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Calcul de déterminants

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Calcul de déterminants

(2)

1

Déterminants Définition

Propriétés des déterminants

(3)

Déterminants Définition

Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = (~ e

1

, e ~

2

) une base de E .

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

et v ~ = x

2

~ e

1

+ y

2

e ~

2

deux vecteurs de E .

On appelle déterminant de ( u, ~ v ~ ) dans la base B le nombre réel :

Det

B

( u, ~ v ~ ) =

x

1

x

2

y

1

y

2

= x

1

y

2

y

1

x

2

(4)

Déterminants Définition

Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = (~ e

1

, e ~

2

) une base de E .

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

et v ~ = x

2

~ e

1

+ y

2

e ~

2

deux vecteurs de E .

On appelle déterminant de ( u, ~ v ~ ) dans la base B le nombre réel :

Det

B

( u, ~ v ~ ) =

x

1

x

2

y

1

y

2

= x

1

y

2

y

1

x

2

(5)

Déterminants Définition

Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = (~ e

1

, e ~

2

) une base de E .

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

et v ~ = x

2

~ e

1

+ y

2

e ~

2

deux vecteurs de E .

On appelle déterminant de ( u, ~ v ~ ) dans la base B le nombre réel :

Det

B

( u, ~ v ~ ) =

x

1

x

2

y

1

y

2

= x

1

y

2

y

1

x

2

(6)

Déterminants Définition

Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :

1. Pour tout vecteur u ~ = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

de E , Det

B

( u, ~ u ~ ) = 0

x

1

x

1

y

1

y

1

= x

1

y

1

y

1

x

1

= 0

(7)

Déterminants Définition

Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :

1. Pour tout vecteur u ~ = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

de E , Det

B

( u, ~ u ~ ) = 0

x

1

x

1

y

1

y

1

= x

1

y

1

y

1

x

1

= 0

(8)

Déterminants Définition

Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :

1. Pour tout vecteur u ~ = x

1

e ~

1

+ y

1

e ~

2

de E , Det

B

( u, ~ u ~ ) = 0

x

1

x

1

y

1

y

1

= x

1

y

1

y

1

x

1

= 0

(9)

Déterminants Définition

2. Pour tous vecteurs u ~ = x

1

e ~

1

+ y

1

~ e

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

~ e

2

de E , Det

B

( u, ~ v ~ ) = −Det

B

( v, ~ u ~ )

x

2

x

1

y

2

y

1

= x

2

y

1

y

2

x

1

=

x

1

x

2

y

1

y

2

(10)

Déterminants Définition

2. Pour tous vecteurs u ~ = x

1

e ~

1

+ y

1

~ e

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

~ e

2

de E , Det

B

( u, ~ v ~ ) = −Det

B

( v, ~ u ~ )

x

2

x

1

y

2

y

1

= x

2

y

1

y

2

x

1

=

x

1

x

2

y

1

y

2

(11)

Déterminants Définition

3. Soient :

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

~ e

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

~ e

2

et w ~ = x

3

e ~

1

+ y

3

e ~

2

E , α et β R :

Det

B

(~ u, α ~ v + β w ~ ) = α Det

B

( u, ~ v ~ ) + β Det

B

( u, ~ w ~ ) , Det

B

( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det

B

( u, ~ w ~ ) + β Det

B

( v, ~ w ~ );

x

1

αx

2

+ βx

3

y

1

αy

2

+ βy

3

= x

1

( αy

2

+ βy

3

) y

1

( αx

2

+ βx

3

)

= α ( x

1

y

2

y

1

x

2

) + β ( x

1

y

3

y

1

x

3

)

= α

x

1

x

2

y

1

y

2

+ β

x

1

x

3

y

1

y

3

(12)

Déterminants Définition

3. Soient :

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

~ e

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

~ e

2

et w ~ = x

3

e ~

1

+ y

3

e ~

2

E , α et β R :

Det

B

(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det

B

( u, ~ v ~ ) + β Det

B

( u, ~ w ~ ) , Det

B

( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det

B

( u, ~ w ~ ) + β Det

B

( v, ~ w ~ );

x

1

αx

2

+ βx

3

y

1

αy

2

+ βy

3

= x

1

( αy

2

+ βy

3

) y

1

( αx

2

+ βx

3

)

