

3.6) Réalisation d'un monochromateur

Un réseau 15 000 LPI (traits par pouce, où 1in= 2,5cm) est éclairé en incidence normale par une lumière blanche. Un spectre se forme sur un écran parallèle au réseau, situé àd= 50cmdu réseau.

1) Si on perce un trou de∆x= 5mmde côté dans l'écran et dont le centre est placé àx= 20cmde l'image géométrique parallèlement aux traits du réseau, quel sera le domaine de longueurs d'onde sélectionné par le trou ?

λ_min= 622nm,λ_max= 635nm.

3.7) Minimum de déviation pour un réseau

Si on éclaire un réseau de période spatiale a avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui fait un angle θi avec la normale au plan du réseau, l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions repérées par les anglesθp par rapport à la normale au plan du réseau.

1) Que verieθp (formule des réseaux) ?

On dénit l'angle de déviation pour l'ordrepparD=θ_p−θ_i.

2) Si la déviation est minimale (D=D_min), qu'est-ce que cela impose surθ_i et θ_p? 3) Exprimersin ^Dmin₂ , en fonction dep,aetλ.

sin ^Dmin₂

= ^p.λ_2.a.

3.8) Recouvrement des ordres

On éclaire un réseau par transmission qui possèden= 130traits/mmde façon normale, avec de la lumière blanche (λ∈[λ_min= 400nm;λ_max= 750nm]).

On observe sur un écran placé parallèlement au réseau, dans le plan focal image d'une lentille convergente de focaled= 2,5m, et repéré par un axe(Ox), l'axe(Oy)étant confondu avec l'ordre nul.

1) Calculer la position des bords des spectres : 1.a) x1(λmin)etx1(λmax)pour l'ordre 1 ; 1.b) x2(λmin)etx2(λmax)pour l'ordre 2 ; 1.c) x3(λmin)etx3(λmax)pour l'ordre 3.

2) Quels sont les ordres qui se recouvrent ?

x1(λmin) = 13cmetx1(λmax) = 24cmpour l'ordre 1 ;x2(λmin) = 26cmetx2(λmax) = 49cmpour l'ordre 2 ; x₃(λ_min) = 39cmetx₃(λ_max) = 73cmpour l'ordre 3.

3.9) Doublet du sodium résolu grâce à un réseau

On éclaire un réseau par transmission qui possède n= 130,0traits/mmde façon normale, avec une lampe au sodium (de longueurs d'ondeλ1= 589,0nmetλ2= 589,6nm).

On observe sur un écran placé parallèlement au réseau, , dans le plan focal image d'une lentille convergente de focaled= 2,500m, et repéré par un axe(Ox), l'axe(Oy)étant confondu avec l'ordre nul.

1) Calculer la position des raies dans l'ordre 1 pour : 1.a) λ₁ (x₁)

1.b) etλ₂(x₂).

La largeur de la fente d'éclairage est l, le grandissement du montage optique est γ = ₁₀¹ (on négligera l'élargissement de l'image de la fente d'éclairage par diraction).

2) Exprimer une condition sur l pour que le doublet du sodium soit résolu.

l <1,9mm.

Les techniques mathématiques à connaître

Position du problème physique

On s'intéresse à l'interférence de plusieurs ondes d'amplitudes :

• a1(t) =a0cos (ω t+ϕ),

• a₂(t) =a₀cos (ω t+ 2ϕ), etc...

Utilisation des complexes

On a vu que sis₁(t) = Re (˜s₁)et s₂(t) = Re (˜s₂), alorshs₁s₂i_τ = ¹₂Re (˜s₁˜s^?₂), où ˜s^?₂ est le complexe conjugué des˜₂. Aussi, on peut utiliser les complexes associés aux ondes :

• a₁(t) = Re (˜a₁), avec˜a₁=a₀e^{j ϕ}e^{j ω t},

• a₂(t) = Re (˜a₂), avec˜a₂=a₀e^j2ϕe^{j ω t}, etc...

pour calculer l'intensité : I=¹₂|˜a1+ ˜a2+...|² . Utilisation des séries géométriques

I=1 2

n=N

X

n=1

a0e^{j n ϕ}e^{j ω t}

2

=1 2|a0|²

n=N

X

n=1

e^{j n ϕ}

2

on est ramené au calcul de la série géométrique S=

n=N

P

n=1

qⁿ= ^q1−q_1−q^N+1 de raisonq=e^{j ϕ}. Méthode de l'angle moitié

Il est bon d'utiliser l'angle moitié :

