Exercice I. Fonctions eul´ eriennes

Universit´ e Bordeaux 1, N1MA5012 Int´ egration

El´ ements de correction du devoir Maison II

Exercice I. Fonctions eul´ eriennes

1) Soit w = a + ib un nombre complexe (a et b r´ eels) et x un r´ eel strictement positif, calculer le module |x ^w |.

Par d´ efinition x ^w = e ^{(a+ib) ln x} , d’o` u |x ^w | = e ^{a ln x} = x ^Rew car e ^{ib ln x}

= 1.

2) D´ emontrer que l’ensemble des complexes z pour lesquels la fonction x 7→ e ^−x x ^z−1 est Lebesgue int´ egrable sur ]0, +∞[ est P := {z ∈ C | Re(z) > 0}.

La fonction x 7→ e ^−x x ^z−1 est continue sur ]0, +∞[ donc mesurable et P est l’ensemble des complexes z tels que

Z +∞

0

e ^−x x ^z−1

dx < ∞ c’est-` a-dire tels que

Z +∞

0

e ^−x x ^Re(z)−1 dx < ∞

La fonction x 7→ e ^−x x ^Re(z)−1 est continue sur ]0, +∞[ donc localement intgrable, de plus elle est positive et

e ^−x x ^Re(z)−1 ∼

0 x ^Re(z)−1 et e ^−x x ^Re(z)−1

+∞

1 x ² L’int´ egrale de Riemann R 1

0 x ^Re(z)−1 dx converge si et seulement si Re(z) − 1 > −1, l’int´ egrale de Riemann R +∞

1 1

x

dx converge donc avec les th´ eor` emes pour les int´ egrales g´ en´ eralis´ es dans le cas d’´ equivalence et de comparaison entre fonctions positives, R +∞

0 e ^−x x ^Re(z)−1 dx converge si et seulement si Re(z) > 0.

3) D´ emontrer que l’ensemble des couples de complexes (p, q) pour lesquels la fonction x 7→ x ^p−1 (1 − x) ^q−1 est Lebesgue int´ egrable sur ]0, 1[ est P ² .

De mˆ eme qu’` a la question pr´ ec´ edente.

La fonction x 7→ x ^p−1 (1−x) ^q−1 est continue donc mesurable. La fonction x 7→

x ^p−1 (1 − x) ^q−1 est continue sur ]0, 1[ donc localement int´ egrable, elle est positive et

x ^p−1 (1 − x) ^q−1 ∼

0 x ^Re(p)−1 et

x ^p−1 (1 − x) ^q−1 ∼

1 (1 − x) ^Re(q)−1 Les int´ egrales de Riemann R 1

0 x ^Re(p)−1 dx et R 1

0 (1 − x) ^Re(q)−1 dx convergent si et seule-

ment si Re(p) − 1 > −1 et Re(q) − 1 > −1, avec les th´ eor` emes pour les int´ egrales

g´ en´ eralis´ es dans le cas d’´ equivalence entre fonctions positives, x 7→ x ^p−1 (1 − x) ^q−1 est Lebesgue int´ egrable sur ]0, 1[ si et seulement si (p, q) est dans P ² .

On notera dans la suite de l’exercice

∀z ∈ P Γ(z) = R +∞

0 e ^−x x ^z−1 dx

∀(p, q) ∈ P ² B(p, q) = R 1

0 x ^p−1 (1 − x) ^q−1 dx 4) Avec un changement de variable bien choisi, montrer que

∀z ∈ P Γ(z) = 2 Z +∞

0

e ^−u

u ^2z−1 du

L’application carr´ e est un C ¹ diff´ eomorphisme de ]0, +∞[ sur lui-mˆ eme, avec le th´ eor` eme de changement de variables

∀z ∈ P Γ(z) = Z

]0,+∞[

e ^−u

u ^2(z−1) |2u| du

soit l’´ egalit´ e demand´ ee.