= α ( x

1

y

2

y

1

x

2

) + β ( x

1

y

3

y

1

x

3

)

= α

x

1

x

2

y

1

y

2

+ β

x

1

x

3

y

1

y

3

(13)

Déterminants Définition

3. Soient :

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

~ e

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

~ e

2

et w ~ = x

3

e ~

1

+ y

3

e ~

2

E , α et β R :

Det

B

(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det

B

( u, ~ v ~ ) + β Det

B

( u, ~ w ~ ) , Det

B

( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det

B

( u, ~ w ~ ) + β Det

B

( v, ~ w ~ );

x

1

αx

2

+ βx

3

y

1

αy

2

+ βy

3

= x

1

( αy

2

+ βy

3

) y

1

( αx

2

+ βx

3

)

= α ( x

1

y

2

y

1

x

2

) + β ( x

1

y

3

y

1

x

3

)

= α

x

1

x

2

y

1

y

2

+ β

x

1

x

3

y

1

y

3

(14)

Déterminants Définition

3. Soient :

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

~ e

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

~ e

2

et w ~ = x

3

e ~

1

+ y

3

e ~

2

E , α et β R :

Det

B

(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det

B

( u, ~ v ~ ) + β Det

B

( u, ~ w ~ ) , Det

B

( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det

B

( u, ~ w ~ ) + β Det

B

( v, ~ w ~ );

x

1

αx

2

+ βx

3

y

1

αy

2

+ βy

3

= x

1

( αy

2

+ βy

3

) y

1

( αx

2

+ βx

3

)

= α ( x

1

y

2

y

1

x

2

) + β ( x

1

y

3

y

1

x

3

)

= α

x

1

x

2

y

1

y

2

+ β

x

1

x

3

y

1

y

3

(15)

Déterminants Définition

3. Soient :

~ u = x

1

e ~

1

+ y

1

~ e

2

, v ~ = x

2

e ~

1

+ y

2

~ e

2

et w ~ = x

3

e ~

1

+ y

3

e ~

2

E , α et β R :

Det

B

(~ u, α v ~ + β w ~ ) = α Det

B

( u, ~ v ~ ) + β Det

B

( u, ~ w ~ ) , Det

B

( α u ~ + β v, ~ w ~ ) = α Det

B

( u, ~ w ~ ) + β Det

B

( v, ~ w ~ );

x

1

αx

2

+ βx

3

y

1

αy

2

+ βy

3

= x

1

( αy

2

+ βy

3

) y

1

( αx

2

+ βx

3

)

= α ( x

1

y

2

y

1

x

2

) + β ( x

1

y

3

y

1

x

3

)

= α

x

1

x

2

y

1

y

2

+ β

x

1

x

3

y

1

y

3

(16)

Déterminants Définition

4. Si B

0

= ( e ~

0

1

, e ~

0

2

) est une autre base de E , alors :

Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

B0

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

0

1

, e ~

0

2

)

~ u = x

0

1

e ~

0

1

+ y

0

1

e ~

0

2

et v ~ = x

0

2

e ~

0

1

+ y

0

2

e ~

0

2 DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)

= x0

1DetB(~e0

1, x0

2e~0

1+y0

2e~0

2) +y0

1DetB(~e0

2, x0

2e~0

1+y0

2e~0

2)

= x0

1y0

2DetB(~e0

1,e~0

2) +y0

1x0

2DetB(~e0

2,e~0

1)

= DetB0(~u,v~)DetB(e~0

1,e~0

2)

(17)

Déterminants Définition

4. Si B

0

= ( e ~

0

1

, e ~

0

2

) est une autre base de E , alors : Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

B0

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

0

1

, e ~

0

2

)

~ u = x

0

1

e ~

0

1

+ y

0

1

e ~

0

2

et v ~ = x

0

2

e ~

0

1

+ y

0

2

e ~

0

2 DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)

= x0

1DetB(~e0

1, x0

2e~0

1+y0

2e~0

2) +y0

1DetB(~e0

2, x0

2e~0

1+y0

2e~0

2)

= x0

1y0

2DetB(~e0

1,e~0

2) +y0

1x0

2DetB(~e0

2,e~0

1)