S= e^{j ϕ}−e^j(N+1)ϕ

1−e^{j ϕ} =e^{j ϕ}1−e^{j N ϕ}

1−e^{j ϕ} =e^{j ϕ}e^{jN2 ϕ} e^jϕ2

e^{−jN2 ϕ}−e^{jN2 ϕ}

e^−jϕ2 −e^jϕ2 =e^{j ϕ}e^{jN2 ϕ} e^jϕ2

sin −^N₂ ϕ sin −^ϕ₂ ainsi

I= 1

2|a0|² |S|²= 1

2|a0|²sin^{2 N}₂ ϕ sin^{2 ϕ}₂ dont la courbe est :

Utilisation des vecteurs de Fresnel

On peut utiliser des vecteurs tournants (de Fresnel) :

• ~a1associé àa0cos (ω t+ϕ)de normea1et d'argumentω t+ϕ,

• ~a2 associé àa0 cos (ω t+ 2ϕ)de normea2et d'argumentω t+ 2ϕ, etc...

Le vecteur ~a1 + ~a2 + ... permet de calculer l'intensité : I=k~a1+~a₂+...k² et de déterminer en particulier quandIs'an- nule.

~ a1

~a₂

~a₁+~a₂

~a2

ω t+ϕ₁ ω t+ϕ2

Intensité de N ondes et série géométriqueméthode

4.1) Calcul grâce aux complexes de l'intensité dans le cas de N ondes de même amplitude ayant un même déphasage

1) Calculer, en utilisant les complexes associés, l'intensité dans le cas deN ondes d'amplitudes respectives : a1(t) =a0cos (ω t+ϕ),a2(t) =a0 cos (ω t+ 2ϕ), ...,aN(t) =a0 cos (ω t+N ϕ)

I=^a₂^20sin

2(^{N ϕ}2 )

sin²(^ϕ₂) .

4.2) Calcul d'une série géométrique 1) Calculer 1−₁₀¹ +₁₀₀¹ −₁₀₀₀¹ +....

10 11.

4.3) Annulations d'une intensité diractée par N fentes 1) Déterminerϕtel que

I= sin^{2 N}₂ ϕ sin^{2 ϕ}₂ = 0

ϕ=²_N^{k π} aveck∈[...;−2;−1; 1; 2;...N −1;N+ 1;...].

Programmation en python

Diraction par un réseau de fentes

On éclaire un réseau denf fentes de hauteurhf (suivant la directionOy), de largeurlf (suivant la direction Ox), espacées dea suivant la directionOx, par une onde plane monochromatique qui arrive normalement sur le réseau (suivant la directionOz), par exemple grâce à un laser He-Ne (λ= 632,8.10⁻⁹m).

NB : pour que ça ait un sens physique,a > lf!

On observe dans le plan focal d'une lentille (de focalef), la position sur ce plan d'observation étant repérée par(x, y), comptés à partir du foyer, trace de l'axe(Oz)sur le plan.

1) Ecriture du programme :

Ecrire un programme où les données du problème sont clairement dénies, ainsi que les précédentes fonctions et qui permet de visualiser les graphes de : dif y(y) = sinc²_π.hf.y

λ.f

, dif x(x) = sinc²_π.lf.x

λ.f

, interx(x) =

sin²(^nfπ.a.x_λ.f )

sin²(^π.a.x_λ.f ) , interx(x).dif x(x), I(x, y) = dif y(y).dif y(x).interx(x) (graphique en 3 dimensions). Et enn donner l'allure du plan d'observation (les taches lumineuses, comme si on avait fait l'expérience).

2) Diraction par une fente : Utiliser le programme avec nf = 1. Quelle est la fonction d'interférence ?

Choisir diverses valeurs de hf et lf : qu'est-ce que ça change ? Vérier en particulier qu'une fente longue suivantOydonne une gure de diraction principalement suivant(Ox).

3) Deux fentes d'Young observées dans le plan focal d'une lentille : Utiliser le programme avec nf = 2.

Quelle est la fonction d'interférence ? Choisir diverses valeurs de a: qu'est-ce que ça change ?

