Calcul de déterminants

Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 1/20

1 Déterminants Définition

Propriétés des déterminants

Déterminant d’une matrice carrée Calcul des déterminants

Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = (e~

1,e~

2) une base de E.

~ u= x

1e~

1 +y

1e~

2 et v~ = x

2e~

1 +y

2e~

2

deux vecteurs de E.

On appelle déterminant de (u,~ v~) dans la base B le nombre réel :

DetB(u,~ v~) =

x1 x

2

y1 y

2

= x

1y

2 −y

1x

2

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Déterminants Définition

Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes :

1. Pour tout vecteur u~ = x

1e~

1 +y

1e~

2 de E, DetB(u,~ u~) = 0

x1 x

1

y1 y

1

= x

1y

1 −y

1x

1 = 0

2. Pour tous vecteurs u~ = x

1e~

1+y

1e~

2, v~ = x

2e~

1+y

2e~

2 de E, DetB(u,~ v~) = −DetB(v,~ u~)

x2 x

1

y2 y

1

= x

2y

1−y

2x

1 = −

x1 x

2

y1 y

2

Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 5/20

Déterminants Définition

3. Soient :

~ u = x

1e~

1+y

1e~

2, v~ = x

2e~

1+y

2e~

2 et w~ = x

3e~

1 +y

3e~

2 ∈ E, α et β ∈ R :

DetB(u, α~ v~ +βw~) = αDetB(u,~ v~) +βDetB(u,~ w~), DetB(αu~ +βv,~ w~) = αDetB(u,~ w~) +βDetB(v,~ w~);

x1 αx

2 +βx

3

y1 αy

2 +βy

3

= x

1(αy

2 +βy

3)−y

1(αx

2 +βx

3)

= α(x

1y

2 −y

1x

2) +β(x

1y

3 −y

1x

3)

= α

x1 x

2

y1 y

2

+β

x1 x

3

y1 y

3

4. Si B⁰ = (e~⁰

1,e~⁰

2) est une autre base de E, alors : DetB(u,~ v~) = Det_B⁰(u,~ v~)DetB(e~⁰

1,e~⁰

2)

~

u = x⁰

1e~⁰

1+y⁰

1e~⁰

2 et v~ = x⁰

2e~⁰

1+y⁰

2e~⁰

2 DetB(u,~ v~) = DetB(x⁰

1e~⁰

1+y⁰

1e~⁰

2,x⁰

2e~⁰

1+y⁰

2e~⁰

2)

= x⁰

1DetB(e~⁰

1,x⁰

2e~⁰

1+y⁰

2e~⁰

2) +y⁰

1DetB(e~⁰

2,x⁰

2e~⁰

1+y⁰

2e~⁰

2)

= x⁰

1y⁰

2DetB(e~⁰

1,e~⁰

2) +y⁰

1x⁰

2DetB(e~⁰

2,e~⁰

1)

= Det_B⁰(u,~ v~)DetB(e~⁰

1,e~⁰

2)

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Déterminants Définition

Corollaire : Si B = {~e

1, e~

2} est une base de E : deux vecteurs, u~ et v~ sont colinéaires si, et seulement si :

DetB(u,~ v~) = 0

Soit B = {e~

1, e~

2, e~

3} une base de l’espace vectoriel E. Soient u~

1, u~

2 et u~

3 des vecteurs de E. Pour i ∈ {1,2,3}, on note (x_i,y_i,z_i) des coordonnées de u~_i dans la base B.

On appelle déterminant de (u~

1,u~

2,u~

3) dans la base B le nombre réel :

DetB(u~

1,u~

2,u~

3) =

x1 x

2 x

3

y1 y

2 y

3

z1 z

2 z

3

= x

1y

2z

3+x

2y

3z

1+x

3y

1z

2−z

1y

2x

3−z

2y

3x

1−z

3y

1x

2

= x

1

y2 y z 3

2 z

3

−y

1

x2 x z 3

2 z

3

+z

1

x2 x y 3

2 y

3

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Déterminants Définition

Proposition : Une base étant choisie dans E, de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie :

1. Soient u~ et v~ des vecteurs de E.

DetB(u,~ u,~ v~) =DetB(u,~ ~v,u~) =DetB(u,~ v,~ v~) =0

2. Soient u~, v~ et w~ des vecteurs de E.

DetB(u,~ ~v,w~) =−DetB(v,~ u,~ w~) =DetB(v,~ w,~ u~)

3. Soient u~, v~, w~ etx~ des vecteurs de E, α et β des nombres réels : DetB(αu~+βv,~ w,~ x~) = αDetB(u,~ w,~ x~) +βDetB(v,~ w,~ x~) DetB(u, α~ v~+βw,~ x~) = αDetB(u,~ v,~ x~) +βDetB(u,~ w,~ x~) DetB(u,~ v, α~ w~ +βx~) = αDetB(u,~ v,~ w~) +βDetB(u,~ v,~ x~).

