Calcul de déterminants
1
Déterminants Définition
Propriétés des déterminants
Déterminants Définition
Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = (~ e
1
, e ~
2
) une base de E .
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
e ~
2
et v ~ = x
2
~ e
1
+ y
2
e ~
2
deux vecteurs de E .
On appelle déterminant de ( u, ~ v ~ ) dans la base B le nombre réel :
Det
B( u, ~ v ~ ) =
x
1x
2
y
1y
2
= x
1
y
2
− y
1
x
2
Déterminants Définition
Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = (~ e
1
, e ~
2
) une base de E .
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
e ~
2
et v ~ = x
2
~ e
1
+ y
2
e ~
2
deux vecteurs de E .
On appelle déterminant de ( u, ~ v ~ ) dans la base B le nombre réel :
Det
B( u, ~ v ~ ) =
x
1x
2
y
1y
2
= x
1
y
2
− y
1
x
2
Déterminants Définition
Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = (~ e
1
, e ~
2
) une base de E .
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
e ~
2
et v ~ = x
2
~ e
1
+ y
2
e ~
2
deux vecteurs de E .
On appelle déterminant de ( u, ~ v ~ ) dans la base B le nombre réel :
Det
B( u, ~ v ~ ) =
x
1x
2
y
1y
2
= x
1
y
2
− y
1
x
2
Déterminants Définition
Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :
1. Pour tout vecteur u ~ = x
1
e ~
1
+ y
1
e ~
2
de E , Det
B( u, ~ u ~ ) = 0
x
1x
1
y
1y
1
= x
1
y
1
− y
1
x
1
= 0
Déterminants Définition
Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :
1. Pour tout vecteur u ~ = x
1
e ~
1
+ y
1
e ~
2
de E , Det
B( u, ~ u ~ ) = 0
x
1x
1
y
1y
1
= x
1
y
1
− y
1
x
1
= 0
Déterminants Définition
Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :
1. Pour tout vecteur u ~ = x
1
e ~
1
+ y
1
e ~
2
de E , Det
B( u, ~ u ~ ) = 0
x
1x
1
y
1y
1
= x
1
y
1
− y
1
x
1
= 0
Déterminants Définition
2. Pour tous vecteurs u ~ = x
1
e ~
1
+ y
1
~ e
2
, v ~ = x
2
e ~
1
+ y
2
~ e
2
de E , Det
B( u, ~ v ~ ) = −Det
B( v, ~ u ~ )
x
2x
1
y
2y
1
= x
2
y
1
− y
2
x
1
= −
x
1x
2
y
1y
2
Déterminants Définition
2. Pour tous vecteurs u ~ = x
1
e ~
1
+ y
1
~ e
2
, v ~ = x
2
e ~
1
+ y
2
~ e
2
de E , Det
B( u, ~ v ~ ) = −Det
B( v, ~ u ~ )
x
2x
1
y
2y
1
= x
2
y
1
− y
2
x
1
= −
x
1x
2
y
1y
2
Déterminants Définition
3. Soient :
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
~ e
2
, v ~ = x
2
e ~
1
+ y
2
~ e
2
et w ~ = x
3
e ~
1
+ y
3
e ~
2
∈ E , α et β ∈ R :
Det
B(~ u, α ~ v + β w ~ ) = α Det
B( u, ~ v ~ ) + β Det
B( u, ~ w ~ ) , Det
B( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det
B( u, ~ w ~ ) + β Det
B( v, ~ w ~ );
x
1αx
2
+ βx
3
y
1αy
2
+ βy
3
= x
1
( αy
2
+ βy
3
) − y
1
( αx
2
+ βx
3
)
= α ( x
1
y
2
− y
1
x
2
) + β ( x
1
y
3
− y
1
x
3
)
= α
x
1x
2
y
1y
2
+ β
x
1x
3
y
1y
3
Déterminants Définition
3. Soient :
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
~ e