5) Avec un changement de variable bien choisi, montrer que

∀(p, q) ∈ P ² B (p, q) = 2 Z π/2

0

(sin θ) ^2p−1 (cos θ) ^2q−1 dθ

L’application sin ² est un C ¹ diff´ eomorphisme de ]0, ^π ₂ [ sur ]0, 1[, avec le th´ eor` eme de changement de variables

∀(p, q) ∈ P ² B(p, q) = Z

]0,π/2[

(sin θ) ^2(p−1) (1 − sin ² θ) ^q−1 |2 sin θ cos θ| dθ

soit l’´ egalit´ e demand´ ee en utilisant que 1 − sin ² θ = cos ² θ.

5) En utilisant le th´ eor` eme de Fubini et un nouveau changement de variables, montrer que

∀(p, q) ∈ P ² Γ(p)Γ(q) = Γ(p + q)B(p, q)

Si l’on prend p et q r´ eels alors on travaille avec des fonctions positives et on peut utiliser le th´ eor` eme de Tonelli ce qui all` ege un peu la r´ edaction.

Dans le cas g´ en´ eral (p et q complexes) il faut tout d’abord justifier que la fonction (u, v) 7→ e ^−u

u ^2p−1 e ^−v

v ^2q−1 est int´ egrable sur l’espace produit ]0, +∞[×]0, +∞[.

Elle est mesurable car continue et en utilisant le th´ eor` eme de Tonelli R

]0,+∞[

e ^−u

u ^2p−1 e ^−v

v ^2q−1

dudv = R

]0,+∞[

e ^−u

u ^2p−1

R

]0,+∞[

e ^−v

v ^2p−1 dv

du

= Γ(Rep)Γ(Req) < +∞ ∀(p, q) ∈ P ²

Elle est donc int´ egrable sur sur l’espace produit ]0, +∞[×]0, +∞[.

En utilisant maintenant le th´ eor` eme de Fubini R

]0,+∞[

e ^−u

u ^2p−1 e ^−v

v ^2q−1 dudv = R

]0,+∞[ e ^−u

u ^2p−1 R

]0,+∞[ e ^−v

v ^2p−1 dv

du

= Γ(p)Γ(q) ∀(p, q) ∈ P ²

On va maintenant faire un changement en coordonn´ ees polaires pour conclure. L’ap- plication

ϕ : ]0, +∞[×]0, ^π ₂ [ → ]0, +∞[ ² (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ)

est un C ¹ -diff´ eomorphisme, de jacobien jac(ϕ)(r, θ) = r. Avec le th´ eor` eme de change- ment de variables

Z

]0,+∞[

e ^−u

^−v

u ^2p−1 v ^2q−1 dudv = Z

]0,+∞[×]0,

2

[

e ^−r

(r cos θ) ^2p−1 (r sin θ) ^2q−1 rdrdθ

Il faut maintenant ` a nouveau utiliser le th´ eor` eme de Fubini. La fonction (r, θ) 7→

e ^−r

r ^2(p+q)−1 (cos θ) ^2p−1 (sin θ) ^2q−1 est continue donc mesurable sur ]0, +∞[×]0, ^π ₂ [. De plus elle est int´ egrable car avec le th´ eor` eme de Tonelli

R

]0,+∞[×]0,

[

e ^−r

r ^2(p+q)−1 (cos θ) ^2p−1 (sin θ) ^2q−1 drdθ

= R

]0,+∞[

e ^−r

r ^2(p+q)−1

R

]0,

[

(cos θ) ^2p−1 (sin θ) ^2q−1 dθ

dr

= Γ(Re(p + q))B(Re(q), Re(p)) < +∞ ∀(p, q) ∈ P ² On peut maintenant appliquer le th´ eor` eme de Fubini et

R

]0,+∞[×]0,

2

[ e ^−r

r ^2(p+q)−1 (cos θ) ^2p−1 (sin θ) ^2q−1 drdθ

= R

]0,+∞[ e ^−r

r ^2(p+q)−1 R

]0,

[ (cos θ) ^2p−1 (sin θ) ^2q−1 dθ

dr

= Γ(p + q)B(q, p) ∀(p, q) ∈ P ²

Ce qui termine la preuve de l’´ egalit´ e Γ(p)Γ(q) = Γ(p + q)B(p, q) pour tout (p, q) dans P ² par sym´ etrie imm´ ediate de la fonction B (faire le changement de variable u = x − 1 dans R 1

0 x ^p−1 (1 − x) ^q−1 dx).

