Universit´e PIERRE ET MARIE CURIE 2009-2010
L2 Math´ematiques Module LM220
Examen du lundi 11 janvier 2010 Dur´ee 2 heures
Les documents, calculatrices et t´el´ephones portables sont interdits.
Toutes les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees.
Exercice I. — Les questions ci-dessous sont ind´ependantes.
1. D´eterminer tous les entiers n `a trois chiffres (100 ≤ n ≤ 999) divi- sibles `a la fois par 18 et 34.
2. Quel est l’ordre de la classe de 5 dans le groupe ³
(Z/17Z)∗,×´
? 3. Donner le cardinal du groupe (Z/16200Z)∗.
4. Soit n un entier tel que
½ n≡ 5 mod 8 n≡ 4 mod 11
Quel est la reste de la division euclidienne de n par 88 ? 5. D´eterminer les nombres premiers p tels que p divise 2p+ 1.
Exercice II. — On consid`ere l’anneau quotient K = F11[X]±
(X2 + 1).
1. Montrer que K est un corps. Quelle est sa caract´eristique ? Quel est son cardinal ?
2. Soit α la classe de X modulo (X2 + 1). Montrer que B= (1, α) est une base du F11-espace vectoriel K.
3. Quels sont les ordres possibles des ´el´ements du groupe© K∗ = K − 0ª
?
4. Quel est l’ordre de α dans K∗?
5. Combien y a-t-il de g´en´erateurs dans K∗? 6. D´eterminer l’ordre de 1 +α dans K∗.
1
2
7. Calculer (5 + 3α)3.
8. En d´eduire que 2 + 8α est un g´en´erateur de K∗.
Exercice III. — Soit n un entier ≥ 1. Alice utilise le cryptosyst`eme RSA afin de se faire envoyer des messages cod´es par des ´el´ements de Z/nZ. Soit (e, n) sa cl´e publique.
1. Soient p et q deux nombres premiers distincts congrus `a 2 modulo 3.
Posons
n = pq et e= 2(p−1)(q −1) + 1
3 (e est un entier).
Montrer que e est premier avec ϕ(n) et calculer son inverse modulo ϕ(n).
2. Alice choisit comme cl´e publique le couple (e, n) = (107,187). Elle re¸coit le cryptogramme 9 +nZ. Quel est le message envoy´e ?
Exercice IV. — Soit C le code lin´eaire sur F5 de matrice g´en´eratrice µ 3 4 1 0
0 3 4 1
¶ .
1. Donner le nombre de mots de C. 2. Le code est-il syst´ematique ?
3. D´eterminer une matrice de contrˆole de C.
4. Calculer la distance minimum d de C et sa capacit´e de correction t; le code est-il MDS ?
5. D´ecoder quand c’est possible les mots 3001, 1101 et 2311.