Choisir diverses valeurs de l_f : qu'est-ce que ça change sur le graphique de interx(x).dif x(x)? Vérier en particulier que si les fentes d'Young sont trop larges, on n'observe plus les interférences : c'est grâce à la diraction que la zone d'interférence existe.

4) Réseau :

Augmenter progressivement le nombre de fentes (nf = 3jusqu'à10) : qu'est-ce que ça change à la fonction d'interférence ? Vérier en particulier que la formule des réseaux est de mieux en mieux réalisée : il n'y a de l'intensité que dans les directions

xp

f = sinθp= sinθi+p.λ a =p.λ

a

Exercices d'oral pour s'entraîner

exercice 1 (court) - Utilisation d'un réseau (Mines 2006)

On éclaire un réseau de 600 traits par mm avec un faisceau parallèle monochromatique de longueur d'onde λ= 0,6µm. L'angle d'incidence esti0= 30^◦.

Déterminer les maxima principaux. Combien y en a-t-il ?

exercice 2 (court) - Diraction par une ouverture (extrait de C.C.P. 2011, exercice sur 6 points)

On étudie la diraction par une ouverture carrée de côté a; l'écran est placé dans le plan focal image d'une lentille convergente de focalef⁰.

1) Calculer l'éclairement.

2) Décrire la gure de diraction.

exercice 3 (long) - Mesure d'une longueur d'onde (C.C.P. 2005, exercice sur 12 points)

On cherche à déterminer avec précision la longueur d'ondeλ2de la raie rouge du mercure. On suppose que l'on dispose d'un goniomètre, d'un collimateur, d'un réseau.

1) Faire un schéma du dispositif, vu de dessus.

2) Préciser quels réglages il faut eectuer et dans quel ordre. Comment se font les pointés, les mesures d'angles de déviation ?

3) On se place sous incidence normale. On donne λ_vert= 0,546µm etD_vert = 60^◦. 3.a) Montrer qu'à l'ordre 1, on ne peut pas observer la raie rouge.

3.b) Trouver le pas du réseau et le nombre de traits par millimètre.

4) Expliquer le principe de la méthode du minimum de déviation. Déterminerλrougeen fonction deλvert, Dm(vert)etDm(rouge).

5) Évaluer l'incertitude de mesure en sachant que l'incertitude est nulle pour λvert et vaut 2' d'arc pour chaque pointé angulaire.

exercice 4 (long) - Limitation de la détection d'une étoile par la diraction (d'après Centrale 2007)

1) Grâce à une lentille convergente de focale f⁰ = 100cmon observe une source à l'inni (une étoile vue sous l'angleε= 31⁰).

1.a) Donner la position de l'imageAB. 1.b) A.N. : que vautAB?

2) On tient compte de la taille nie de la lentille : on modélise la diraction par une pupille carrée de côté 2a. On pointeSy vers une étoileE à l'inni, on observe une tache comme image.

2.a) Où est le plan de l'image ?

2.b) Donner l'intensitéI(x, z). Commenter : dépendance ena,f,λ,...

On observe une étoile sous l'angle ε.

2.c) Comment évolue l'intensitéI(x, z)par rapport au casε= 0? On observe deux étoiles séparées angulairement deα.

2.d) Quelle est l'ouverture angulaire minimale pour les distinguer ?

Résolution de problème

La diraction sur poudre

Culture sciences physique - ENS Lyon

disponible à l'adresse http: // culturesciencesphysique. ens-lyon. fr/ ressource/

Diffraction-rayons-X-techniques-determination-structure. xml

Le diractogramme, une empreinte digitale

La diraction sur poudre permet une analyse rapide et non des- tructive d'un mélange de phases cristallines. Elle est donc très large- ment utilisée dans de nombreux domaines tels que la minéralogie, la biologie, l'archéologie, la pharmacologie, ...

L'image de diraction d'une poudre formée d'une phase cristalline est constituée de cercles spéciques de la phase. Un diractogramme peut donc être considéré comme une empreinte digitale d'une phase cristalline.

Identication de phases

C'est l'application la plus courante de la diraction des rayons X sur poudre. Une fois le diagramme obtenu, on compare les positions et les intensités des pics observés avec ceux de la base de données PDF (Powder Diraction File) de l'ICDD (International Centre for Dirac- tion Data) qui contient plus de 600.000 diagrammes de référence. On peut ainsi rapidement vérier un résultat de synthèse (bonne phase cristalline, présence d'impuretés, ?) ou conrmer que l'on a obtenu un nouveau composé.

