Fontions : la déouverte...
I Qu'est-e qu'une fontion?
Mathémator:enomvousestfamilier...
Seondix:oui!AuCollège,nousavonsétudiélesfontionslinéairesetlesfontionsafnes.Çaparlededroites,'est
ça?
Mathémator:mmmmouais...Ilvafalloirreprendredepuisledébut!Alorsouvrezunditionnairepouryregarderla
dénitiondefontion.
Seondix:Ouhlala!Ilyenadestonnes.
Mathémator:Regardezlequatr ièmeparagraphe.
Seondix:alors...
4.FONCTIONn.f.(defontion1;1692)1.Math.Grandeurvar iabledontlavaleurdépenddeellequi
estattr ibuéeàuneautrevar iable,ditevariableindépendante.-2.(1890)Êtrefontionde,danslalangue
usuelle,seditd'unehosedontlanature,lerle,et.dépendantd'uneautrehose:Ledéveloppement
del'enfantestfontiondel'établissementdesonnexionsner veuses.)
Mathémator:Arrêtons-nouslà!CesdatesmontrentquelanotionmathématiquedatedelanduXVII ème
sièle
(voirlepetitapar téhistor iquepage4)etqueettenotionestentréedanslalangueusuelledeuxsièlesplustard.
Seondix:unenotionmathématiqueestpasséedanslelangageourant!
Mathémator:'esteneffetunenotionasseznaturelle:ilestfailementompréhensiblequelatailled'unenfant
var ieenfontionde sonâge,quel'onpréparesavaliseenfontiondeladestinationdesonvoyage,quelaonsom-
mationd'unevoiturevar ieenfontiondesavitesse,et.
D'ailleurs,nousnedonneronspasunedénitionmathématiquementr igoureused'unefontion.Pourela,ilaurait
falluêtrehabituéàlanotionderelationentredesensembles:vosparentsyavaientétéinitiésdèslamater nelle...En
parlermaintenantr isqueraitdevoustraumatiserdurablement.
Seondix:vousroyezquejesuisplusbêtequemesparents,'estça?...
Mathémator:loindemoietteidée.Leontenudesenseignementsayanthangé,ilfautadapternostravauxd'ap-
prohe.Nousreviendronsd'ailleursàlanotionor iginale,elledeLEIBNIZ,elled'ation,deméanisme,defon-
tionnement,dedépendane,brefunenotiondynamique.
Dénition1:Fontionnumér iqued'unevar iableréelle
Onappellefontionnumér iqued'unevar iableréelleun«méanismemathématique»qui,àtoutnombreap-
par tenantàuner tainensembleappelédomainededénitiondelafontion,assoieunnouveaunombre,
appeléimagedunombreinitial.
LAGRANGE présentaetteidéed'unemanièreunpeuplussophistiquéeommenouspouvonsledéouvr irsurle
textedelaguresuivante:
Nousnepouvonsvraimentdénirlanotionde«méanisme»maiselleestassezparlantepourvousaideràom-
prendreequ'estunefontion.
Exemple1:
Considéronsparexemplelafontionquiàtoutnombreréelassoielearrédesondoubleauquelonajoute
dix-huit.Calulezlesimagesde7,¡ 5
2 ,
p
3 .
Seondix:voyonssij'aibienompr is:jeparsde7,jeprendssondouble,'est-à-dire14,jel'élèveauarréequi
donne196puisj'ajoute18etj'obtiens214.L'imagede7parettefontionestdon214.
Mathémator:par fait!Ilneresteplusqu'àtraiterlesautresas.
Seondix:pasdeproblème!
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
Mathémator:nousavonsiidéniunefontionquitransfor men'impor tequelnombreréelenunautresuivantun
méanismedér itparunephrase.
Nouspouvonségalementdér ireettefontionenutilisantdesnotationsmathématiquesutiliséesdepuisqu'elles
ontétéintroduitesparLAGRANGE.
Détaillonsalgébriquementlatransfor mationd'unnombrequelonquen:
onprendledoubledenquidevientdon2n;
onélèveedoubleauarré:onobtient(2n) 2
;
onajouteaunombrepréédent18:onobtientnalement(2n) 2
Å18.
Ainsi,lafontionétudiéetransfor meunnombreréelquelonquenen(2n) 2
Å18.
Donnonsunnomàettefontion,parexemple'.
Seondix:'estquoiettelettre?