4. Si B⁰ = (e~⁰

1,e~⁰

2,e~⁰

3) est une autre base deE, pour tout (u,~ v,~ w~)de vecteurs de E,

DetB(u,~ v,~ w~) =Det_B⁰(u,~ v,~ w~)DetB(e~⁰

1,e~⁰

2,e~

3)

Corollaire : Soit B = (e~

1,e~

2,e~

3) une base de E : trois vecteurs

~

u,v,~ w~, sont coplanaires si, et seulement si : DetB(u,~ v,~ w~) = 0

Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 11/20

Déterminants Définition

Soit B = {e~

1, e~

2, e~

3} une base de l’espace vectoriel E. Soient u~

1, u~

2 et u~

3 des vecteurs de E. Pour i ∈ {1,2,3}, on note (x_i,y_i,z_i) des coordonnées de u~_i dans la base B.

On appelle déterminant de (u~

1,u~

2,u~

3) dans la base B le nombre réel :

DetB(u~

1,u~

2,u~

3) =

x1 x

2 x y 3

1 y

2 y

3

z1 z

2 z

3

= x

1y

2z

3+x

2y

3z

1+x

3y

1z

2−z

1y

2x

3−z

2y

3x

1−z

3y

1x

2

= x

1

y2 y

3

z2 z

3

−y

1

x2 x

3

z2 z

3

+z

1

x2 x

3

y2 y

3

x₁ x₂ x₃

x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃

z₁ z₂ z₃

y y y

1 2 3

+ + +

−

−

−

z_{1 2}y x₃

x_{1 2}z y₃

y_{1 2}x z₃

x_{1 2}y z₃

y1 2z x

3

z_{1 2}x y₃

Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 13/20

Déterminants Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d’une base B = {~e

1,e~

2, . . . ,e~_n}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~u

1,u~

2,· · · ,u~_n}, On admet :

Théorème : Il existe une application φE 7−→ R qui vérifie : 1. ∀i (1 ≤ i ≤n), ∀~v ∈ E, ∀α ∈ R^∗ :

φ(u~

1,u~

2,· · · , α.u~_i+v~,· · · ,u~_n) = αφ(u~

1,u~

2,· · · ,u~_i, ,· · · ,u~_n) + φ(u~

1,u~

2,· · · ,v~,· · · ,u~_n) 2. Si pour i 6= j, u~_i = u~_j, φ(u~

1,· · · ,u~_i,· · · ,u~_j,· · · ,u~_n) = 0 3. φ(e~

1,e~

2, . . . ,e~_n) = 1 Le nombre φ(u~

1,u~

2,· · · ,u~_n) s’appelle le déterminant de la famille F dans la base B. Noté : detBF.

Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d’une base B = {~e

1,e~

2, . . . ,e~_n}.

Soit une famille de n vecteurs de E : F = {~u

1,u~

2,· · · ,u~_n},

1. Si on permute 2 vecteurs de la famille, le déterminant est multiplié par −1.

2. Si on multiplie un vecteur par α, le déterminant est multiplié par α.

3. Si la famille F est liée, detBF = 0

Si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres, le déterminant est inchangé.

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Déterminants Déterminant d’une matrice carrée

Soit M ∈ M_n(R⁾.

On appelle déterminant de la matrice M, le déterminant des vecteurs colonnes de la matrice M, dans la base canonique de Rⁿ.

Notation : det(M) Si M = ^€a_ij^Š_1≤i≤n

1≤j≤n :

det(M) =

a11 a

12 · · · a

1j · · · a

1n

a21 a

22 · · · a

2j · · · a

2n

... ... ... ... ... ... a_i

1 a_i

2 · · · a_ij · · · a_in

... ... ... ... ... ... a_n

1 a_n

2 · · · a_nj · · · a_nn

Soit M et M⁰ deux matrices de Mn et I_n la matrice identité.

É det(I_n) = 1

É M est inversible si et seulement si det(M) 6= 0

É det(MM⁰) = det(M)det(M⁰)

É Si M est inversible : det(M⁻¹) = 1 det(M)

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Déterminants Calcul des déterminants

Pour une matrice M ∈ M_n où n > 2 on a le théorème suivant : Théorème : Pour tout déterminant D = a_ij1≤i≤n

1≤j≤n, on a :

∀j,(1 ≤ j≤ n), D =

n

X

i=1

(−1)^i+ja_ij∆ij

Où ∆ij est le déterminant obtenu en supprimant de D la i-ième ligne et la j-ième colonne.

1 2 1 3

2 −1 0 −2

−1 1 −1 1

0 1 0 0

C2   C

2 −2C

1

C3  C

3 −C

1

C4   C

4 −3C

1

1 0 0 0

2 −5 −2 −8

−1 3 0 4

0 1 0 2

Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 19/20

Déterminants Calcul des déterminants

−5 −2 −8

3 0 4

1 0 2

(−1)¹⁺²(−2)

3 4 1 2

= 4