annéescolaire2018-2019 Optique Introductionàl'optiqueondulatoire

Introduction à l'optique ondulatoire

Optique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

Quelle est la dangerosité d'un faisceau laser ?

1) modéliser une source lumineuse

Petit historique de la lumière

• au début du XIXième s., la lumière est une onde (Fresnel...) ;

• dans la seconde partie du XIXième s., la lumière est une onde électromagnétique (Maxwell) ;

On faisait de l'optique ondulatoire avant de savoir de quel type

d'onde il s'agissait !

Modèle scalaire de la lumière

Le modèle scalaire de la lumière revient à dire que :

• la polarisation de la lumière n'est pas dénie ;

• et le milieu est isotrope (il se comporte de la même manière

pour toutes les directions de polarisation).

Vibration lumineuse

Si ~ u est un vecteur unitaire orthogonal à la direction de propagation de l'onde, on appelle "vibration lumineuse"

s (M , t) = α ~ E · u ~ où α est une constante non dénie !

NB : le champ magnétique B = ^E _c sera aussi proportionnel à s .

Propriété de la vibration lumineuse

Si N sources (numérotées k ) créent, au point M , N vibrations lumineuses s k (M, t), la vibration lumineuse totale est la somme de toutes ces vibrations lumineuses :

s (M, t) =

k=N

X

k= 1

s _k (M , t)

(cela est dû à la linéarité des équations de Maxwell)

Les récepteurs sont quadratiques

les récepteurs lumineux ont des temps de réponse τ r très grands devant la période des ondes lumineuses dans le visible

T ∼ 10 ^{− 15} s :

• pour l'÷il τ _r est de l'ordre de 0 , 1 s ;

• pour une photodiode, le temps de réponse est de 10 ^{− 6} s ;

• pour une pellicule photo, τ r est de l'ordre de 10 ^{− 1} s à 10 ^{− 2} s, ce qui correspond au temps d'exposition de la pellicule à la lumière.

Fondamentalement, le détecteur moyenne (sur une durée τ r ) le signal qui lui est envoyé.

Les détecteurs lumineux font donc la moyenne du carré de

l'amplitude : ils sont quadratiques (en électrocinétique, on dirait

Intensité lumineuse ou éclairement (dénition) L'intensité lumineuse (ou l'éclairement) est

proportionnelle à la moyenne temporelle (sur un temps τ _r ) du carré de la vibration lumineuse au point M :

I(M) = K

s ² (M , t)

τ

NB : on prendra souvent K = 1 ! Et ni s , ni I n'ont

d'unités xées, ce qui est assez inhabituel en

physique.

Relativité de l'intensité

comme les récepteurs ne sont sensibles qu'aux variations relatives de l'éclairement (ou de l'intensité), peu importe la valeur eective de cet éclairement, mais seulement les variations de celui-ci dans le plan d'observation.

Ainsi, l'impression au point M sur une plaque photo, ou

l'éclairement au point M d'un écran, ou la réponse au point M

d'un photodétecteur, est proportionnelle à l'intensité reçue au point

M . La constante de proportionnalité n'est pas accessible mais on

pourra prendre une référence : par exemple, on pourra se référer à

l'éclairement maximal sur l'écran.

Spectre d'une source lumineuse

L'intensité lumineuse est décomposable en intensité spectrale I _ν : I (M) =

Z ∞

ν= 0 I _ν (ν) d ν Le tracé de I _ν (ν) est appelé spectre.

On peut le réaliser expérimentalement grâce à un spectromètre.

Sources lumineuses classiques et LASER

contrairement aux lasers, les sources classiques sont fondées sur l'émission spontanée de lumière.

Un laser est un appareil émettant de la lumière ampliée par

émission stimulée. Le terme laser provient de l'acronyme

anglo-américain light amplication by stimulated emission of

radiation (en français : amplication de la lumière par émission

stimulée de radiation).

