TS Exercices sur les équations différentielles : correction ex 3 2011-2012
On note f (t) le nombre de ménages, vivant en France, équipés d’un ordinateur (t en années, f (t) en millions ; on pose t = 0 en 1980).
On sait que f (0) = 0, 01 et on estime que, sur la période allant de 1980 à 2015, f est solution de l’équation différentielle : y ′ = 0, 022y(20 − y) (1)
1. Résoudre l’équation (1) en posant z = 1 y . Compte-tenu des formules de dérivation,
y solution de (1) ⇔ z est solution de (2), en effet :
z = 1
y
y ′ = 0, 022y(20 − y)
⇔
z ′ = − y ′ y 2
y ′ = 0, 022y(20 − y)
⇔
z ′ = − 0, 022y(20 − y) y 2 y ′ = 0, 022y(20 − y)
⇔
z ′ = − 0, 44y − 0.022y 2 y 2 y ′ = 0, 022y(20 − y)
⇔
z ′ = − 0.44 × 1 y + 0.22 y ′ = 0, 022y(20 − y)
⇔
z ′ = − 0.44z + 0.022 (2) y ′ = 0, 022y(20 − y)
2. L’équation (2) est de la forme y ′ = ay + b (cours) donc les solutions de z ′ = − 0.44z + 0.022 sont les fonctions de la forme :
z(t) = Ae −0.44t + 1
20 où A est une constante arbitraire.
1 20 = − b
a = − 0.022
− 0.44
Ayant posé z = 1
y ⇔ y = 1 z .
Comme f est l’une de ces solutions et compte-tenu de la question précédente : f (t) = 1
z(t) = 1
Ae −0.44t + 1 20
= 20
20Ae −0.44t + 1 . La condition initiale f (0) = 0, 01 ⇔ 20
20Ae 0 + 1 = 0.01 ⇔ 20
20A + 1 = 0.01 ⇔ A = 1999
20 . la fonction cherchée est donc : f (t) = 20
1 + 1999e −0.44t . On a bien une bonne approximation avec :
f (t) = 20 1 + 2000e −0.44t 3. Étudier et représenter graphiquement la fonction f .
O 10
20
b
b
