CM-Thème 1

C1. C

Julie Scholler - Bureau B246

12 septembre 2018

I. Cadre et notations

Premiers exemples

• nombres de ventes sur un marché de plusieurs produits concurrents

• dans un magasin : X nombre de clients, Y nombre de clients aux caisses automatiques

• temps passé à étudier et notes à l’examen

• évolution d’une population avecX_k nombre de descendants à lak^e génération

• lancer de deux dés à trois faces : X le minimum des résultats, Y la somme des résultats

Cadre et notations

Expérience aléatoire

• univers Ω

• ensemble de tous les événements E

• loi de probabilité P:E →[0 ; 1]

Variable aléatoire réelle :X

• univers image (ou support) :X(Ω)⊂R

• discrète : sa loi est donnée par

∀x ∈X(Ω), f_X(x) :=P

[X =x]=P(X =x)

• à densité (ou continue) : sa loi est donnée par sa densité notée aussif_X

I. Cadre et notations

Couple de variables aléatoire sur (Ω,E,P)

• couple (X,Y), où X et Y sont des variables aléatoires réelles sur (Ω,E,P)

Univers image ou support du couple (X,Y)

• (X,Y)(Ω) :=ⁿX(ω),Y(ω), ω ∈Ω^o Retour sur les exemples

• lancer de deux dés à trois faces : X le minimum des résultats, Y la somme des résultats

• dans un magasin : X nombre de clients, Y nombre de clients aux caisses automatiques

• évolution d’une population avecXk nombre de descendants à lak^e génération

I. Cadre et notations

Exemple discret 1 - Dés à trois faces

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

H HH

HHH X

Y 2 3 4 5 6 1

2 3

I. Cadre et notations

Exemple discret 1 - Dés à trois faces

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

HH HH

HHH X

Y 2 3 4 5 6 1

2 3

Exemple discret 1 - Dés à trois faces

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

HH HH

HHH X

Y 2 3 4 5 6

1 0 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0

I. Cadre et notations

Exemple discret 1 - Dés à trois faces

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

HH HH

HHH X

Y 2 3 4 5 6

1 1

9 0 0 0 0

2 0 2

9 1

9 0 0

3 0 0 2

9 2 9

1 9

Exemple discret 1 - Dés à trois faces

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

HH HH

HHH X

Y 2 3 4 5 6 loi deX

1 1

9 0 0 0 0

2 0 2

9 1

9 0 0

3 0 0 2

9 2 9

1 9

loi deY 1

I. Cadre et notations

Exemple discret 1 - Dés à trois faces

Cas discret

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

H HH

HH HH X

Y 2 3 4 5 6 loi deX

1 1

9 0 0 0 0 1

9

2 0 2

9 1

9 0 0 3

9

3 0 0 2

9 2 9

1 9

5 9 loi deY 1

9 2 9

3 9

2 9

1

9 1

Loi du couple

z

y

x

1 9 2 9 3 9 4 9 5 9

•

•

•

• •

•

I. Cadre et notations

Loi du couple et lois marginales

z

y

x

1 9 2 9 3 9 4 9 5 9

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

II. Loi jointe

Loi jointe du couple discret (X,Y)

• notée f_(X,Y)

• l’applicationf_(X,Y):X(Ω)×Y(Ω)→[0 ; 1] définie par

∀x ∈X(Ω),∀y ∈Y(Ω), f_(X,Y)(x,y) =P

(X,Y) = (x,y)=P(X =x,Y =y)

Fonction de répartition jointe du couple (X,Y)

• notée F_(X,Y) ouF_X,Y

• la fonction définie sur R² par :

∀(x,y)∈R², F_(X,Y)(x,y) =P(X 6x,Y 6y)

II. Loi jointe

Loi jointe du couple discret (X,Y)

• notée f_(X,Y)

• l’applicationf_(X,Y):X(Ω)×Y(Ω)→[0 ; 1] définie par

∀x ∈X(Ω),∀y ∈Y(Ω), f_(X,Y)(x,y) =P

(X,Y) = (x,y)=P(X =x,Y =y)