Spectre et transformée de Fourier

On pourrait montrer que I _ν = |ˆ s(M , ν )| ² , où s ˆ (M , ν) est la transformée de Fourier de s (M , t) :

ˆ

s(M, ν ) = Z +∞

−∞

s (M , t) e ^{− 2 i π ν t} dt

Durée et longueur de cohérence temporelle

On admet que les propriétés de la transforme de Fourier nous donnent :

Durée et longueur de cohérence temporelle Une source lumineuse a une largeur spectrale ∆ν telle que τ _c ∆ν ≈ 1 où

• τ _c est la durée ("durée de cohérence temporelle") de la vibration lumineuse émise par la source ;

• et ` c = c τ c , la longueur de cohérence temporelle.

Caractéristiques spectrales de quelques sources

source ∆λ ∆ν τ _c ` _c

laser HeNe 10 ^{− 6} nm 10 ⁴ Hz 10 ^{− 6} s 100 m raie spectrale Hg 1 nm 10 ¹² Hz 10 ^{− 12} s 0 , 3 mm

lampe blanche 350 nm 3 × 10 ¹⁴ Hz 3 × 10 ^{− 15} s 1 µm Table Quelques caractéristiques spectrales (largeur de raie ∆λ et ∆ν , durée de cohérence temporelle τ

et longueur de cohérence temporelle

`

= c τ

) pour quelques sources lumineuses.

Modèle du train d'onde

L'amplitude est "sinusoïdale par parties" : ...

a(S , t) = a ₀ cos (ωt − φ n ) si t ∈ [n τ c ; (n + 1 ) .τ c [ a(S , t) = a ₀ cos (ωt − φ _{n+ 1} ) si t ∈ [(n + 1 ) τ _c ; (n + 2 ) τ _c [

...

où les phases à l'origine des dates φ _n , φ _{n+ 1} sont constantes mais

les trains d'onde sont aléatoires entre eux : la suite φ n est une suite

aléatoire.

• en un endroit : "wagons" sinusoïdaux de durée τ c dans le

Au point M repéré par le vecteur ~ r = −−→

OM , à l'instant t , la vibration lumineuse d'onde monochromatique s'écrit

s(M, t) = A(M ) cos

ω t − ~ k · ~ r

= A(M ) cos (ω t − ϕ(M )) = Re(˜ s)

avec la vibration complexe

˜

s = A(M) exp [−i (ω t − ϕ(M))] = ˜ a(M ) exp [−i ω t ]

d'amplitude complexe

Grandeurs temporelles d'une monochromatique : pulsation, fréquence, période

• ω : pulsation (en rad · s ^{− 1} ) ;

• ν = ₂ ^ω _π : fréquence (en Hz) ;

• T = ¹ _ν = ² _ω ^π : période (en s).

Grandeurs spatiales d'une onde monochromatique : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombre d'onde

• ~ k : vecteur d'onde (en rad · m ^{− 1} ) ;

• σ = ^k ₂ ^{~ kk} _π : nombre d'onde (en m ^{− 1} ) ;

• λ = ¹ _σ = ^{2 π}

k ~ kk : longueur d'onde (en m).

Lien entre les grandeurs spatiales et temporelles Dans un milieu d'indice optique n , l'onde lumineuse se propage à la vitesse v = ^c _n :

k = 2π λ = ω

v = 2π n λ ₀

où λ ₀ = ^c _ν est la longueur d'onde dans le vide.

Retard dû à la propagation

Le retard temporel dû à la propagation du signal d'un point M jusqu'en un point N en ligne droite dans un milieu d'indice n est

∆t = MN

v = n MN

c

Chemin optique (dénition)

Pour un milieu quelconque, on dénit le chemin optique sur un rayon lumineux curviligne quelconque de A à B par

L AB = (AB) = Z B

A

n(P ) ds(P )

où n(P ) est l'indice optique au point P d'abscisse

curviligne s (P ) .

Chemin optique et retard de propagation

L _AB = (AB) = Z t

t

n(P).v (P ).dt = Z t

t

c .dt d'où

L AB = (AB ) = c. (t B − t A )

On peut donc interpréter le chemin optique comme le chemin

parcouru dans le vide pendant la durée réelle mise pour aller de A à

B dans le milieu d'indice n .

Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatique a(O,t) =a₀.cos (ω.t−φ₀) On peut réécrire la vibration lumineuse en un pointM:

a(M,t) =αa₀.cos (ω(t−∆t)−φ₀) oùαprend en compte les éventuelles diminutions d'amplitude et

∆t= (OM)

c ⇒∆ψ_O→M=ω∆t=2π λ₀(SM)

monochromatique

Le déphasage, lorsque l'onde se propage de O jusqu'en M , est

∆ψ O→M = 2 π

λ ₀ (OM) + ϕ sup

où λ ₀ est la longueur d'onde dans le vide de la radiation et on admet que ϕ sup = π dans le cas :

• d'une réexion sur un métal (miroir) ;

• d'une réexion d'un milieu d'indice n ₁ , sur un

milieu d'indice plus élevé n ₂ > n ₁ ;

Surfaces d'onde (dénition)

on appelle surface d'onde d'une source S, à l'instant t , l'ensemble des points M de phase ∆ψ S→M

constante. C'est l'ensemble des points M à égal chemin optique de la source S :

(SM) = constante

Théorème de Malus

(Idée de la démonstration, hors programme) Les rayons lumineux sont les lignes de champ de~k et les surfaces d'ondes sont les surface équi-ψ.

En passant dezàz+dz, un déphasage est introduit, qui vaut dψM→M0=−−→

gradψ·−→ d`or

dψ_M→M0=2π

λ₀(MM⁰) +ϕsup=kdz=~k·−→ d`

Donc~k=−−→ gradψ.

Théorème de Malus

Il y a orthogonalité des rayons lumineux et des

surfaces d'ondes.

Comme H est le projeté orthogonal de S ₁ sur le rayon issus de S ₂ ,

une onde sphérique issue d'un point S. Les trois points , et

une onde plane issue d'un point à l'inni. Les trois points ,

Stigmatisme

deux points appartenant à la même surface d'onde de la sourceA(ouA⁰par principe du retour inverse de la lumière) sont à même chemin optique deA(ou de A⁰).

Stigmatisme

(AA ⁰ ) = constant si A est conjugué avec A ⁰

le stigmatisme dans le cas où deux points sont conjugués grâce à

Vibration lumineuse gaussienne d'un LASER

On admet que, sous certaines conditions, la vibration lumineuse émise par un laser est du type (dit "gaussien fondamental") est, en coordonnées cylindriques (r , θ, z ) :

˜

s (r, z , t) = ˜ A ₀ w ₀ w (z ) e ⁻

r2

w(z)2

e ^{−i (ω t−ϕ(z))}

où la taille du faisceau à l'abscisse z est :

w (z ) = w ₀ s

1 + z

z R

₂

Caractéristiques du faisceau gaussien d'un LASER (dénition)

Le faisceau gaussien d'un laser est caractérisé par :

• sa taille minimale (ou "waist") notée w ₀ ,

• sa longueur de Rayleigh notée z _R ,

• son ouverture angulaire θ = _π ^λ _w

0

= ^w _z

R

.

Paramètres du faisceau gaussien d'un laser

w ₀ et z R font varier l'angle d'ouverture du faisceau conique à

grande distance.

Faisceau gaussien d'un laser

z extension du faisceau laser

z _R

w ₀ θ

faisceau conique

onde sphérique faisceau conique

onde sphérique faisceau cylindrique

onde plane

Comportements du faisceau à courte et longue distance La limite de diraction due à l'ouverturew₀donneθ=_π^λ_w

0. D'autre part, sizz_R,

w(z)≈w₀z

z_R ⇒θ= w(z) z =w₀

z_R

A courte distance, au contraire,w(z)≈w₀.

Comportements du faisceau à courte et longue distance

On retiendra que :

• pour |z| < z _R , l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w ₀ ,

• pour |z| z _R , l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O ), et le faisceau conique d'ouverture angulaire θ = _π ^λ _w

0

= ^w _z

R

.

Évolution de l'éclairement dans un plan transverse à la propagation (exercice)

En admettant que la vibration lumineuse émise par un laser est :

A ˜ (r, z , t) = ˜ A ₀ w ₀ w (z ) e ⁻

r2

w(z)2

e ^{−i (ω t−ϕ(z))}

déterminer l'évolution de l'éclairement I (r, z ) dans un

plan transverse z à la propagation.

