Calcul d'un déterminant

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B ULLETIN DE LA S. M. F.

H. L EMONNIER

Calcul d’un déterminant

Bulletin de la S. M. F., tome 7 (1879), p. 175-177

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Calcul d'un déterminant; par M. H. LEMONNIER.

(Séance du 25 juillet 18-79.)

Soit à calculer le déterminant

I i 2 8 ... n — \ 2 3 4 . . .

N = =

n — i n \ . . . n — 3 n — l n î 2 . . . w — 2 w — i

Si Pon remplace chaque terme de la dernière colonne par la somme des termes de la ligne dont il fait partie, il vient

N==^{n [n -+- î}

î 2 3 . . . n — î î 2 3 4 • • • n l

fi — î n î . . . n — 3 l n î 2 . . . n — 2 l

ou, en retranchant successivement chaque colonne de la suivante jusqu^à Favant-dernière,

^ / î ( / 2 4 - l ) 2

I 2

3

n — î n

î î î

î l — n

l î î

l — n l

. . .

• . •

. . . . ..

l l T — n

\ l

î î l

î l

Faisant la même opération pour les lignes,

N : ^n[n-\-\}

2

1 1 1 0 l 0 1 0

1 0 1 — — H

\ . . . . .

0 . . . . . 0 . . . . .

o . — n

— n n . . . . n Q . . . .

î î

0 0

— n o n o

0 0 U 0

(3)

_ 7 1 ( ^ - 4 - 1 )

(-1)"

- 17(

0 0 0

0

— n 5 -

0 0 0

— n n

.

•

n ....

....

— n

• • • • 0

— n n

0 0

—^ n n 0

0

ft{n—t)

n\n—ïf i » / \ i—-n[n-\-\\

===(—l) * —î————^-t.

Soit à calculer de même

| p-\-\ p^-ï ... p -+-/1 /?-+-2 /?-4--3 ... p-\-\

N^=

( p -h n p •+-1 ... p-{-n—ï

Les mêmes opérations donnent

\np-

r "("+')i »/» + -j—' '

»«(»-n)-j

2 J

7»(/»-H)-j 2 J

n ( n — l ) p -l) * \n

^ J

P^-

p 4- n P^

p-hl l l l l 1 ÎP-+- -n[¹

P+î /?4-2 ... p-^n—\ ï p 4- 2 /?4- 3 ... p-^n ï

p-+-n / ? + i ... / ? 4 - / 2 — 2 ï -1 ï l ... l ï - 2 I I . . . I 1

l n r

—— 1 1 1 —— /2 . . . 1 I - n ï — /? ï ... ï ï ï ï l . . . ï ï 0 0 0 . . . . . . 0 0 o o o ... ... — n o

o — n n ... ... o o

— ft n o ... ... o o

^k-

(4)

- 177 - On déduit de là

P-^-q p-\-iq . . . p 4- nq

P-^^ P^ • • • P - ^ ^ ^ ( ^f^^^P .1 ^ ( ^ - ^

n(n -1)

71 I /I — 1 ) r- / \-»

=(-,)——,.[.^"(^.)].

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