= DetB0(~u,v~)DetB(e~0

1,e~0

2)

(18)

Déterminants Définition

4. Si B

0

= ( e ~

0

1

, e ~

0

2

) est une autre base de E , alors : Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

B0

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

0

1

, e ~

0

2

)

~ u = x

0

1

e ~

0

1

+ y

0

1

~ e

0

2

et v ~ = x

0

2

e ~

0

1

+ y

0

2

e ~

0

2

DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)

= x0

1DetB(~e0

1, x0

2e~0

1+y0

2e~0

2) +y0

1DetB(~e0

2, x0

2e~0

1+y0

2e~0

2)

= x0

1y0

2DetB(~e0

1,e~0

2) +y0

1x0

2DetB(~e0

2,e~0

1)

= DetB0(~u,v~)DetB(e~0

1,e~0

2)

(19)

Déterminants Définition

4. Si B

0

= ( e ~

0

1

, e ~

0

2

) est une autre base de E , alors : Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

B0

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

0

1

, e ~

0

2

)

~ u = x

0

1

e ~

0

1

+ y

0

1

~ e

0

2

et v ~ = x

0

2

e ~

0

1

+ y

0

2

e ~

0

2 DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)

= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)

= x0

1y0

2DetB(~e0

1,e~0

2) +y0

1x0

2DetB(~e0

2,e~0

1)

= DetB0(~u,v~)DetB(~e0

1,e~0

2)

(20)

Déterminants Définition

4. Si B

0

= ( e ~

0

1

, e ~

0

2

) est une autre base de E , alors : Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

B0

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

0

1

, e ~

0

2

)

~ u = x

0

1

e ~

0

1

+ y

0

1

~ e

0

2

et v ~ = x

0

2

e ~

0

1

+ y

0

2

e ~

0

2

DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)

= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)

= x0

1y0

2DetB(~e0

1,e~0

2) +y0

1x0

2DetB(~e0

2,e~0

1)

= DetB0(~u,v~)DetB(~e0

1,e~0

2)

(21)

Déterminants Définition

4. Si B

0

= ( e ~

0

1

, e ~

0

2

) est une autre base de E , alors : Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

B0

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

0

1

, e ~

0

2

)

~ u = x

0

1

e ~

0

1

+ y

0

1

~ e

0

2

et v ~ = x

0

2

e ~

0

1

+ y

0

2

e ~

0

2

DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)

= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)

= x0

1y0

2DetB(~e0

1,e~0

2) +y0

1x0

2DetB(~e0

2,e~0

1)

= DetB0(~u,v~)DetB(~e0

1,e~0

2)

(22)

Déterminants Définition

4. Si B

0

= ( e ~

0

1

, e ~

0

2

) est une autre base de E , alors : Det

B

( u, ~ v ~ ) = Det

B0

( u, ~ v ~ ) Det

B

( e ~

0

1

, e ~

0

2

)

~ u = x

0

1

e ~

0

1

+ y

0

1

~ e

0

2

et v ~ = x

0

2

e ~

0

1

+ y

0

2

e ~

0

2

DetB(u,~ v~) = DetB(x01~e01+y01~e02, x02e~10+y02e~20)

= x01DetB(~e01, x02e~10+y02e~20) +y01DetB(~e02, x02e~01+y02e~02)

= x0

1y0

2DetB(~e0

1,e~0

2) +y0

1x0

2DetB(~e0

2,e~0

1)

= DetB0(~u,v~)DetB(~e0

1,e~0

2)

(23)

Déterminants Définition

Corollaire : Si B = { e ~

1

, e ~

2

} est une base de E : deux vecteurs, u ~ et ~ v sont colinéaires si, et seulement si :

Det

B

( u, ~ v ~ ) = 0

(24)

Déterminants Définition

Soit B = {~ e

1

, e ~

2

, e ~

3

} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~

1

, u ~

2

et u ~

3

des vecteurs de E . Pour i {1 , 2 , 3}, on note ( x

i

, y

i

, z

i

) des coordonnées de u ~

i

dans la base B .