Taux de cristallinité

Les matériaux polymères sont en général des matériaux semi- cristallins, c'est-à-dire qu'ils présentent sur leur diagramme des pics ainsi qu'un signal large correspondant au matériau amorphe. Le rap- port d'intensité entre ces deux signaux permet de remonter au taux de cristallinité du polymère.

Étude des paramètres de maille

La position des pics observés est uniquement reliée aux paramètres de maille de la phase cristalline. Il est alors possible de suivre l'évolution de la phase en fonction de divers paramètres tels que la pression ou la température ou encore de caractériser une transition de phase.

Taille des cristallites et micro-déformations

La largeur d'une raie de diraction provient de facteurs instrumentaux et de caractéristiques physiques de la poudre. On peut ainsi remonter à la taille moyenne des cristallites et à leurs micro-contraintes.

Enoncé

(Ulm)

On éclaire de la poudre de ferαà l'aide d'un laser à rayons X et on observe le résultat à l'aide d'un détecteur.

La gure suivante décrit ce qui observé sur le détecteur. Expliquer. Que peut-on en déduire ?

Approche documentaire (DNS)

Les couleurs interférentielles

Etienne Guyon

Matière et matériaux - Belin.

La nature ore de nombreux exemples de couleurs dont l'origine est due aux interférences et à la diraction, comme celles des bulles de savon, des opales, des plumes de paon, de la nacre et de certains papillons.

Structures monodimensionnelles.

La structure en multi- couches orant une périodicité spatiale à une dimension est responsable des couleurs iri- sées de la nacre. Pour com- prend les phénomènes d'inter- férences à l'origine de ces cou- leurs, examinons d'abord le cas d'une couche mince dont l'épaisseur est de l'ordre de grandeur de de la longueur d'onde lumineuse. C'est ty- piquement le cas d'une ne couche d'huile à la surface de l'eau, ou d'une bulle de sa- von dont la paroi est consti- tuée d'un lm d'eau empri- sonné entre deux couches de tensioactifs.

Comme le montre le schéma (Fig. 2a), une onde de lumière blanche arrivant sur la surface d'une lame à faces parallèles y pénètre en subissant une réfraction, alors qu'une petite fraction est rééchie. L'onde qui a pénétré subit le même phénomène sur la face arrière de la couche : si elle est essentiellement trans- mise, une partie est rééchie.

L'onde rééchie subit à son tour une réfraction et une réexion au niveau de la face avant. La partie transmise par cette face avant et la première onde rééchie sont d'intensité similaire, et puisqu'elles sont issues d'une même onde, elles peuvent se renforcer si elles

passent simultanément par un maximum (interférences constructives), ou au contraire s'annihiler lorsque

l'une passe par un maximum à l'instant où l'autre passe par un minimum (interférences destructives). Or le renforcement ou l'annihilation dans une direction donnée dépend de la longueur d'onde (Fig. 2c). Ainsi, la couleur observée est fonction de l'angle d'incidence et de l'épaisseur de la couche.

Lorsqu'un lm de savon s'amincit par drainage de l'eau sous l'eet de la pesanteur, Newton avait observé qu'il devient noir, c'est-à-dire qu'il ne ré- échit aucune lumière. Quelle en est la raison ? L'épaisseur étant devenue très petite par rapport à la longueur d'onde de la lumière, l'onde lumi- neuse rééchie par la face avant et celle rééchie par la face interne s'annihilent par interférences destructives. La théorie des ondes électromagné- tiques (dont fait partie la lumière) prévoit en eet qu'elles sont en opposition de phase (le maximum d'amplitude de l'une correspond au minimum d amplitude de l'autre), car la première se rééchit sur une interface air-eau et la seconde sur une in- terface eau-air. Dans le cas d'une seule couche dont l'épaisseur est de l'ordre de grandeur de la lumière, la fraction de lumière rééchie donnant lieu aux interférences est faible (inférieure à 10%). Le fac- teur de réexion est considérablement augmenté lorsque plusieurs couches sont empilées (structure périodique à une dimension) (Fig. 3). C'est ainsi que l'on explique les couleurs irisées non seulement de la nacre, mais aussi des scarabées, ou des ailes de certains papillons.