2
, v ~ = x
2
e ~
1
+ y
2
~ e
2
et w ~ = x
3
e ~
1
+ y
3
e ~
2
∈ E , α et β ∈ R :
Det
B(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det
B( u, ~ v ~ ) + β Det
B( u, ~ w ~ ) , Det
B( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det
B( u, ~ w ~ ) + β Det
B( v, ~ w ~ );
x
1αx
2
+ βx
3
y
1αy
2
+ βy
3
= x
1
( αy
2
+ βy
3
) − y
1
( αx
2
+ βx
3
)
= α ( x
1
y
2
− y
1
x
2
) + β ( x
1
y
3
− y
1
x
3
)
= α
x
1x
2
y
1y
2
+ β
x
1x
3
y
1y
3
Déterminants Définition
3. Soient :
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
~ e
2
, v ~ = x
2
e ~
1
+ y
2
~ e
2
et w ~ = x
3
e ~
1
+ y
3
e ~
2
∈ E , α et β ∈ R :
Det
B(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det
B( u, ~ v ~ ) + β Det
B( u, ~ w ~ ) , Det
B( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det
B( u, ~ w ~ ) + β Det
B( v, ~ w ~ );
x
1αx
2
+ βx
3
y
1αy
2
+ βy
3
= x
1
( αy
2
+ βy
3
) − y
1
( αx
2
+ βx
3
)
= α ( x
1
y
2
− y
1
x
2
) + β ( x
1
y
3
− y
1
x
3
)
= α
x
1x
2
y
1y
2
+ β
x
1x
3
y
1y
3
Déterminants Définition
3. Soient :
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
~ e
2
, v ~ = x
2
e ~
1
+ y
2
~ e
2
et w ~ = x
3
e ~
1
+ y
3
e ~
2
∈ E , α et β ∈ R :
Det
B(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det
B( u, ~ v ~ ) + β Det
B( u, ~ w ~ ) , Det
B( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det
B( u, ~ w ~ ) + β Det
B( v, ~ w ~ );
x
1αx
2
+ βx
3
y
1αy
2
+ βy
3
= x
1
( αy
2
+ βy
3
) − y
1
( αx
2
+ βx
3
)
= α ( x
1
y
2
− y
1
x
2
) + β ( x
1
y
3
− y
1
x
3
)
= α
x
1x
2
y
1y
2
+ β
x
1x
3
y
1y
3
Déterminants Définition
3. Soient :
~ u = x
1
e ~
1
+ y
1
~ e
2
, v ~ = x
2
e ~
1
+ y
2
~ e
2
et w ~ = x
3
e ~
1
+ y
3
e ~
2
∈ E , α et β ∈ R :
Det
B(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det
B( u, ~ v ~ ) + β Det
B( u, ~ w ~ ) , Det
B( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det
B( u, ~ w ~ ) + β Det
B( v, ~ w ~ );
x
1αx
2
+ βx
3
y
1αy
2
+ βy
3
= x
1
( αy
2
+ βy
3
) − y
1
( αx
2
+ βx
3
)
= α ( x
1
y
2
− y
1
x
2
) + β ( x
1
y
3
− y
1
x
3
)
= α
x
1x
2
y
1y
2
+ β
x
1x
3
y
1y
3
Déterminants Définition
4. Si B
0= ( e ~
01
, e ~
02
) est une autre base de E , alors :
Det
B( u, ~ v ~ ) = Det
B0( u, ~ v ~ ) Det
B( e ~
01
, e ~
02
)
~ u = x
01
e ~
01
+ y
01
e ~
02
et v ~ = x
02
e ~
01
+ y
02
e ~
02 DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)
= x0
1DetB(~e0
1, x0
2e~0
1+y0
2e~0
2) +y0
1DetB(~e0
2, x0
2e~0
1+y0
2e~0
2)
= x0
1y0
2DetB(~e0
1,e~0
2) +y0
1x0
2DetB(~e0
2,e~0
1)
= DetB0(~u,v~)DetB(e~0
1,e~0
2)
Déterminants Définition
4. Si B
0= ( e ~
01
, e ~
02
) est une autre base de E , alors : Det
B( u, ~ v ~ ) = Det
B0( u, ~ v ~ ) Det
B( e ~
01
, e ~
02
)
~ u = x
01
e ~
01
+ y
01
e ~
02
et v ~ = x
02
e ~
01
+ y
02
e ~
02 DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)