Fonction de répartition jointe du couple (X,Y)

• notée F_(X,Y) ouF_X,Y

• la fonction définie sur R² par :

∀(x,y)∈R², F_(X,Y)(x,y) =P(X 6x,Y 6y)

Lois marginales du couple discret (X,Y)

• première loi marginale du couple (X,Y) : l’applicationf_X :X(Ω)→[0; 1] définie par

∀x∈X(Ω), fX(x) =P(X =x)

• deuxième loi marginale du couple (X,Y): l’applicationfY :Y(Ω)→[0; 1] définie par

∀y ∈Y(Ω), fY(y) =P(Y =y)

III. Loi marginale

Exemple continu 1 - Uniforme sur un triangle

(X,Y) : coordonnées d’un point choisi uniformément à l’intérieur du triangleT ci-dessous

T

Support

x y

0 0

0.5 0.5

1 1

Exemple continu 1 - Uniforme sur un triangle

(X,Y) : coordonnées d’un point choisi uniformément à l’intérieur du triangleT

f(x,y) =

(2 si 0<x <1, 0<y <1 et 0<x+y <1 0 sinon

= 21]0 ;1[²(x,y)×1{0<x+y<1}(x,y)

1 1

1 2

III. Loi marginale

Loi jointe du couple continu (X,Y)

• fonction de densité jointe notéef_(X,Y)

• la fonction positive ou nulle définie sur R² telle que F_(X,Y)(x,y) =

Z y

−∞

Z x

−∞

f_(X,Y)(u,v) du dv

Lois marginales du couple continu (X,Y)

• fonctions de densité marginalesnotées f_X et f_Y

• les fonctions deR dansR définies par fX(x) =

Z +∞

−∞ f_(X,Y)(x,y) dy et fY(y) = Z +∞

−∞ f_(X,Y)(x,y) dx

Loi jointe du couple continu (X,Y)

• fonction de densité jointe notéef_(X,Y)

• la fonction positive ou nulle définie sur R² telle que F_(X,Y)(x,y) =

Z y

−∞

Z x

−∞

f_(X,Y)(u,v) du dv

Lois marginales du couple continu (X,Y)

• fonctions de densité marginalesnotées f_X et f_Y

• les fonctions deR dansRdéfinies par fX(x) =

Z +∞

−∞ f_(X,Y)(x,y) dy et fY(y) = Z +∞

−∞ f_(X,Y)(x,y) dx

III. Loi marginale

Exemple continu 1 - Uniforme sur un triangle

(X,Y) : coordonnées d’un point choisi uniformément à l’intérieur du triangleT

f_X,Y(x,y) = 2×1]0 ;1[²(x,y)×1{0<x+y<1}(x,y) Lois marginales

f_X(x) = 2(1−x)×1]0 1[(x) et f_Y(y) = 2(1−y)×1]0 1[(y)

Exemple continu 1 - Uniforme sur un triangle

(X,Y) : coordonnées d’un point choisi uniformément à l’intérieur du triangleT

f_X,Y(x,y) = 2×1]0 ;1[²(x,y)×1{0<x+y<1}(x,y) Lois marginales

f_X(x) = 2(1−x)×1]0 1[(x) et f_Y(y) = 2(1−y)×1]0 1[(y)

III. Loi marginale

Exemple continu 2

(X,Y) : couple de variables aléatoires à densité dont la fonction de densité est

f(x,y) =

(2e^(x+y) si 0<x 6y

0 sinon

= 2e^−(x+y)1{0<x6y}(x,y)

IV. Conditionnement

Exemple discret 2

Expérience aléatoire

• Lancer d’un dé équilibré à 6 faces

• Lancers d’une pièce biaisée autant de fois que le résultat du dé Couple aléatoire

• X : résultat du dé

• Y : nombre de pileobtenus

Loi deY ? Son espérance ? Loi du couple ?