On appelle déterminant de (~ u

1

, u ~

2

, u ~

3

) dans la base B le nombre réel :

DetB(~u

1,~u

2,u~

3) =

x1 x

2 x

3

y1 y2 y3 z1 z

2 z

3

= x

1y

2z

3+x

2y

3z

1+x

3y

1z

2z

1y

2x

3z

2y

3x

1z

3y

1x

2

= x1

y2 y3 z2 z

3 y1

x2 x3 z2 z

3

+z1

x2 x3 y2 y

3

(25)

Déterminants Définition

Soit B = {~ e

1

, e ~

2

, e ~

3

} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~

1

, u ~

2

et u ~

3

des vecteurs de E . Pour i {1 , 2 , 3}, on note ( x

i

, y

i

, z

i

) des coordonnées de u ~

i

dans la base B . On appelle déterminant de (~ u

1

, u ~

2

, u ~

3

) dans la base B le nombre réel :

DetB(~u1,~u2,u~3) =

x1 x2 x3 y1 y

2 y z 3

1 z

2 z

3

= x

1y

2z

3+x

2y

3z

1+x

3y

1z

2z

1y

2x

3z

2y

3x

1z

3y

1x

2

= x1

y2 y3 z2 z

3 y1

x2 x3 z2 z

3

+z1

x2 x3 y2 y

3

(26)

Déterminants Définition

Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :

1. Soientu~etv~des vecteurs deE.

DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0

2. Soientu~,v~etw~ des vecteurs deE.

DetB(~u,~v,w~) =−DetB(~v,u,~ w~) =DetB(~v,w,~ u~)

3. Soientu~,v~,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ x~) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~). 4. SiB0= (~e0

1,e~0

2,e~0

3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,

DetB(u,~ v,~ w~) =DetB0(u,~ ~v,w~)DetB(~e01,e~02,e~3)

(27)

Déterminants Définition

Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :

1. Soientu~etv~des vecteurs deE.

DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0

2. Soientu~,~vetw~ des vecteurs deE.

DetB(~u,v,~ w~) =−DetB(~v,~u,w~) =DetB(~v,w,~ u~)

3. Soientu~,v~,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ x~) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~). 4. SiB0= (~e0

1,e~0

2,e~0

3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,

DetB(u,~ v,~ w~) =DetB0(u,~ ~v,w~)DetB(~e01,e~02,e~3)

(28)

Déterminants Définition

Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :

1. Soientu~etv~des vecteurs deE.

DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0

2. Soientu~,~vetw~ des vecteurs deE.

DetB(~u,v,~ w~) =−DetB(~v,~u,w~) =DetB(~v,w,~ u~)

3. Soientu~,~v,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ ~x) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~).

4. SiB0= (~e0

1,e~0

2,e~0

3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,

DetB(u,~ v,~ w~) =DetB0(u,~ ~v,w~)DetB(~e01,e~02,e~3)

(29)

Déterminants Définition

Proposition : Une base étant choisie dans E , de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :

1. Soientu~etv~des vecteurs deE.

DetB(~u,u,~ v~) =DetB(~u,v,~ u~) =DetB(~u,v,~ v~) =0

2. Soientu~,~vetw~ des vecteurs deE.

DetB(~u,v,~ w~) =−DetB(~v,~u,w~) =DetB(~v,w,~ u~)

3. Soientu~,~v,w~ et~xdes vecteurs deE,αetβdes nombres réels : DetB(α~u+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ ~x) +βDetB(v,~ w,~ ~x) DetB(u, α~ ~v+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ ~v, αw~+βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~). 4. SiB0= (~e0

1,e~0

2,e~0

3)est une autre base deE, pour tout(~u,v,~ w~)de vecteurs deE,

DetB(~u,v,~ w~) =DetB0(~u,v,~ w~)DetB(~e0

1,e~0

2,e~

3)

(30)

Déterminants Définition

Corollaire : Soit B = (~ e

1

, e ~

2

, e ~

3

) une base de E : trois vecteurs

~

u, ~ v, w ~ , sont coplanaires si, et seulement si :

Det

B

(~ u, v, ~ w ~ ) = 0

(31)

