() () () () () () DIFFERENTES SUITES.

DIFFERENTES SUITES.

Partie 1.

Sur le graphique ci-dessous, sont représentés les premiers termes d une suite u, d une suite v et d une suite w.

1. Compléter le tableau suivant :

n

0 1 2 3 4 5

un

vn

wn

2. Quelle semble être la nature de la suite ( ) ^u

? En supposant que cette conjecture soit vraie, exprimer u

en fonction de n puis calculer u

.

3. Quelle semble être la nature de la suite ( ) ^v

? En supposant que cette conjecture soit vraie, exprimer v

en fonction de n puis calculer v

.

4. Montrer que la suite ( ) ^w

n a pas la même nature que les deux autres.

5. Parmi les formules suivantes, valables pour tout entier n, laquelle peut convenir pour la suite

( ) ^w

?

 wn 1

w

2

 wn 1

4 3n w

 wn 1

0,5w

2,5

6. Comment passe-t-on des points correspondant à la suite v à ceux correspondant à la suite w ? Quel lien peut-on alors conjecturer entre v

et w

?

Partie 2.

Une association caritative a un stock de nourriture de 1 tonne au début de l année 2015. Chaque année, la moitié du stock est consommée et l association reçoit 2,5 tonnes de nourriture en dons. On note w

la quantité (en tonnes) de nourriture dont dispose l association au début de l année 2015 n .

1. Donner w

; w

et w

.

2. Exprimer w

en fonction de w

. 3. Pour tout n de , on pose v

w

5.

a.

En utilisant la première partie, que peut-on conjecturer pour la suite ( ) ^v

^?

b.

Prouver cette conjecture.

c.

Exprimer v

puis w

en fonction de n.

4. De quelle quantité (au kg près) de nourriture l association disposera-t-elle au début de l année 2025 ?

5. Déterminer la limite de la suite ( ) ^w

. A long terme, de quelle quantité de nourriture l association

disposera-t-elle au début de chaque année ?

DIFFERENTES SUITES.

CORRECTION.

Partie 1.

1.

n

0 1 2 3 4 5

un

3 2 1 0 1 2

vn

4 2 1 0,5 0,25 0,125

w_n

1 3 4 4,5 4,75 4,875

2. ( ) ^u

semble être arithmétique (points alignés) de raison 3. u

3 ( 1) n 3 n : formule explicite

u

3 12 9.

3. ( ) ^v

semble être géométrique de raison 0,5. u

4 0,5

: formule explicite v

9,77 10

4. w

w

≠ w

w

donc non arithm ; w

w

≠ w

w

donc non géom.

5.

 w_{n 1}

w

2 fausse pour n 1

 w_{n 1}

4 3n w

fausse pour n 2

 wn 1

0,5

2,5 VRAIE Suite définie par récurrence.

6. En se déplaçant de 5 unités vers le haut : il semble que v

5.

Partie 2.

Une association caritative a un stock de nourriture de 1 tonne au début de l année 2015. Chaque année, la moitié du stock est consommée et l association reçoit 2,5 tonnes de nourriture en dons. On note w

la quantité (en tonnes) de nourriture dont dispose l association au début de l année 2015 n .

1. w

1 ; w

3 et w

4. On retrouve les mêmes valeurs que dans la partie 1.

2. w

0,5w

2,5.

3. Pour tout n de , on pose v

w

5.

a.

Elle doit être géom de raison 0,5.

b.

v

0,5w

2,5 5 0,5 ( ^w

⁵ ) ^0,5v

donc v géom, q 0,5 et v

w

5 4.

c. vn

4 0,5

et w

5 5 4 0,5

. 4. En 2025 : w_10 4,996 tonnes soit 4 996kg.

De quelle quantité de nourriture l association disposera-t-elle au début de l année 2025 ? 5. 0 0,5 1 donc lim

n

0,5

0 donc lim

n

wn

5. A long terme, l association disposera au début de

chaque année d environ 5 tonnes de nourriture.