IV. Conditionnement

Lois conditionnelles d’un couple discret (X,Y)

• Pour tout y₀ ∈Y(Ω) tel queP(Y =y₀)6= 0, la loi conditionnelle de X sachant [Y = y0]est, ∀x∈X(Ω), P[Y=y0](X =x) :=P(X =x |Y =y₀) := P(X =x,Y =y₀)

P(Y =y0)

• Pour tout x0 ∈X(Ω) tel que P(X =x0)6= 0, la loi conditionnelle de Y sachant [X = x₀]est, ∀y ∈Y(Ω), P[X=x0](Y =y) :=P(Y =y |X =x0) := P(X =x0,Y =y)

P(X =x₀)

IV. Conditionnement

Lois conditionnelles d’un couple discret (X,Y)

• Pour tout y₀ ∈Y(Ω) tel queP(Y =y₀)6= 0, la loi conditionnelle de X sachant [Y = y0]est, ∀x∈X(Ω), P[Y=y0](X =x) :=P(X =x |Y =y₀) := P(X =x,Y =y₀)

P(Y =y0)

• Pour tout x0 ∈X(Ω) tel que P(X =x0)6= 0, la loi conditionnelle de Y sachant [X = x₀]est, ∀y ∈Y(Ω), P[X=x0](Y =y) :=P(Y =y |X =x₀) := P(X =x0,Y =y)

P(X =x₀)

Exemple discret 1 - Dés à trois faces

Cas discret

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

H HH

HH HH X

Y 2 3 4 5 6 loi deX

1 1

9 0 0 0 0 1

9

2 0 2

9 1

9 0 0 3

9

3 0 0 2

9 2 9

1 9

5 9 loi deY 1

9 2 9

3 9

2 9

1

9 1

IV. Conditionnement

Situation discrète

Soient (X,Y) un couple de variables aléatoires discrètes et y₀ ∈Y(Ω) tel queP(Y =y₀)6= 0.

Espérance conditionnelle de la variableX sachant Y =y₀

• le réeldéfini par

E(X|Y =y0) := ^X

x∈X(Ω)

xP{Y=y0}(X =x)

IV. Conditionnement

Espérance conditionnelle de la variableX sachant Y

• lavariable aléatoire définie par

E(X|Y) :=φ(Y), avecE(X|Y =y) =φ(y), ∀y ∈Y(Ω)

Lien entre espérance deX et espérance conditionnelle de X sachant Y

E(E(X|Y)) =E(X)

• Permet de calculer l’espérance d’une variable aléatoire sans connaître sa loi marginale, ni la loi du couple

IV. Conditionnement

Espérance conditionnelle de la variableX sachant Y

• lavariable aléatoire définie par

E(X|Y) :=φ(Y), avecE(X|Y =y) =φ(y), ∀y ∈Y(Ω) Lien entre espérance deX et espérance conditionnelle de X sachant Y

E(E(X|Y)) =E(X)

• Permet de calculer l’espérance d’une variable aléatoire sans connaître sa loi marginale, ni la loi du couple

Retour sur l’ED 1 - Dés à trois faces

On lance deux dés à trois à faces.

(X,Y) : X le maximum des deux chiffres obtenus et Y la somme des deux chiffres obtenus.

HH HH

HHH X

Y 2 3 4 5 6 loi deX

1 1

9 0 0 0 0 1

9

2 0 2

9 1

9 0 0 3

9

3 0 0 2

9 2 9

1 9

5 9 loi deY 1

9 2 9

3 9

2 9

1

9 1

IV. Conditionnement

Retour sur l’EC 1 - Uniforme sur un triangle

(X,Y) : coordonnées d’un point choisi uniformément à l’intérieur du triangleT

Loi du couple

f(x,y) = 2×1]0 ;1[²(x,y)×1{0<x+y<1}(x,y) Lois marginales

f_X(x) = 2(1−x)×1]0 1[(x) et f_Y(y) = 2(1−y)×1]0 1[(y)

Lois conditionnelles ?

