Dérivation
Nombre dérivé. Tangente
b
b b b
b M0
M
x0
f(x0)
x=x0+h f(x)
• M0(x0, f(x0))et M(x, f(x)). Pourx6=x0,
le coefficient directeur de la droite(M0M)est f(x) −f(x0) x−x0
.
• fest dérivable enx0si et seulement si le taux f(x) −f(x0) x−x0
a une limite finie quandxtend versx0.
Il revient au même de dire que le taux f(x0+h) −f(x0) a une limite finie quandhtend vers0. h
• Dans ce cas, lenombre dérivédefenx0est f′(x0) = lim
x→x0
f(x) −f(x0) x−x0
.
• f′(x0)est le coefficient directeur de la tangente àCf au pointM0(x0, f(x0)).
• Une équation de la tangente àCfenM0(x0, f(x0))est y=f′(x0)(x−x0) +f(x0).
Trois situations où la fonction f n’est pas dérivable en x
0) f(x0) •
x0
f(x0)
x0
f(x0)
x0 xlim→x0
f(x)6=f(x0). lim
x→x0
f(x) −f(x0) x−x0
=±∞. xlim
→x0
x<x0
f(x) −f(x0) x−x0
6=xlim
→x0
x>x0
f(x) −f(x0) x−x0
. fn’est pas continue enx0. Cfadmet une tangente parallèle à
(Oy).
Cfadmet deux demi-tangentes de directions différentes.
Fonctions dérivables sur un intervalle. Fonction dérivée
Soitfune fonction définie sur un intervalleI.fest dérivable surIsi et seulement sifest dérivable en chaque réelxdeILa fonction dérivée def, notéef′, est alors la fonction qui à chaque réelxdeIassocie le nombre dérivéf′(x)de la fonctionf enx.
Lien avec la continuité
Si fest dérivable ena, alorsfest continue ena.
Sifest continue ena,f n’est pas obligatoirement dérivable ena.
La fonction valeur absolue est continue surR mais n’est pas dérivable en 0. La fonction racine carrée est continue sur [0,+∞[mais n’est pas dérivable en0. On a ainsi deux exemples de fonctions continues et non dérivables en un point.
On ne peut pas dire «fest dérivable et continue surI» et encore moins «fest continue et donc dérivable surI».
Dérivées et sens de variation
Soitfune fonctiondérivablesur unintervalle I.
• Sif′>0(respectivementf′60),f est croissante surI(respectivement décroissante surI).
• Sif′> 0(respectivementf′< 0) sauf peut-être en un nombre fini de points oùf′ s’annule, alorsfest strictement croissante surI(respectivement strictement décroissante surI).
Dérivées et extrema des fonctions
Soientfune fonctiondérivablesur unintervalle ouvertIetx0 un réel deI.
• Sif(x0)est un extremum local defalorsf′(x0) =0.
• Sif′ s’annule enx0en changeant de signe,fadmet un extremum local enx0.
