Feuille d’Exercices 5

U P M C - Paris 6 LM260-CNED

Math´ematiques 2008/2009

Feuille d’Exercices 5

S´eries de fonctions

Exercice 5.1.—Pour toutx∈R+ et toutn∈N^∗ on posef_n(x) = ^xe−n

2x

1+n²x. Montrer que la s´erie de fonctionsfn estnormalement convergente sur R⁺.

Exercice 5.2.—Pour toutx∈R+ et toutn∈Non posefn(x) =nxe^−nx. 1. Montrer que la s´erie de fonctions (P

fn) est simplement convergente surR+. 2. On fixen∈Net on poseu_n = Sup{|f_n(x)|, x∈R+}. Calculeru_n.

3. Montrer que la s´erie de fonctions (P

fn) n’est pas normalement convergente surR+.

4. Soit ε un r´eel strictement positif. Montrer que la s´erie de fonctions (Pfn) est normalement convergente sur [ε,+∞[.

Exercice 5.3.—Pour toutn≥1 et pour toutx∈R+, on posef_n(x) = _n(1+nx)¹ .

1. Montrer que la s´erie de fonctions (Pf_n) est simplement convergente sur R^∗+. Est-elle conver- gente en 0 ? Pourx >0, on posef(x) =P∞

n=1f_n(x).

2. a. Montrer que la s´erie de fonctions (P

fn) est normalement convergente sur [ε,+∞[.

b. Montrer que la fonction f est continue sur [ε,+∞[.

3. Peut-on d´eduire de la question pr´ec´edente les assertions suivantes ? Justifier votre r´eponse.

a. la s´erie de fonction (P

fn) est normalement convergente sur ]0,+∞[.

b. La fonctionf est continue sur ]0,+∞[.

On dit que la propri´et´e ”ˆetre normalement convergente” est une propri´et´eglobale, tandis que la propri´et´e ”ˆetre continue” estlocale. La propri´et´e ”ˆetre d´erivable” est ´egalement locale.

Exercice 5.4.—Sin≥1, on consid`ere la fonction Un d´efinie surRpar Si x6= n, Un(x) = 0

Un(n) = ¹_n.

a) Montrer que la s´erie de fonctionsPU_n converge simplement surR. b) Montrer que la s´erie de fonctionsPUn converge uniform´ement surR. c) La s´erie de fonctionsPUn converge-t-elle normalement surR?

Exercice 5.5.—Pour toutn≥1 et pour toutx∈R, on posefn(x) = ¹_narctan(_n^x).

1.Montrer que la s´erie de fonctions (P

fn) est simplement convergente surR. Est-elle normalement convergente surR? On appellef la fonction somme de la s´erie (P

fn).

2. Soit a un r´eel strictement positif. Montrer que la s´erie de fonction (Pf_n) est normalement convergente sur l’intervalle [−a, a].

3. En d´eduire quef est continue sur R. 4. Montrer quef est de classeC¹surR.

Exercice 5.6.—On consid`ere la s´erie de fonctionsP 1 n^1+x.

1) D´eterminer l’ensembleD sur lequel la s´erie de fonctions converge simplement.

2) Sixest dansD, on posef =

+∞

X

n=1

1

n^1+x. Montrer que f est de classeC¹ surD.

Exercice 5.7.—Sinest un entier naturel, on consid`ere la de fonction fn d´efinie surRpar

∀x∈R, fn(x) = 1 nsinx

n. Montrer que la s´erie de fonctions P

nfn converge vers une fonction s ind´efiniment d´erivable et lipschitzienne.

Exercice 5.8.—Sinest dans N^∗, on d´efinit la fonctionU_n surRcomme suit :

∀x∈R, U_n(x) = 1 n²sinx

n.

a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eralU_n converge uniform´ement.Soitf sa somme.

b) Exprimer R1

0 f(t)dtcomme la somme d’une s´erie num´erique.

Exercice 5.9.—Pour tout entiern≥1 et tout x∈R, posons

fn(x) =x²e^−nx et Fn(x) = Z x

0

fn(t)dt.

1. Etude de la s´erie de fonctions (P fn).

a. Montrer que la s´erie de fonctions (P

fn) converge normalement surR+. On posef(t) =P∞

n=1fn(t) pour toutt∈R+. b. Montrer quef est continue sur R+. c. Calculerf(t) pour toutt∈R+. 2. Etude de la s´erie de fonctions (P

Fn).

a. Soitx∈R^∗+. A l’aide de deux int´egrations par parties, calculerFn(x).

b. Montrer que la s´erie de fonctions (P

Fn) est normalement convergente surR+. On poseF(x) =P∞

n=1Fn(x) pour toutx∈R+.

c. Exprimer limx→+∞F(x) sous forme d’une somme de s´erie.

3. Montrer queF(x) =Rx

0 f(t)dt, pour toutx∈R+. 4. En d´eduire l’identit´e suivante :

Z ∞

0

t²

e^t−1dt= 2

∞

X

n=1

1 n³.

Exercice 5.10.— On reprend les fonctions fn(x) de l’exercice 6.3, d´efinies surR+. On note f la fonction somme de la s´erie (Pfn), d´efinie surR^∗+. Rappelons que la s´erie de fonctions (Pfn) n’est pas normalement convergente sur R^∗+. On souhaite n´eanmoins calculer la limite def en 0.

On pose

Sn(x) =

n

X

k=1

1

k(1 +kx) et Hn =

n

X

k=1

1

k pour n∈N^∗,x∈R+.

1. Montrer quef est positive et d´ecroissante.

2. Montrer que pour tousn∈N^∗,x∈R^∗+on a Sn(x)≤f(x).

3. Montrer qu’on aS_n(¹_n)≥¹₂ H_n, pour toutn∈N^∗.

4. Quelle est la limite de la suite (Hn) ? En d´eduire que limn→∞f(_n¹) = +∞.

5. Montrer que lim_x→0f(x) = +∞, en utilisant les questions 1 et 4.

Exercice 5.11.— Pour quelles valeurs deα∈R la s´erie de fonctions de terme g´en´eralfn(x) = (−1)^{n n+x}_nα est elle

1. Simplement convergente surR. 2. Absolument convergente surR. 3. Normalement convergente sur R.

4. Normalement convergente sur [−A, A] pour toutA >0.

Exercice 5.12.— 1.Montrer que la s´erie de terme g´en´eral _n(2n+1)^x2n+1 est normalement convergente sur [−1,1]

2. Calculer sa somme pour|x|<1 en justifiant soigneusement.

3. En d´eduire la valeur deP∞ n=1

1 n(2n+1).

Exercice 5.13.—Pour toutx∈R, posonsfn(x) = ^sin(nx)₂n . 1. Montrer que la fonction f d´efinie par f(x) = P

n≥0

f_n(x) est d´efinie sur R et ind´efiniment d´erivable.

2. Calculer explicitementf(x).

Exercice 5.14.—Soitn≥1 etfn la fonction d´efinie surR+ parfn(x) =⁽⁻¹⁾_n+xⁿ.

1. La s´erie de fonctions est-elle simplement convergente ? Normalement convergente sur R? Sur un intervalle ?

2. La s´erie de fonctionsf_n⁰ est elle convergente ? Normalement convergente surR? Sur [0, A] avec A >0 ?

3. Montrer quef(x) =P

n≥1 (−1)ⁿ

n+x est d´erivable surR⁺.