Exercice II. In´ egalit´ e de Hardy

On note E ⁺ l’ensemble des fonctions mesurables F : ]0; ∞[→ [0; ∞], les tribus sur les espaces de d´ epart et d’arriv´ ee ´ etant les tribus bor´ eliennes. Soit ´ egalement p ∈ [1; ∞[, et soit q l’exposant conjugu´ e (c’est ` a dire ¹ _p + ¹ _q = 1 lorsque p > 1 ; q = ∞ lorsque p = 1).

1) Montrer que si F ∈ E ⁺ est dans L ^p (µ), alors

kF k _L

= sup ( Z

]0;∞[

F G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

.

On remarque que F prend que des valeurs positives, et alors que |F (X)| = F(X). Par l’in´ egalit´ e de Holder :

sup ( Z

]0;∞[

F G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

≤ sup

kFk _L

kGk _L

; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1

≤ sup

kFk _L

; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1

≤ kFk _L

Si kF k _L

= 0 alors on a termin´ e puisque cela implique que F est nulle presque partout et alors pour tout avec G ∈ E ⁺ , R

]0;∞[ F G dµ = 0.

Si p = 1 alors la fonction constante ´ egale ` a 1 est mesurable positive et k1k ∞ = 1, de plus

sup ( Z

]0;∞[

F G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

≥ Z

]0;∞[

F 1 dµ = kF k _L

car F est positive.

Reste le cas kF k _L

> 0 et pour p, q 6= ∞, on pose G = ^F

||F ||

alors G est dans E ⁺ et kGk ^q _L

= _||F ¹ _||

Lp

R

]0;∞[ (|F | ^p = 1 ; c’est ` a dire kGk _L

= 1.

En utilisant les identit´ es 1 + ^p _q = p et p − p/q = 1 Z

]0;∞[

F G dµ = 1

||F|| ^p/q _L

Z

]0;∞[

F ^1+p/q dµ = kF k ^p _L

||F || ^p/q _L

= kF k _L

.

ce qui donne

sup ( Z

]0;∞[

F G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

≥ kFk _L

et d´ emontre l’´ egalit´ e.

2) Montrer que le r´ esultat pr´ ec´ edent est en fait valable pour toute F ∈ E ⁺ (les deux membres de l’´ egalit´ e pr´ ec´ edente pouvant valoir ∞).

Nous avons montr´ e en particulier dans la question pr´ ec´ edente que si F est dans L ^p (µ) alors sup n

R

]0;∞[ F G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 o

est fini. En prenant la contrapos´ ee,

sup ( Z

]0;∞[

F G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

= +∞ ⇒ kF k _L

= +∞

Supposons maintenant que kF k _L

= +∞ on va supposer de plus que µ est σ- finie ... oubli de l’´ enonc´ e. On note A _n la une suite croissante de bor´ eliens tels que µ(A n ) < +∞ et S

n

A n =]0, +∞[. F ´ etant mesurable positive il existe une suite croissante (F n ) de fonctions ´ etag´ ees positives, qui converge vers F , on pose

F ˜ _n = F _n 1 A

ainsi pour tout entier n, ˜ F n ∈ L ^p (]0, +∞[) car kF _n k _L

≤ sup _]0,+∞[ (F n )µ(A n ) ^1/p < +∞

et la suite ( ˜ F _n ) est encore croissante et converge vers F . Ainsi pour tout G de E ⁺

Z

]0,∞[

F ˜ _n G dµ ≤ Z

]0,∞[

F G dµ

de plus, par ce qu’on a montr´ e en (1) :

k F ˜ _n k _L

= sup ( Z

]0;∞[

F ˜ _n G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

Avec le th´ eor` eme de convergence monotone lim n→∞ k F ˜ n k _L

= kF k _L

= +∞ et donc

+∞ ≤ sup ( Z

]0;∞[

F G dµ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

ce qui finit la d´ emonstration.