Mathémator:'estlalettregreque«phi»...ommefontion.Lehoixdelalettren'estpasimpor tant.Onprend
ellequ'onveut.Onpeutsemettred'aordsivousvoulezd'utiliserdeslettresgrequespourlesfontionspour
lesdistinguerdesnombresdésignéspardeslettresromainesmaisen'estpasobligatoireetiln'existeauunerègle
générale.SahezquequandLAGRANGEaintroduitsesnotations,ilautilisé f pourlafontionetxpourlavar iable
etqueettehabitudeestrestéemaisen'estqu'unehabitude.
Seondix:voussavez,moietl'alphabetgre....
Mathémator:®¯°±"³´µ¶·¸¹º»o¼½¾¿À'Â!...
Revenonsànotreproblème.Ilestd'usaged'ér ire:
' : n7¡!(2n) 2
Å18
lapetiteèhe traduisantl'idéedynamiquedetransfor mationd'unnombreenunautre.Notezqueette èhe
ommeneaveunpetittraitver tial.C'estunehabitudepourladistinguerdesautrestypesderelationsdésignés
pardesèhes.
Onpeutaussipréiserlesensemblesavelesquelsontravaille:
':
R ¡! [0;Å1[
n 7¡! '(n)
quiselit:«lafontion'quivadeRdansl'intervalle[0;Å1[etquiàunnombrenassoielenombre(2n) 2
Å18.
Voiiunevar iante:
n '
7¡!(2n) 2
Å18
Onapluttl'habituded'ér ire:
'(n)Æ(2n) 2
Å18
Le«'(n)»selisant«phiden»etdésignantl'imagedunombrenparlafontion'.Ilnefaudrasur toutpasonfondre
etteér itureaveunequelonquemultipliationde'parn.J'avouequel'ér itureestambiguëmaisleontexte
nousper mettradedistinguerlesas.
Parexemple,ii,onpeutnoter:
' : 77¡!214
ou
7 '
7¡!214
ouenore
'(7)Æ214
Faitesdemêmeavelesdeuxautreexemples.
Unpeud'histoire...
D'abordunedate:1692.C'esteneffetetteannée-làqueWilhelmLEIB-
NIZ(1646-1716)introduisitofiellementleter medefontiondulatin
funtio:aomplissement,exéutionquadonnéenfrançaisfontion-
nement.Lanotationquenousutilisonsatuellement,àsavoirf(x)qui
désignel'image dex parla fontion f aétéintroduiteunsièleplus
tardparJoseph-LouisdeLAGRANGE (1736-1813)danssa«Théor iedes
fontionsanalytiques»par ueen1797dontvouspouvezvoirunextrait
gure??page??.
Pendantlongtemps, f(x)désignaaussibienunefontionquel'image
d'unnombrexparettefontion.Àpar tirde1940,suiteautravaildu
groupe demathématiiensfrançais BOURBAKI, 'est f qui désignela
fontionetf(x)nedésignequel'imagedexparlafontionf.
Aulieudef(x),onnotaitsouventavantLAGRANGE f
x
l'imagedexpar
lafontion f.Cettenotationest restéeaujourd'huipourdésignerun
aspar tiulierdefontions,lessuites,quevousétudierezenlassede
1 ère
.
FIGURE 1 W. LEIB-
NIZ
Mathémator:avenosnotations,nouspouvonsréér irenotredénitionetpréiserquelquesnotations:
Dénition2:fontion:notationetvoabulaire
SoitD
'
unensemble.Unefontion'estun«méanismemathématique»quiàtoutnombrenappar tenant
àD
'
assoielenombre'(n)appeléimagedenpar'.
Onnote:
': D
'
¡! R
n 7¡! '(n)
OnappelleD
'
l'ensemblededénitionde'.
LenombrenestUNantéédentde'(n)par'.
II Diérentes représentations d'une fontion
Étudionsettefoislafontionquiàunnombrenassoien¢(nÅ1)¢(n¡2):
:
R ! [0;Å1[
n 7! n¢(nÅ1)¢(n¡2)
Parexemple,(2)Æ...,(0,5)Æ...,(¡2)Æ...
a. Diagramme sagittal
Onpeutreprésenterlasituationàl'aided'undiagrammesagittal:
0
880
-1. 125 2
10
0, 5
-1
DÉ PA RT
A R R IVÉ E
Alors:
2apourimage...
¡1apourimage...
0,5apourimage...
¡2apourimage...
880apourantéédent...
¡1,125apourantéédent...
