ÉCS2 Colles 16 & 17 30/2/17 au 12/2/17
Algèbre bilinéaire.
On se place dans un espace euclidien.
+ Endomorphismes et matrices symétriques
• Leurs valeurs propres sont réelles, leurs sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
• Ils sont diagonalisables et on peut choisir une base propre orthonormale.
Version matricielle : on peut choisir une matrice de passage orthogonale.
+ Projection orthogonale Caractérisations :
• v= PF(u)⇔
(v∈F
v−u∈F⊥ .
• Si C= (u1;. . .;uk)est une base orthonormée deF, alors :
∀x∈E, pF(x) =
k
X
i=1
hx, uiiui.
• Version matricielle : Si(U1;. . .; Uk)sont les vecteurs colonnes représentant les vecteurs de la BON C= (u1;. . .;uk) deF dans une BONB deE, alors : MB(pF) =
k
X
i=1
UitUi.
• Sipest un projecteur, alorspest un projecteur orthogonal si et seulement si c’est un endomorphisme symétrique.
• Matriciellement : SoitB BON deEetp∈L(E). SoitM =MB(p).
pprojecteur orthogonal si, et seulement si, M2= M et tM = M.
+ Minimisation en norme
Caractérisation par minimisation de la norme : v=pF(x)⇔ ||v−x||= min
u∈F||u−x||.
Énoncé du problème des moindres carrés :
minimisation de ||AX−B||2 avec A ∈ Mn,p(R) de rang p, B∈ Mn,1(R) et X∈ Mp,1(R).
Note aux colleurs
Questions de cours: uniquement sur ce programme (points 69 à 78).
Dans l’esprit du programme, pour les projections, nous avons systématiquement utilisé les formules donnant le projeté ou la matrice de projection à partir d’une BON deF. Nous n’avons pas cherché à traduirev=pF(u)par un système.
En ce qui concerne le problème des moindres carrés, seul l’énoncé demeure. Il n’y a plus la résolution et la formule donnant explicitemntX. On procède par projection.
