Calcul d'un déterminant

(1)

N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

H. L EMONNIER Calcul d’un déterminant

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 18 (1879), p. 518-524

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1879_2_18__518_1>

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

CALCUL D'UN DETERMINANT:

PAR M. H. LEMONNIER.

Calcul du déterminant

I 2 2

n — i n n i

n — i n . . . n — 3 n — 2 n 1 . . . n — •?. n — 1

Premier

"

7~ZZ

n

1 1 1 i

f Ï

i 1 1

1

T f

0

3

— n

procède :

1

1 0 0 0

0

— n

1 0 0 0

0

— n

1 1 1

1

r — n

1 0 0 0

— n n

0 0 0 0

— n in

1 — n

1 . .

n

0 . . .

as — n

— // 0

1

1 0 0

- n

1 ï

r

I - n

ï 0

— n n

0 0

— n 1 — n

1

j j 1

— n /( 0

0 0 0 0 0 — n

— n on in — n

. . . . 0 0

(3)

( 5io, )

O

o o o

o — n

— n in

o — n in — n

— n in — n i o i o i o

o —n

— n 2/2

— n m — n

i — n i n

i in — n O O

l'ordre des déterminants s'abaissant d'une unité.

Le premier de ces derniers déterminants est

Le second est

ï o ï o i o

o — ï

* O

— 1 2 — i

I I 1 I I ? I O

O

o

O

o i o

i o i o

o o

.. ~-i 3 I 2 O

» — I I

— I 2 — I 2 — I O

O I O 1

. . . — i 3

I 2 O 2 I I

— I ü J

— I 2

l'ordre devenant // — 2.

(4)

o o o o o o o o

O — I '1 — I

— I 2 — I O 2 — I O

„ « - 2

O O

o o

— I 2 — I 2 — 1 O

1 ordre devenant n — 3.

o o o

— I 2 — 1 2 — I O

déterminant d'ordre n — 4-

o o o o o o

— I O 2 G . . . . — I 2 — 1 — 2

— 1 2 — i O I

O O

- i 6

2 — 2

— I I O I

1O !

O I ( _ l

— I 2 — 2 — I O

— I 2

I

O O

O

o

i 5

- 9

i

i i

d'ordre ^ — 5.

I O

// n — r '\ — I )"

(5)

( 521 )

(~i) * ;

par consequent,

« f 71 - I )

• = / ! — ( - 1)

.. « > -f- : ^{n( n~ i )}

(-0 '

II se présente là deux suites de nombres qui sont

O, ï , 2 . 1 + 1 = 3 , 2 . 3 + 0 = 6 ,

2 . 6 — 2 = 1 o, 2 . i o — 5 = 1 5 , 2 . 1 5 — 9 = 2 1 , . . . ; ( — 1 ) 1 + 1 = 0 , ( - 1 ) 3 + 1 = - 2 , ( — 1 ) 6 + 1 = - 5 ,

(— 1) 10 + 1 = — 9 , (— 1) i 5 + 1 = — i 4 , . . . ;

ceux de la première et de la deuxième ligne ont pour expression générale pour n=i, 2, 3, . . .;

ceux de la troisième et de la quatrième ligne • ? et l'on a bien

n ( n — 1 ] n[n — 3 ) ( n + 1:n

2 2

f /? + i ) ( n — 2 )

Deuxième procédé plus simple :

i 2 3 . . . n — r i 3 . . . . n i N =n i n + r

/? — 1 n . . . . // — 3 1 n 1 . . . . n — 2 1

(6)

n[n -4- i)

2

_ "\

/2 f « + I )

d oi di e n —

n i — n i i i

i o i o

I O . .

! o —ii rt i — n n — n

T o o o o o

o o . . .

o o — i 2 — i o — i 1 — i o

o o o o

o — i > — i - 1 2 — 1 O

o o o o o o

— 2 , irt—1

1 1

I

o

— n n 7i

o

0 I I I

o o o o o

n' ~2 — I

O I >

— ï •> — 1

— I I 2

#

O

—

I

— 2

— I

I

I O O

o

0

o o

I

o

0

o o o

o o

(1 ordic n —

(7)

J 2 3

n n-\-\

n n-\-\\

/!«—2 . ] Vi—1+11-2+ H 2 o

— 1

« « ( - ,

— I 2

On trouve de même que

-\- i

p -\- n — i

p -{- n p •+- n —

y? 4 -

p -f- n

/' +

^ H- i i i i

i i

— i n

i o o

°

o ji

i i - i - / *

•—n n n o

i i

i o

— n n

i o o

0

o o

i o o o

o o o o

o o

— « o

n >/i o /z — /2 o

o — // > n -

(8)

n '• n -f- i

d'ordre // — i.

o o

— I O

— I 2 0 I 2 — I

n ( « — i )

Le determinant est nul seulement au cas de p = — alors que la somme des termes dans une ligne ou une colonne est nulle.

La valeur pour p = — i est à remarquer.

Si Ton multiplie tous les éléments par q, le détermi- nant est multiplié par qn\ qu'on change ensuite/?^ en py

on obtient

P - h q P H - 2 q . . . p + ïq p+3q . . .

p -h Jiq

p -f- nq p

[

p n {n -h i ) 1 n ( n — r )