0apourantéédent...
b. Tableau de valeurs
Onauraitpuopterpouruntableaudevaleurs:
n
¡3 ¡2 ¡1 0 1 2 3
(n)
. Utilisation de la mahine
Iilesalulspeuventêtreeffetuésdetêtemaisdanser tainsasl'usagedelamahinerendrabiendesservies.
Commentobtenirletableaui-dessusaveuneCASIOouuneTI?
Ave les CASIO
Onappuiesur MENU puisonséletionneI
Onpeuteffetuerdesréglagesenséletionnant[RANG℄:
StartetEndnesontpasdesmotstropompliquésàomprendre...QuantàPith,ilorrespondaupasrégulier
entrehaquevaleurdesnombresdontonveutonnaîtrel'image.
Onentrealorslafor muleorrespondantàlafontionétudiée.Ii:
X,µ,T ( X,µ,T + 1 ) ( X,µ,T ¡ 2 ) EXE
Onobtientletableausurdeuxolonnes:
Pouralulerl'imaged'unevaleurn'intervenantpasdansletableau,onmetensurbr illaneunevaleuretonla
remplaeparlanouvellevaleur.Parexemple,pourobtenirl'imagede¡2,5àlaplaedeellede¡1onpeutfaire:
Ave les TI
Vér ierquevousêtesdanslebonmodeentapantsur mode :
Taperensuitesur f( x) etentrerlafontionommepourlesCASIO:
x, t,µ,n ( x, t,µ,n + 1 ) ( x, t,µ,n ¡ 2 ) entrer
Ils'agitensuited'effetuerquelquesréglagesenallantsur 2nde [déftable℄:
Lesdeuxpremièreslignessontfailesàutiliser.Pourlesdeuxder nières,onlesrégleraselonnosbesoins.
SionlaisseenmodeAuto,onanotretableauaveunpasrégulier:
LemodeDemestlemodemanuel.Enlemettantensurbr illanepourValeurs,onobtientetéran:
Ilsuftalorsdetaperdanslapremièreolonnelesvaleursdesnombresdontonveutonnaîtrel'image.
d. Représentation graphique
Leture d'une ourbe
Exemple2:
Ivan IVANOV,undissidentBordure,déidedepasserlandestinementla frontièreborduro-syldaveenem-
pr untantuntunnelonstr uitparlarésistane.Malheureusement,leréseauaétéinltréparlapolieBordure
quiaplaéunebaliseGPSsurIvanequiper metdesuivresonheminement.Voiiletraéobtenuparles
Borduresquidonneàhaqueinstantl'altitudeenmètresd'Ivanenfontiondutempstexpr iméenminutes
sahantquetÆ0orrespondaupassagedelafrontière:
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Enutilisantegraphique,répondezauxquestionssuivantesavelapréisionper miseparletraé.
1. CombiendetempsIvana-t-ilpassésousterre?
.......................................................................................................................
2. Combiendetempsa-t-ilmispouratteindrelafrontière?
.......................................................................................................................
3. Combiendefoiss'est-iltrouvéà11mètresd'altitude?
.......................................................................................................................
4. Àquelinstantsetrouvait-ilà12mètresd'altitudes?
.......................................................................................................................
5. Àquellehauteursetrouvait-il6minutesaprèsavoirpassélafrontière?
.......................................................................................................................
6. Résumezleparoursd'Ivandansuntableauoùvousgurerezparuneèheverslehautlespér iodesoùIvana
gr impéetparuneèheverslebaslespér iodesoùIvanadesendu.
7. Résumezleparoursd'Ivandansuntableauoùvousgurerezparun+lespér iodesoùIvanaétéau-dessusdu
niveaudelameretparun¡lespér iodesoùIvanaétéen-dessousduniveaudelamer.
Voilààquoiserésumeequivousestdemandédesavoirfaireenlassede2 nde
surlaleturegraphique...
Représentation graphique d'une fontion : un exemple
Exemple3:
Dessavantssyldavesontmisaupointunefor muledonnantlahauteurhdugazondujardinduGuideSuprême
enentimètresenfontiondutempstenannéeéoulédepuislaGrandeRévolution:
h(t)Æ t
3
3
¡2t 2
Å3tÅ10
1. Complétezletableausuivant:
t
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25
h(t)
2. Plaezdanslerepèresuivantlespointsdeoordonnées(t,h(t)),enremplaçanttparlesvaleursdutableau.Vous
marquerezlespointsparuneroix:
0 1 2 3 4 5 9
10 11 12 13
3. Quesepasse-t-ilàvotreavis«entrelesroix»?
Représentation graphique d'une fontion : le ours
Dénition3:représentationgraphiqued'unefontion
Soit'unefontiondéniesurunensembleD
'
etunrepère(O,I,J).
