um) est appelé le déterminant de Gram de la famille(u1

Problème : Déterminant de Gram et applications

Dans ce problème,E désigne un espace préhilbertien dont le produit scalaire est noté(· | ·).

Partie N^o1 : Déterminant de Gram

Pour u₁,· · ·, u_m m vecteurs de E, on note Gram(u₁,· · ·, u_m) la matrice carrée d’ordre m dont le coefficient d’indice (i, j) est (u_i |u_j) etG(u₁,· · ·, u_m) le déterminant de celle-ci.

G(u1,· · · , um) est appelé le déterminant de Gram de la famille(u1,· · · , um).

1. Soientu etv deux vecteurs deE.

(a) CalculerG(u, v).

(b) Montrer que G(u, v)>0 avec égalité si, et seulement si, uetv sont colinéaires.

2. Soientu₁,· · ·, u_m m vecteurs deE.

(a) On suppose la famille (u1,· · ·, um) liée. Montrer queG(u1,· · ·, um) = 0.

(b) On suppose la famille(u₁,· · ·, u_m)libre. On introduitB= (e₁,· · · , e_m)une base orthonor- mée deF = Vect(u1,· · · , um).

i. PourquoiBexiste et contientm vecteurs ?

ii. On noteA= (a_i,j)la matrice de la famille de vecteurs (u₁,· · · , u_m) dans la baseB.

Soient16i, j6m. Exprimer(ui|uj) à l’aide des coefficients de la matricesA.

iii. En déduire queGram(u₁,· · · , u_m) =^tAApuis que G(u₁,· · ·, u_m)>0.

3. SoitF un sous-espace vectoriel deE de dimension p.

Soit(e1,· · ·, ep) une base de F. (a) Rappeler pourquoiE =F ⊕F^⊥.

(b) Soit x∈E. On écritx=xF +n avecxF ∈F etn∈F^⊥. Montrer que d(x, F) =||n||.

(c) Établir que

d(x, F) = s

G(e₁,· · ·, e_p, x) G(e1,· · ·, ep) . Partie N^o2 : Calcul d’une distance

Dans cette partie, ndésigne un entier naturel non nul et on suppose que E=R[X].

Pour tous polynômesP etQde E, on pose ϕ(P, Q) =

Z 1 0

Pe(t)×Q(t)e dt.

1. Vérifier queϕ est un produit scalaire surE.

On notera désormais(· | ·) au lieu deϕ.

L’objectif de cette partie est de prouver l’existence et de calculer un= inf

a0,···,an−1∈R

Z 1 0

(tⁿ−(an−1tⁿ⁻¹+· · ·+a1t+a0))² dt.

2. Calculeru1.

3. Interpréteru_n à l’aide de la distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de E à préciser.

4. Calculer les déterminants

1 1

1 1 2 2

1 3

et

1 1

1 2

1 1 3 2

1 3

1 1 4 3

1 4

1 5

et en déduire la valeur de u2.

1

5. Dans cette question, on calculeun.

(a) Soient p un entier naturel non nul et a1,· · ·, ap, b1,· · · , bp des réels tels que pour tout 16i, j6p,a_i+b_j 6= 0 et pour tous16i6=j6p,b_i6=b_j.

Le but de cette question est de calculer le déterminant de la matrice

1 ai+bj

16i,j6p

=













1 a1+b1

1

a1+b2 · · · _a ¹

1+bp

1 a2+b1

1

a2+b2 · · · _a ¹

2+bp

... ... . .. ...

1 ap+b1

1

ap+b2 · · · _a ¹

p+bp













∈ M_p(R).

Ce déterminant sera noté C_p(a₁,· · · , a_p, b₁,· · ·, b_p).

i. Réaliser la décomposition en éléments simples deF(X) = ^(X−a_(X+b^{1)×···×(X−ap−1)}

1)×···×(X+bp) . ii. On noteDle déterminant égal à

D=

1

a1+b1 · · · _a ¹

1+bp−1 Fe(a1)

1

a2+b1 · · · _a ¹

2+bp−1 Fe(a2) ... ... . .. ...

1

ap+b1 · · · _a ¹

p+bp−1 Fe(a_p) [p]

.

En calculant de deux façonsD, montrer que

F(ae _p)Cp−1(a₁,· · · , ap−1, b₁,· · ·, bp−1) =

n

Q

i=1

(a_i+b_p)

n

Q

i=1

(bp−bi)

×C_p(a₁,· · ·, a_p, b₁,· · · , b_p).

iii. En déduire que

Cp(a1,· · ·, ap, b1,· · · , bp) = Q

16i<j6p

(aj−ai)× Q

16i<j6p

(bj−bi) Q

16i,j6p

(a_i+b_j) .

(b) Soit p∈N^?. Calculer

∆p =

1 1

1

2 · · · ¹_p

1 2

1

3 · · · _p+1¹ ... ... . .. ...

1 p

1

p+1 · · · _2p−1¹ [p]

.

(c) En déduire la valeur de u_n.

6. Montrer que(u_n)converge et calculer sa limite.

Partie N^o3 : Familles obtusangles

E est désigne désormais un espace euclidien quelconque de dimension nnon nulle.

On noteS ={x∈E /||x||= 1} l’ensemble des vecteurs unitaires deE.

1. Soientu₀,· · ·, u_m m+ 1vecteurs de S deux à deux distincts.

Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

— i) Pour tous06i6=j6m, les distances||u_i−uj||sont deux à deux égales.

2

— ii) Pour tous06i6=j 6m, les produits scalaires (ui|uj) sont deux à deux égaux.

On suppose dans toute la suite du problème que la famille (u₀,· · · , u_m) vérifie les conditions précédentes.

2. On noteλla valeur commune des produits scalaires (u_i |u_j).

Montrer que−16λ <1et queG(u0,· · · , um) = (1 +mλ)(1−λ)^m.

3. Montrer que si la famille (u0,· · ·, um) est libre alorsm < n et−_m¹ < λ <1.

4. Dans cette question, on suppose que la famille(u0,· · · , um)est liée.

On dira, dans ce cas, que la famille vérifie la propriétéP_m. (a) Montrer que λ=−_m¹.

(b) Montrer que la famille (u0,· · ·, um) est de rangm.

Il en résulte que m6n(Pourquoi ?).

(c) Prouver que

m

X

k=0

uk = 0.

Indication : On partira d’une combinaison linéaire nulle.

5. Dans cette question, on voit comment créer une famille (u₀,· · · , u_n)vérifiant la propriété P_n. Pour cela, on démontre par récurrence finie que

∀16m6n, ∃(u₀,· · ·, u_m)vérifiant P_m. (a) Initialiser la propriété.

(b) Soit 26m6n.

On suppose qu’on a construit une famille(u₀,· · · , um−1) ayant la propriétéP_m−1. Soit F le sous-espace deE engendré par u0,· · ·, um−1. On sait quedim(F) =m−1.

Soit vm un vecteur unitaire orthogonal àF. Pourquoi v_m existe ?

(c) Pour 06k6m−1, on pose vk =−_m¹vm+ q

1−_m¹2uk. Montrer que la famille (v₀,· · ·, v_m) possède la propriétéP_m. (d) Conclure.

* * * FIN DU SUJET * * *

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