Déterminants Définition

Soit B = {~ e

1

, e ~

2

, e ~

3

} une base de l’espace vectoriel E . Soient u ~

1

, u ~

2

et u ~

3

des vecteurs de E . Pour i {1 , 2 , 3}, on note ( x

i

, y

i

, z

i

) des coordonnées de u ~

i

dans la base B . On appelle déterminant de (~ u

1

, u ~

2

, u ~

3

) dans la base B le nombre réel :

DetB(~u1,~u2,u~3) =

x1 x2 x3 y1 y

2 y z 3

1 z

2 z

3

= x

1y

2z

3+x

2y

3z

1+x

3y

1z

2z

1y

2x

3z

2y

3x

1z

3y

1x

2

= x1

y2 y3 z2 z

3 y1

x2 x3 z2 z

3

+z1

x2 x3 y2 y

3

(32)

Déterminants Définition

x1 x2 x3

x1 x2 x3 y1 y2 y3

z1 z2 z3

y1 y2 y3

+ +

z1 2y x3

x1 2z y3

y1 2x z3

x1 2y z3

y1 2z x3

(33)

Déterminants Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~

1

, e ~

2

, . . . , e ~

n

}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

}, On admet :

Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie :

1. ∀ i ( 1 i n ) ,v ~ E,α R

: φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , α. u ~

i

+ ~ v , · · · , u ~

n

) = αφ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , u ~

i

, , · · · , u ~

n

) + φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , v , ~ · · · , u ~

n

) 2. Si pour i 6 = j , u ~

i

= u ~

j

, φ ( u ~

1

, · · · , u ~

i

, · · · , u ~

j

, · · · , u ~

n

) = 0 3. φ ( e ~

1

, ~ e

2

, . . . , e ~

n

) = 1

Le nombre φ (~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

) s’appelle le déterminant de la

famille F dans la base B . Noté : det

B

F .

(34)

Déterminants Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~

1

, e ~

2

, . . . , e ~

n

}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

}, On admet :

Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie :

1. ∀ i ( 1 i n ) ,v ~ E,α R

: φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , α. u ~

i

+ ~ v , · · · , u ~

n

) = αφ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , u ~

i

, , · · · , u ~

n

) + φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , v , ~ · · · , u ~

n

) 2. Si pour i 6 = j , u ~

i

= u ~

j

, φ ( u ~

1

, · · · , u ~

i

, · · · , u ~

j

, · · · , u ~

n

) = 0 3. φ ( e ~

1

, ~ e

2

, . . . , e ~

n

) = 1

Le nombre φ (~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

) s’appelle le déterminant de la

famille F dans la base B . Noté : det

B

F .

(35)

Déterminants Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~

1

, e ~

2

, . . . , e ~

n

}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

}, On admet :

Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie :

1. ∀ i ( 1 i n ) ,v ~ E,α R

: φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , α. u ~

i

+ v , ~ · · · , u ~

n

) = αφ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , u ~

i

, , · · · , u ~

n

) + φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , v , ~ · · · , u ~

n

) 2. Si pour i 6 = j , u ~

i

= u ~

j

, φ ( u ~

1

, · · · , u ~

i

, · · · , u ~

j

, · · · , u ~

n

) = 0 3. φ ( e ~

1

, ~ e

2

, . . . , e ~

n

) = 1 Le nombre φ (~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

) s’appelle le déterminant de la

famille F dans la base B . Noté : det

B

F .

(36)

Déterminants Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension n , muni d’une base B = { e ~

1

, e ~

2

, . . . , e ~

n

}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

}, On admet :

Théorème : Il existe une application φ E 7−→ R qui vérifie : 1. ∀ i ( 1 i n ) ,v ~ E,α R

:

φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , α. u ~

i

+ v , ~ · · · , u ~

n

) = αφ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , u ~

i

, , · · · , u ~

n

) + φ ( u ~

1

, u ~

2

, · · · , v , ~ · · · , u ~

n

)

2. Si pour i 6 = j , u ~

i

= u ~

j

, φ ( u ~

1

, · · · , u ~

i

, · · · , u ~

j

, · · · , u ~

n

) = 0 3. φ ( e ~

1

, ~ e

2

, . . . , e ~

n

) = 1 Le nombre φ (~ u

1

, u ~

2

, · · · , u ~

n

) s’appelle le déterminant de la

famille F dans la base B . Noté : det

B

F .

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