Soit p ∈ ]1; ∞[ et soit f ∈ L ^p (]0; ∞[). On d´ efinit F : ]0; ∞[→ R par

F (x) = 1 x

Z x

0

f (t) dt .

3) Justifier que F (x) est bien d´ efini pour tout r´ eel strictement positif x.

Si x > 0 et f ∈ L ^p (]0, ∞[) alors f ∈ L ^p (]0, x[) ; ce qui implique que f ∈ L ¹ (]0, x[) car λ(]0, x[) = x < +∞ pour tout x fix´ e. Ainsi F (x) est bien d´ efini.

4) Montrer que

∀x > 0 |F (x)| ≤ Z 1

0

|f (xu)| du

On fixe x et on fait le changement de variable u = t/x de jacobien 1/x qui donne F (x) = ¹ _x R x

0 f (t) dt = R 1

0 f (xu)du et donc

|F (x)| = | Z 1

0

f(xu) du| ≤ Z 1

0

|f(xu)| du.

5) On note pour tout r´ eel u de ]0, 1[ et tout x de ]0, ∞[ , f ˜ _u (x) = |f (ux)|. Justifier que f ˜ u est dans L ^p (]0; ∞[) et que k f ˜ u k _L

= u ^−1/p kf k _L

.

Cette fois on fixe u et on fait le changement de variable w = ux pour obtenir k f ˜ _u k ^p _p = R ∞

0 | f ˜ _u (x)| ^p dx = _u ¹ R ∞

0 |f(w)| ^p dw ce qui donne le r´ esultat.

6) En d´ eduire que F est dans L ^p (]0; ∞[) et que kF k _L

≤ p

p − 1 kfk _L

Avec les questions 1 et 2,

kF k _L

= sup ( Z

]0;∞[

|F |G dλ; G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1 )

. (∗)

Maintenant on fixe une fonction G ∈ E ⁺ , kGk _L

= 1. Avec la question 4 : Z

]0;∞[

|F |G dλ ≤ Z +∞

0

Z 1 0

|f (xu)| du

G(x) dx

Et, avec le th´ eor` eme de Fubini-Tonelli (les fonctions sont positives) : Z +∞

0

Z 1 0

|f (xu)| du

G(x) dx = Z 1

0

Z +∞

0

|f(xu)|G(x) dx

du

En mettant ensemble l’´ equation (∗) et le r´ esultat de la question 1 on obtient :

kF k _L

≤ Z 1

0

Z +∞

0

|f (xu)|G(x) dx

du ≤ Z 1

0

k f ˜ _u k _L

du.

De plus Z 1

0

k f ˜ u k _L

du = Z 1

0

u ^−1/p kf k _L

du = kfk _L

1

1 − 1/p u ^1−1/p 1

0

= p

p − 1 kf k _L

ce qui termine la question.

7) Que peut-on dire pour f dans L ^∞ (]0, ∞[) ? Pour f dans L ¹ (]0, ∞[) ?

Si p = ∞ le r´ esultat est toujours vrai. On a encore F bien d´ efinie car L ^∞ (]0, x[) ⊂ L ¹ (]0, x[) pour la mesure de Lebesgue (on utilise ` a nouveau que ]0, x[ est de mesure de Lebesgue finie). De plus on sait que |f | ≤ kfk <sub>∞</sub> presque partout sur ]0, +∞[ d’o` u

|F (x)| ≤ Z 1

0

kf k _∞ = kf k _∞

donc F ∈ L ^∞ (]0, ∞[) et kF k _∞ ≤ kf k _∞ .

Si p = 1 le r´ esultat n’est plus vrai. En prenant f(t) = _t ¹

1 (t) [1,+∞[ on a bien f ∈ L ¹ (]0, ∞[) et kf k _L

= 1.

Pour 0 < x ≤ 1, F (x) = 0 et pour x > 1 F(x) = _x ¹ 1 − _x ¹ . Mais F est une fonction positive donc R

[0,∞[ F (x)dx = lim t→∞ R t

1 F (x)dx = ∞ car R ∞

1 dx

x = +∞, et R ∞ 1

dx

x

= 1. Donc F n’est pas dans L ¹ (]0, ∞[).