= x0
1DetB(~e0
1, x0
2e~0
1+y0
2e~0
2) +y0
1DetB(~e0
2, x0
2e~0
1+y0
2e~0
2)
= x0
1y0
2DetB(~e0
1,e~0
2) +y0
1x0
2DetB(~e0
2,e~0
1)
= DetB0(~u,v~)DetB(e~0
1,e~0
2)
Déterminants Définition
4. Si B
0= ( e ~
01
, e ~
02
) est une autre base de E , alors : Det
B( u, ~ v ~ ) = Det
B0( u, ~ v ~ ) Det
B( e ~
01
, e ~
02
)
~ u = x
01
e ~
01
+ y
01
~ e
02
et v ~ = x
02
e ~
01
+ y
02
e ~
02
DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)
= x0
1DetB(~e0
1, x0
2e~0
1+y0
2e~0
2) +y0
1DetB(~e0
2, x0
2e~0
1+y0
2e~0
2)
= x0
1y0
2DetB(~e0
1,e~0
2) +y0
1x0
2DetB(~e0
2,e~0
1)
= DetB0(~u,v~)DetB(e~0
1,e~0
2)
Déterminants Définition
4. Si B
0= ( e ~
01
, e ~
02
) est une autre base de E , alors : Det
B( u, ~ v ~ ) = Det
B0( u, ~ v ~ ) Det
B( e ~
01
, e ~
02
)
~ u = x
01
e ~
01
+ y
01
~ e
02
et v ~ = x
02
e ~
01
+ y
02
e ~
02 DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)
= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)
= x0
1y0
2DetB(~e0
1,e~0
2) +y0
1x0
2DetB(~e0
2,e~0
1)
= DetB0(~u,v~)DetB(~e0
1,e~0
2)
Déterminants Définition
4. Si B
0= ( e ~
01
, e ~
02
) est une autre base de E , alors : Det
B( u, ~ v ~ ) = Det
B0( u, ~ v ~ ) Det
B( e ~
01
, e ~
02
)
~ u = x
01
e ~
01
+ y
01
~ e
02
et v ~ = x
02
e ~
01
+ y
02
e ~
02
DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)
= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)
= x0
1y0
2DetB(~e0
1,e~0
2) +y0
1x0
2DetB(~e0
2,e~0
1)
= DetB0(~u,v~)DetB(~e0
1,e~0
2)
Déterminants Définition
4. Si B
0= ( e ~
01
, e ~
02
) est une autre base de E , alors : Det
B( u, ~ v ~ ) = Det
B0( u, ~ v ~ ) Det
B( e ~
01
, e ~
02
)
~ u = x
01
e ~
01
+ y
01
~ e
02
et v ~ = x
02
e ~
01
+ y
02
e ~
02
DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)
= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)
= x0
1y0
2DetB(~e0
1,e~0
2) +y0
1x0
2DetB(~e0
2,e~0
1)
= DetB0(~u,v~)DetB(~e0
1,e~0
2)
Déterminants Définition
4. Si B
0= ( e ~
01
, e ~
02
) est une autre base de E , alors : Det
B( u, ~ v ~ ) = Det
B0( u, ~ v ~ ) Det
B( e ~
01
, e ~
02
)
~ u = x
01
e ~
01
+ y
01
~ e
02
et v ~ = x
02
e ~
01
+ y
02
e ~
02
DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)
= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)
= x0
1y0
2DetB(~e0
1,e~0
2) +y0
1x0
2DetB(~e0
2,e~0
1)
= DetB0(~u,v~)DetB(~e0
1,e~0
2)
Déterminants Définition
Corollaire : Si B = { e ~
1
, e ~
2
} est une base de E : deux vecteurs, u ~ et ~ v sont colinéaires si, et seulement si :
Det
B( u, ~ v ~ ) = 0
Déterminants Définition
Soit B = {~ e
1
, e ~
2
, e ~
3
} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~
1
, u ~
2
et u ~
3
des vecteurs de E . Pour i ∈ {1 , 2 , 3}, on note ( x
i, y
i, z
i) des coordonnées de u ~
idans la base B .
