UNIVERSITÉ MONTESQUIEUBORDEAUXIV Licence Économie et Gestion – 1reannée
Semestre 1 2011-2012
T.D. n
o3 : suites numériques
Exercice 1
On considère les suites numériques suivantes : 1. (un)n≥3 définie parun=√
n2−2pour toutn≥3.
2. (vn)n∈Ndéfinie parv0= 1etvn+1= 3vn+n−2pour toutn∈N. 3. (wn)n∈Ndéfinie parwn= 3n+ (−1)n.
4. (xn)n∈Ndéfinie parx0 = 0,x1 = 32etxn+2= xn+xn+1
2 pour toutn∈N.
Calculer les cinq premiers termes de ces suites. Étudier les sens de variation deuetw.
Exercice 2
Soit la suite(un)n∈Ndéfinie paru0= 7etun+1 =un+ 5pour toutn∈N. 1. Donner l’expression deunen fonction de n.
2. Quelle est la somme desnpremiers termes deu?
3. Déterminer la somme desnpremiers termes de rang impair deu.
Exercice 3
1. On considère la suite(un)n∈Narithmétique de raisonret de premier termeu0. Soit (Sn)n∈Nla suite définie parSn=
Xn
k=0
uk.
(a) Sachant quer= 5etu0= 1, calculeru4etS10. (b) Sachant queu3 = 5etS4 = 15, déterminerretu0.
2. (un)n∈Nest cette fois une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0. (a) Sachant queu0 = 3etq=−5, calculeru3etS3.
(b) Sachant queu0 = 1etq= 2, déterminer le rangN pour lequelSN = 65 535.
Exercice 4
Au 1erjanvier 2011, une villeAcompte200 000habitants et une villeBen compte150 000. On constate que depuis le début du siècle la population de la villeAdiminue de3%par an tandis que celle de la ville B augmente de5%par an. On suppose que les populations de ces villes vont évoluer au même rythme.
1. Quelles seront les populations des villesAetBau 1erjanvier 2012 ? Au 1erjanvier 2013 ?
2. Pour tout entier n ≥ 1, on désigne par an et bn les populations des villes A et B au 1erjanvier de l’année2000 +n. Vérifier que les suites(an)n∈Net(bn)n∈Nsont géométriques. Préciser leurs raisons respectives, et donner leurs expressions en fonction den.
3. Quelles étaient les populations deAet deB au 1erjanvier 2001 ? Qu’en sera-t-il au 1erjanvier 2021 ? 4. Au 1erjanvier de quelle année la population deAsera-t-elle dépassée par celle deB?
Exercice 5 (d’après sujet de Bac) Une automobile est vendue neuve au prixP0 = 15 000¤le 1erjanvier 2011. On calcule sa cote annuelle (prix de revente estimé) de la façon suivante : chaque année la nouvelle cotePnau 1erjanvier est égale à la précédente diminuée de25%mais augmentée de500¤.
1. CalculerP1.
2. Quelle est l’expression dePn+1en fonction dePn?
3. On poseun = Pn−α pour tout entiern. Demontrer que pour une certaine valeur deα que vous déterminerez,(un)n∈Nest une suite géométrique. Quelle est l’expression deunen fonction den? 4. En déduire l’expression dePnen fonction den.
5. Quelle est la limite de la suite(Pn)n∈N? Justifier.
Exercice 6
On considère un placement produisant5%d’intérêts à l’année.
1. Calculer les intérêts produits par1 000¤pendant cinq ans.
2. Quel capital aurait-il fallu placer cinq ans plus tôt pour obtenir aujourd’hui ces1 000¤.
3. Avec pour objectif la production d’intérêts d’au moinsS¤à partir d’un capital initialC0, déterminer en fonction deSla durée nécessaire pour réaliser cet objectif.
4. Quel serait le taux d’intérêt permettant de doubler un capital initial en10ans ?
Exercice 7
On se propose de former au 1erjanvier 2015 un capital d’un montant deC¤au moyen de trois annuités de montantsA0,A1 etA2versées respectivement au 1erjanvier 2012, 2013 et 2014.
1. Le taux d’intérêt annuel (constant) étant notér, exprimerCen fonction deA0,A1,A2 etr.
2. Le taux d’intérêt est de10%(r = 0,1). Combien valentA1etA2 sachant queC = 39 820, A0 = 11 000 etA1+A2 = 21 810.
Exercice 8
Un emprunt de10 000¤au taux d’intérêt annuel de10%est remboursé ennannuitésA1,A2, . . . , An. 1. Sachant quen= 3,A1 = 0etA2 =A3, déterminer la valeur de l’annuitéA2.
2. Sachant quen= 10et queAk=Apour toutk(annuités constantes), déterminer la valeur deA.