Structures bidimensionnelles.

Observez les couleurs irisées d'un disque compact : vous remarquerez que ces couleurs dépendent de l'orien- tation du disque par rapport à la source de lumière et de l'angle d'observation. Les phénomènes de diraction et d'interférences, qui en sont responsables, résultent de la gravure en spirale d'une surface rééchissante (en polycarbonate), l'espacement entre les pistes de la spirale étant de l'ordre du micromètre. Creusons l'idée et examinons ce qui se produit lorsque la lumière arrive sur un réseau plan constitué de surfaces rééchissantes ayant une périodicité spatiale (réseaux par réexion). Chacune de ces surfaces se comporte comme une source secondaire, et les ondes qui en sont issues interfèrent. Des radiations de diérentes longueurs d'onde interfèrent de façon constructive dans des directions distinctes. C'est pourquoi un réseau éclairé en lumière blanche diracte la lumière et conduit à plusieurs spectres de la lumière blanche (Fig. 4). On parle alors des ordres 1, 2, etc. du réseau. Les réseaux décrits ci-dessus sont appelés réseaux par réexion. Si les traits ne sont plus des surfaces rééchissantes mais des lentes nes, parallèles, identiques et équidistantes, il s'agit de réseaux par transmission.

Les ondes résultant de la diraction de la lumière par ces fentes interfèrent et conduisent, là encore, à plusieurs spectres de la lumière blanche. Les couleurs irisées des plumes de paon et des ailes de certains papillons résultent de même de la diraction et des interférences par des structures périodiques à deux dimensions (Fig. 6).

Structures tridimensionnelles.

Les cristaux habituels (comme le chlorure de sodium ou le sulfate de cuivre, par exemple) sont constitués d'un arrangement périodique d'ions (ou d'atomes ou de molécules) à 3 dimensions. Quand la périodicité se situe non plus à l'échelle atomique ou moléculaire, mais à l'échelle de la longueur d'onde de la lumière, on parle de cristaux photoniques. La diraction de la lumière par ce type de structure, et les interférences entre les rayons qui sont rééchis conduisent à des couleurs d'iridescence. C'est typiquement les cas des opales qui sont constituées de sphères de taille inférieure à 300 nanomètres, immergées dans une matrice selon un empilement très compact et de ce fait périodique (à la façon d'oranges empilées avec soin sur un étal). Lorsqu'il s'agit de microsphères creuses au sein d'une matrice solide, on parle d'opales inverses. C'est le cas de certaines opales naturelles et des écailles de divers coléoptères (Flg. 7).

Enoncé

Soit une structure monodimensionnelle multicouche telle que celle de la gure 3a.

Les coecients respectivement de transmission et de réexion en amplitude pour chaque interface sont notés tet r, et la traversée d'une lame de uide introduit un déphasageδϕ.

1) Amplitudes

On noteA˜0, l'amplitude de l'onde incidente sur la structure et les amplitudes des diérentes ondes rééchies par la structureA˜1,A˜2, ...,A˜n.

1.a) ExprimerA˜1en fonction deA˜0 etr. 1.b) ExprimerA˜2 en fonction deA˜0,t,retδϕ. 1.c) ExprimerA˜n en fonction den,A˜0,t,ret δϕ. 2) Onde résultante

2.a) Montrer que l'amplitude totale de l'onde rééchie estA˜r= _1−(t2exp(2j δϕ))^A˜0r .

2.b) En déduire que l'intensité de l'onde rééchie est de la formeI(δϕ) = _{a−bcos(2δϕ)}^c , avec a, b etc, des constantes positives.

3) Interprétation

L'allure deI(δϕ)(I en unités arbitraires,δϕen rad) est donnée ci-dessous :

−2. −1. 0 1. 2. 3. 4. 5. 6.

3.a) En utilisant le graphique, déterminer pour quelsδϕil y a une intensité maximale.

3.b) Comparer ce dernier résultat trouvé dans le cas d'une interférence mettant en jeu uniquement deux ondes (d'amplitudesA˜₁et A˜₂).

3.c) On peut estimer queδϕ≈^2π_λeavecel'épaisseur qui sépare deux couches. Rapprocher ce dispositif d'un autre, vu dans le cours sur la diraction.