gxx ()lim math 2) Durée: 2h LS El Alia AS : 2017/2018 Prof: Tlich Ahmed (3

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LS El Alia Devoir de contrôle n°3 AS : 2017/2018 Prof: Tlich Ahmed (3

math 2) Durée: 2h Exercice n°1: ( 7 points)

Soit la fonction f définie sur IR ∖ {−2} par 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ^𝑥𝑥

^+4𝑥𝑥+5 _{𝑥𝑥 +2} .On note 𝐶𝐶 𝑓𝑓 sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) a)Montrer que 𝑓𝑓 ^′ (𝑥𝑥) = ^𝑥𝑥 _(𝑥𝑥+2)

^+4𝑥𝑥+3

b) Dresser le tableau de variation de f.

2) a) Montrer que la droite △∶ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2 est une asymptote à 𝐶𝐶 _𝑓𝑓 au voisinage de +∞ et −∞.

b) Etudier la position relative de 𝐶𝐶 _𝑓𝑓 𝑒𝑒𝑒𝑒 ∆.

3) Tracer la courbe de f

4)Soit m un paramètre réel .Discuter graphiquement suivant les valeurs de m le nombre des solution de l'équation (E

lim ( )

x

g x

→+∞

x

) : 𝑥𝑥 ² + (4 − 𝑚𝑚)𝑥𝑥 + 5 − 2𝑚𝑚 = 0 5)Soit 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = �𝑓𝑓(𝑥𝑥)

a) Déterminer l'ensemble de définition de g.

b) Dresser le tableau de variation de g

c) Calculer puis interpréter graphiquement le résultat.

d) Tracer dans le même repère la courbe de g.

Exercice n°2: ( 5 points)

Soit la fonction f définie sur IR par 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3cos⁡ ( 𝑥𝑥 − ^𝜋𝜋 ₃ ) 1)a) Déterminer la période f

b) Montrer que la droite D : 𝑥𝑥 = ^𝜋𝜋 ₃ est un axe de symétrie à la courbe de f.

c) Déduire qu'il suffit d'étudier f sur [ ^𝜋𝜋 ₃ , ^4𝜋𝜋 ₃ ] 2) a) Dresser le tableau de variation de sur [ ^𝜋𝜋 ₃ , ^4𝜋𝜋 ₃ ].

b) Construire la courbe de f sur [−2𝜋𝜋, 2𝜋𝜋] en expliquant les étapes de construction.

3) Soit g(x) =3sin( x+ ^𝜋𝜋 ₃ ) a) Montrer que g(x) = f(𝑥𝑥 + ^𝜋𝜋 ₆ )

b) Déduire une construction de la courbe de g à partir de celle de f.

( on rappelle : cos(a-b)=cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) et sin(a+b)= sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b ) )

2/2 Exercice n°3:

( , , ) O u v   ( 8 points)

1) Le plan est munie d'un repère orthonormé directe ( .Soit (Ϛ) le cercle de centre O et rayon 2 On considère les points A ,B et C d'affixes respectifs 𝑍𝑍 _𝐴𝐴 = 2𝑖𝑖, 𝑍𝑍 _𝐵𝐵 = √3 − 𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑍𝑍 _𝑐𝑐 = −𝑍𝑍 _𝐵𝐵 et 𝑍𝑍 _𝐷𝐷 = √2 + 𝑖𝑖√2 a) Ecrire Z

, Z

, 𝑍𝑍 _𝐶𝐶 et Z

sous forme trigonométrique.

b) Construire les points A,B ,C et D dans le repère.

c) Montrer que ABC est rectangle en A.

d) Déterminer l'affixe du point E pour que ABEC soit un rectangle.

2) Soit le nombre complexe U= 𝑍𝑍 _𝐵𝐵 × 𝑍𝑍 _𝐷𝐷 a) Ecrire U sous forme algébrique.

b) Déterminer le module et l'argument de U.

c) Déduire les valeurs exactes de cos � ₁₂ ^𝜋𝜋 � 𝑒𝑒𝑒𝑒 sin⁡ ( ₁₂ ^𝜋𝜋 ).

3) Soit Δ la droite passant par A et parallèle à (BC) qui recoupe (Ϛ) en un point M d'affixe Z

. a) Montrer qu'il existe un réel 𝛼𝛼 strictement positif tel que : 𝑍𝑍 _𝑀𝑀 − 𝑍𝑍 _𝐴𝐴 = 2𝛼𝛼𝑍𝑍 _𝐵𝐵 .

b) Ecrire Z

sous forme algébrique en fonction de ∝ . c) Vérifier que |𝑍𝑍 _𝑀𝑀 | = 2 puis déduire la valeur de 𝛼𝛼 .

Bon travail