Onappellereprésentationgraphiquedelafontion'l'ensembledespointsdeoordonnées
¡
t;'(t)
¢
,ave
t2D
' .
Onnotesouventetensemble
¡
C
'
¢
O
b
¡
t;'(t)
¢
t '(t)
antéédents
images
¡
C
'
¢
Attention!
Uneourbepeutêtre...unedroite.Eneffet,vousavezvul'annéeder nièrequelaourbereprésentatived'une
fontionafneétaitunedroite.Nousenreparleronsplustard.
III Résolution d'équations et d'inéquations
a. Résolution graphique d'équations
Nousnesavonsrésoudrequetrèspeud'équationsalgébr iquement(parlealul).Parexemple,nousnesavonspas
résoudresur[0;4℄l'équation:
x 3
3
¡2x 2
Å3xÅ10Æ11
Maisnoussavonstraeràpeuprèslareprésentationgraphiquedelafontion
':
[0;4℄ ! R
t 7!
t 3
3
¡2t 2
Å3tÅ10
Noussavonsaussitraerlareprésentationgraphiquedelafontion:
:
[0;4℄ ! R
t 7! 11
Regrouponslesdeuxreprésentationssurunmêmegraphique(ilenmanqueune...):
~
j
0 1 2 3 4
10 11 12
Unpointsituéàl'intersetiondeesdeuxourbes...appar tientàesdeuxourbesdonsesoordonnéessontdela
for me:
d'unepar t(t, t
3
3
¡2t 2
Å3tÅ10)arilappar tientà(C
' );
d'autrepar t(t,11)arilappar tientà(C
).
Alors t
3
3
¡2t 2
Å3tÅ10Æ11donl'absisset deepointestunesolutiondel'équation x
3
3
¡2x 2
Å3xÅ10Æ11
Onpeutdonlirelessolutionsdel'équationsurlegraphiques:esontlesabsissesdespointsd'intersetiondes
deuxourbes.
Ii,ontrouvetroissolutions:x
1
¼...,x
2
¼...etx
3
¼...
b. Résolution graphique d'inéquations
C'estunpeulemêmeproblèmequepourleséquations.Reprenonsl'exemplepréédent.Nousnesavonstoujours
pasrésoudresur[0;4℄l'inéquation:
x 3
3
¡2x 2
Å3xÅ10611
GuillaumeCONNAN,2 nde
4,2009-2010
Maisnoussavonstraeràpeuprèslareprésentationgraphiquedelafontion
':
[0;4℄ ! R
t 7!
t 3
3
¡2t 2
Å3tÅ10
Noussavonsaussitraerlareprésentationgraphiquedelafontion:
:
[0;4℄ ! R
t 7! 11
Regrouponsles deuxreprésentationssurunmêmegraphique(ilenmanquetoujours une...) etplaçonslestrois
solutionstrouvéespréédemment:
~
j
0 1 2 3 4
10 11 12
UnpointdeC
'
dontl'absisset estsituéedansl'intervalle[0;x
1
℄estau-dessousdupointdeC
ayantlamême
absisse.
L'ordonnée'(t)dupremierestdoninfér ieureàl'ordonnée(t)duseond.
Ainsi,quelquesoitt2[0;x
1
℄,ona'(t)6(t),'est-à-dire x
3
3
¡2x 2
Å3xÅ10611.L'intervalle[0;x
1
℄estdoninlus
dansl'ensembledessolutionsdel'inéquation.
Trouvezl'autreintervallequiestinlusdansl'ensembledessolutionsdel'inéquation.
Résolvezalorsl'inéquationsur[0;4℄:
Attention!
Cesméthodesderésolutionsd'équationsetd'inéquationsprésententdeuxgrosinonvénients:
onn'obtientquedes APPROXIMATIONSdes solutions. Pourvér iers'ils'agitréellementd'une solution
exate,ilfauteffetuerunalul;
onnepeutlirequelesapproximationsdessolutionsquiapparaissentdansla«fenêtre»afhée.Onne
peutdonpassavoirs'ilenexisted'autresailleurs.
Cependant,esméthodesprésententl'avantagedepouvoirloaliseràpeuprèsdessolutionsd'équationset
d'inéquationsquenousnesavonspas(enore)résoudrealgébr iquement.
GuillaumeCONNAN,2 nde
4,2009-2010