On appelle déterminant de (~ u
1
, u ~
2
, u ~
3
) dans la base B le nombre réel :
DetB(~u
1,~u
2,u~
3) =
x1 x
2 x
3
y1 y2 y3 z1 z
2 z
3
= x
1y
2z
3+x
2y
3z
1+x
3y
1z
2−z
1y
2x
3−z
2y
3x
1−z
3y
1x
2
= x1
y2 y3 z2 z
3 −y1
x2 x3 z2 z
3
+z1
x2 x3 y2 y
3
Déterminants Définition
Soit B = {~ e
1
, e ~
2
, e ~
3
} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~
1
, u ~
2
et u ~
3
des vecteurs de E . Pour i ∈ {1 , 2 , 3}, on note ( x
i, y
i, z
i) des coordonnées de u ~
idans la base B . On appelle déterminant de (~ u
1
, u ~
2
, u ~
3
) dans la base B le nombre réel :
DetB(~u1,~u2,u~3) =
x1 x2 x3 y1 y
2 y z 3
1 z
2 z
3
= x
1y
2z
3+x
2y
3z
1+x
3y
1z
2−z
1y
2x
3−z
2y
3x
1−z
3y
1x
2
= x1
y2 y3 z2 z
3 −y1
x2 x3 z2 z
3
+z1
x2 x3 y2 y
3
Déterminants Définition
Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :
1. Soientu~etv~des vecteurs deE.
DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0
2. Soientu~,v~etw~ des vecteurs deE.
DetB(~u,~v,w~) =−DetB(~v,u,~ w~) =DetB(~v,w,~ u~)
3. Soientu~,v~,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ x~) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~). 4. SiB0= (~e0
1,e~0
2,e~0
3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,
DetB(u,~ v,~ w~) =DetB0(u,~ ~v,w~)DetB(~e01,e~02,e~3)
Déterminants Définition
Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :
1. Soientu~etv~des vecteurs deE.
DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0
2. Soientu~,~vetw~ des vecteurs deE.
DetB(~u,v,~ w~) =−DetB(~v,~u,w~) =DetB(~v,w,~ u~)
3. Soientu~,v~,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ x~) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~). 4. SiB0= (~e0
1,e~0
2,e~0
3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,
DetB(u,~ v,~ w~) =DetB0(u,~ ~v,w~)DetB(~e01,e~02,e~3)
Déterminants Définition
Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :
1. Soientu~etv~des vecteurs deE.
DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0
2. Soientu~,~vetw~ des vecteurs deE.
DetB(~u,v,~ w~) =−DetB(~v,~u,w~) =DetB(~v,w,~ u~)
3. Soientu~,~v,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ ~x) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~).
4. SiB0= (~e0
1,e~0
2,e~0
3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,
DetB(u,~ v,~ w~) =DetB0(u,~ ~v,w~)DetB(~e01,e~02,e~3)
Déterminants Définition
Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :
1. Soientu~etv~des vecteurs deE.
DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0
2. Soientu~,~vetw~ des vecteurs deE.
DetB(~u,v,~ w~) =−DetB(~v,~u,w~) =DetB(~v,w,~ u~)
3. Soientu~,~v,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ ~x) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~). 4. SiB0= (~e0
1,e~0
2,e~0
3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,
DetB(~u,v,~ w~) =DetB0(~u,v,~ w~)DetB(~e0
1,e~0
2,e~
3)
Déterminants Définition
Corollaire : Soit B = (~ e
1
, e ~
2
, e ~
3
) une base de E : trois vecteurs
~
u, ~ v, w ~ , sont coplanaires si, et seulement si :
Det
B(~ u, v, ~ w ~ ) = 0
Déterminants Définition
Soit B = {~ e
1
, e ~
2
, e ~
3
} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~
1
, u ~
2
et u ~
3
des vecteurs de E . Pour i ∈ {1 , 2 , 3}, on note ( x
i, y
i, z
i) des coordonnées de u ~
idans la base B . On appelle déterminant de (~ u
1
, u ~
2
, u ~
3
) dans la base B le nombre réel :
DetB(~u1,~u2,u~3) =
x1 x2 x3 y1 y
2 y z 3
1 z
2 z
3
= x
1y
2z
3+x
2y
3z
1+x
3y
1z
2−z
1y
2x
3−z
2y
3x
1−z
3y
1x
2
= x1
y2 y3 z2 z
3 −y1
x2 x3 z2 z
3
+z1
x2 x3 y2 y
3
Déterminants Définition
x1 x2 x3
x1 x2 x3 y1 y2 y3
z1 z2 z3
y1 y2 y3
+ +
−
−
−
z1 2y x3
x1 2z y3
y1 2x z3
x1 2y z3
y1 2z x3
Déterminants Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~
1
, e ~
2
, . . . , e ~
n}.
Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u
1
, u ~
2
, · · · , u ~
n}, On admet :
Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie :
1. ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n ) , ∀ v ~ ∈ E, ∀ α ∈ R
∗: φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , α. u ~
i+ ~ v , · · · , u ~
n) = αφ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , u ~
i, , · · · , u ~
n) + φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , v , ~ · · · , u ~
n) 2. Si pour i 6 = j , u ~
i= u ~
j, φ ( u ~
1
, · · · , u ~
i, · · · , u ~
j, · · · , u ~
n) = 0 3. φ ( e ~
1
, ~ e
2
, . . . , e ~
n) = 1
Le nombre φ (~ u
1
, u ~
2
, · · · , u ~
n) s’appelle le déterminant de la
famille F dans la base B . Noté : det
BF .
Déterminants Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~
1
, e ~
2
, . . . , e ~
n}.
Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u
1
, u ~
2
, · · · , u ~
n}, On admet :
Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie :
1. ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n ) , ∀ v ~ ∈ E, ∀ α ∈ R
∗: φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , α. u ~
i+ ~ v , · · · , u ~
n) = αφ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , u ~
i, , · · · , u ~
n) + φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , v , ~ · · · , u ~
n) 2. Si pour i 6 = j , u ~
i= u ~
j, φ ( u ~
1
, · · · , u ~
i, · · · , u ~
j, · · · , u ~
n) = 0 3. φ ( e ~
1
, ~ e
2
, . . . , e ~
n) = 1
Le nombre φ (~ u
1
, u ~
2
, · · · , u ~
n) s’appelle le déterminant de la
famille F dans la base B . Noté : det
BF .
Déterminants Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~
1
, e ~
2
, . . . , e ~
n}.
Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u
1
, u ~
2
, · · · , u ~
n}, On admet :
Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie :
1. ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n ) , ∀ v ~ ∈ E, ∀ α ∈ R
∗: φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , α. u ~
i+ v , ~ · · · , u ~
n) = αφ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , u ~
i, , · · · , u ~
n) + φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , v , ~ · · · , u ~
n) 2. Si pour i 6 = j , u ~
i= u ~
j, φ ( u ~
1
, · · · , u ~
i, · · · , u ~
j, · · · , u ~
n) = 0 3. φ ( e ~
1
, ~ e
2
, . . . , e ~
n) = 1 Le nombre φ (~ u
1
, u ~
2
, · · · , u ~
n) s’appelle le déterminant de la
famille F dans la base B . Noté : det
BF .
Déterminants Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~
1
, e ~
2
, . . . , e ~
n}.
Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u
1
, u ~
2
, · · · , u ~
n}, On admet :
Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie : 1. ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n ) , ∀ v ~ ∈ E, ∀ α ∈ R
∗:
φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , α. u ~
i+ v , ~ · · · , u ~
n) = αφ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , u ~
i, , · · · , u ~
n) + φ ( u ~
1
, u ~
2
, · · · , v , ~ · · · , u ~
n)
2. Si pour i 6 = j , u ~
i= u ~
j, φ ( u ~
1
, · · · , u ~
i, · · · , u ~
j, · · · , u ~
n) = 0 3. φ ( e ~
1
, ~ e
2
, . . . , e ~
n) = 1 Le nombre φ (~ u
1
, u ~
2