Évolution de l'éclairement dans un plan transverse à la propagation (exercice) CommeI=k|A˜(r,z,t)|², on trouve

I(r,z,t) =I₀



 w₀ w(z)e

− r2 w(z)2



 2

=I₀ w₀ w(z)

!₂ e⁻²

w(z)2r2

soit

I(r,z,t) =I₀



 w₀ w(z)e

− r2 w(z)2



 2

=I₀ 1 1+

z zR

₂e

−2r2 w0

1+

zRz

2

Focalisation du faisceau gaussien d'un laser

z _R ⁰ w ₀ ⁰ θ ⁰

w ₀

F'

Extension de la tache de focalisation d'un laser

Un faisceau laser de caractéristiquesw₀etz_Rincident sur une lentille convergente de focalef⁰est transformé en faisceau laser de caractéristiquesw₀⁰etz_R⁰. Le schéma montre queθ⁰= ^w0

f0. Or d'autre part,θ⁰= ^λ πw0

0 =^w 00 z0 R

. Aussi, w0

f0 = ^λ πw0

0, soitw₀⁰=_π^λ_w^f0

0. Comme l'ouverture de la lentille estw₀<f⁰, on trouvew⁰₀> λ.

Extension de la tache de focalisation d'un laser

La tache de focalisation d'un laser est au moins de

l'ordre de la longueur d'onde : w ₀ ⁰ > λ .

Évolution des capacités de stockage des disques optiques disque optique année λ couleur capacité

CD 1982 780 nm IR 0 , 8 Go

DVD 1997 650 nm rouge 8 Go

blu-Ray 2006 405 nm bleu 100 Go

Table évolution des disques optiques

Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser

z _R

w ₀ θ θ ⁰ −z _R ⁰ w ₀ ⁰

A A'

LASER grâce à un un élargisseur de faisceau.

(exercice)

On s'intéresse à un faisceau laser de longueur d'onde λ , de waist w ₀ . Déterminer son angle de divergence θ à longue distance.

Le faisceau encore cylindrique est incident sur une lentille convergente L ₁ de focale f ₁ ⁰ . Déterminer alors l'angle θ ⁰ du faisceau après la lentille L ₁ .

Le faisceau divergent du laser susamment loin de L ₁ est incident sur une lentille convergente L ₂ de focale f ₂ ⁰ . Déterminer le waist w ₀ ” du faisceau émergent de L ₂ .

f

Réduction de la divergence du faisceau d'un LASER grâce à un un élargisseur de faisceau. (exercice)

L'angle de divergence à longue distance estθ=_π^λ_w 0. Après la lentilleL₁,θ⁰=^w0

f0 1.

Le faisceau est incident sur la lentilleL₂avec l'angleθ⁰= ^w0 f0

1 qui est aussi θ⁰=^w0”

f0 2 .

L' angle de divergence à longue distance aprèsL₂estθ” =_π^λ_w 0”. Or les précédentes relations ont montré que^w_f⁰0

1 =θ⁰= ^w0” f0

2 . Aussi,

θ” = λ πw₀”= f₁⁰

f₂⁰ λ

πw₀ θ⇔f₁⁰f₂⁰

Élargisseur de faisceau d'un laser

w ₀ ⁰ θ ⁰ w ₀

w ₀ ” L ₁

L ₂

F ₁ ⁰

F ₂

http://sante.lefigaro.fr/actualite/2014/12/03/

23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.

"En apparence inoensifs, les pointeurs laser, principalement utilisés notamment dans les conférences pour désigner des informations sur un tableau, peuvent causer des dommages très importants lorsqu'ils sont dirigés vers les yeux. [...]

En France, seuls les lasers dont la puissance ne dépasse pas 1 mW (classe 1 et 2) sont autorisés à la vente. Mais il est très facile de se procurer sur Internet des modèles beaucoup plus puissants, de catégories 3 et 4, normalement réservés à un usage professionnel.

Selon le Pr Renard, "les plus dangereux sont ceux qui émettent

dans la couleur verte, avec une puissance pouvant aller jusqu'à 1500

1) Estimer la puissance surfacique du faisceau d'un pointeur laser

reçu par un joueur sur un terrain de football.

1) Il faut estimer la distance`≈50 m ;savoir si on est en modélisation cylindrique ou conique.