Une démonstration du calcul du déterminant en blocs

Statistique et analyse des données

J ^ACQUES V ^AILLÉ

P ^HILIPPE P ^ILIBOSSIAN

Une démonstration du calcul du déterminant en blocs

Statistique et analyse des données, tome 12, n

1-2 (1987), p. 149-153

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Statistique e t Analyse des Données 1987 - Vol.12 n° 1 et 2 - pp. 149-153

UNE DEMONSTRATION DU CALCUL DU DÉTERMINANT EN BLOCS

Jacques VAILLE et Philippe PILIBOSSIAN

L.S.T.A. - Université Paris VI 4 , place Jussieu

75252 PARIS CEDEX 05

Résumé : Nous donnons dans ce papier une démonstration simple d'une identité démontrée par G. DER mGREDITCHIAN qui permet de calculer le déterminant d'une grande matrice à l'aide de déterminants d'ordre inférieur.

Abstract : We give in this paper a simple prove of a identity proved by G. DEH MECHEV1TCH1AN who permùts to calculatc a déterminant of a large matrice using louer order déterminants.

Mots c l e f s : calcul de déterminants

Indices de c l a s s i f i c a t i o n : AMS 15 A 15 ; 62 J 99 ; STMA 00; 050 (07 : 000) ; B u l l . Sign. A 03 D, G 03 D.

Pour s i m p l i f i e r les calculs dans certains problèmes en s t a t i s t i q u e mathématique (Sélection ascendante et descendante des p r é d i c t e u r s , Etude des corrélations p a r t i e l l e s , Analyse de régression l i n é a i r e m u l t i p l e , Calcul de l ' a u t o - c o r r é l a t i o n p a r t i e l l e dans les séries chronologiques s t a - tionnai r e s . . . ) , 6. DER MEGREDITCHIAN [ 1 ] démontre une i d e n t i t é qui permet de calculer un déterminant à p a r t i r de cinq déterminants d'ordre i n f é r i e u r . Manuscrit reçu l e 7 . 1 . 8 7 , rëvisële 4.12.87

.150.

Soit M une matrice carrée d'ordre n+2

" A X Y^

M = C a b , où D' c d

A est une matrice régulière d'ordre n ; X, Y, C et D des vecteurs de IR , C et D' étant les transposées de C et D ; a, b, c et d des réels.

Notons det M ou |M| le déterminant de la matrice M Alors on a l'identité de DER MEGREDITCHIAN [1] :

det M

A X Y C a b D* c d

1

w

A X C a A X D" c

A Y C b A Y D' d

n A'h A-h

Si l'on multiplie à droite la matrice M par la matrice

0 1 0 0 0 1

I étant la matrice unité d'ordre n , on obtient A X Y

C a b D' c d

- A~h

1 0

A ^ Y 0 1

A

C a-C A ^ X b-C A XY c-D' A'-'X d-D* A AY

.151.

Calculons leurs déterminants :

det

A X Y C1 a b D' c d

x 1 = det C a - C A- 1X b-C A^Y D' c-D' A- 1X d-D' A-1Y

Cette dernière matrice est quasi-triangulaire et son déterminant est [21

det A x det

a-C A" "4 b-C A " V

c-D' A ^ X d-D' A ^ Y

Or, d'après l a règle du calcul des déterminants d'une matrice en blocs [ 2 ] , on a :

det

A X C a

det A x d e t ( a - C A_1X) = det A x ( a - C A ^ X )

On a donc

a

"

'

'

= iàn

A X

C a

e t les r e l a t i o n s correspondantes pour les t r o i s autres termes.

Donc e n f i n

det M = det A x

w 1

w 1

A X C a A X D' c

w 1

w 1

A Y C b A Y D' d

. 1 5 2 .

= I Al

A X C a

A X D' c

A X C b

A Y D' d

Signalons que ce r é s u l t a t , avec l a même démonstration, peut ê t r e géné- r a l i s e r à des matrices d'ordre supérieur :

det

M À-i Art À Q

C

i

l

2

3

C' b l b2 b3

C

3

l

2

3

1 BëTA

A X

C^ a

A X

C£ b

A X C' c

A X0

C

i

2

A X0

C2 b2 A X„

C3 c2

A X,

C

î

3

A X,

C2 b3 A X,

1

3

3

.153.

où A est la même matrice, les X. et C. (i = 1,2,3, ...) sont des vecteurs de Kn , les a. , bi et ci (i = 1, 2, 3 ,...) des réels.

Bibliographie

[ 1 ] DER MEGREDITCHIAN G. - Une identité algébrique intéressante pour la statistique mathématique, la Météorologie, 1983, vol. 6, n° 32, pp. 5-14.

[2 ] PILIBOSSIAN P. - Théorie et pratique de la régression, cours de D.E.A., 1985, Chap. 2, pp. 3-7.