Lois conditionnelles d’un couple continu (X,Y)

• Pour tout y0 ∈Y(Ω) tel quef_Y(y0)6= 0, lafonction de densité conditionnelle de X sachant [Y =y₀]est

∀x ∈X(Ω), f_X|Y=y0(x) := f_(X,Y)(x,y0) fY(y0)

• Pour tout x₀ ∈X(Ω) tel que f_X(x₀)6= 0, la fonction de densité conditionnelle de Y sachant [X =x0]est

∀y ∈Y(Ω), f_Y|X=x0(y) := f_(X,Y)(x0,y) fX(x0)

IV. Conditionnement

Situation continue

Soient (X,Y) un couple de variables aléatoires continue et y0 ∈Y(Ω) tel quefY(y0)6= 0.

Espérance conditionnelle de la variableX sachant Y =y₀

• le réeldéfini par

E(X|Y =y₀) :=

Z +∞

−∞

xf_X|Y=y0(x) dx

IV. Conditionnement

Espérance conditionnelle de la variableX sachant Y

• lavariable aléatoire définie par

E(X|Y) :=φ(Y), avecE(X|Y =y) =φ(y), ∀y ∈Y(Ω)

Lien entre espérance deX et espérance conditionnelle de X sachant Y

E(E(X|Y)) =E(X)

• Permet de calculer l’espérance d’une variable aléatoire sans connaître sa loi marginale, ni la loi du couple

IV. Conditionnement

Espérance conditionnelle de la variableX sachant Y

• lavariable aléatoire définie par

E(X|Y) :=φ(Y), avecE(X|Y =y) =φ(y), ∀y ∈Y(Ω) Lien entre espérance deX et espérance conditionnelle de X sachant Y

E(E(X|Y)) =E(X)

• Permet de calculer l’espérance d’une variable aléatoire sans connaître sa loi marginale, ni la loi du couple

Indépendance de deux variables aléatoires

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires.

Les variables aléatoiresX etY sont indépendantesentre elles si et seulement si

• pour toute partie Ade X(Ω)

• et pour toute partie B deY(Ω)

les événements [X ∈A] et [Y ∈B] sont indépendants c’est-à-dire

∀A⊂X(Ω),∀B⊂Y(Ω),

P [X ∈A]∩[Y ∈B]=P(X ∈A) P(Y ∈B)

V. Indépendance

Cas d’un couple discret (X, Y )

Caractérisation de l’indépendance par la loi jointe X etY sontindépendantessi et seulement si ∀x∈X(Ω) et

∀y∈Y(Ω),

les événements [X =x] et [Y =y] sont indépendants c’est-à-dire,∀x ∈X(Ω),∀y ∈Y(Ω),

P([X =x]∩[Y =y]) =P(X =x) P(Y =y)

Par les lois marginales et conditionnelles X etY sontindépendantessi et seulement si

∀x ∈X(Ω) tel queP(X =x)6= 0,

la loi conditionnelle de Y sachant [X =x] est la loi deY.

Cas d’un couple discret (X, Y )

Caractérisation de l’indépendance par la loi jointe X etY sontindépendantessi et seulement si ∀x∈X(Ω) et

∀y∈Y(Ω),

les événements [X =x] et [Y =y] sont indépendants c’est-à-dire,∀x ∈X(Ω),∀y ∈Y(Ω),

P([X =x]∩[Y =y]) =P(X =x) P(Y =y) Par les lois marginales et conditionnelles

X etY sontindépendantessi et seulement si

∀x ∈X(Ω) tel queP(X =x)6= 0,

la loi conditionnelle de Y sachant [X =x] est la loi deY.

V. Indépendance

Situation continue

Caractérisation de l’indépendance par la loi jointe

X etY sontindépendantessi et seulement si, ∀x ∈X(Ω) et

∀y∈Y(Ω), on a

f_(X,Y)(x,y) =f_X(x)×f_Y(y)

Par les lois marginales et conditionnelles X etY sontindépendantessi et seulement si

∀x∈X(Ω) tel quefX(x)6= 0,

la fonction de densité conditionnelle deY sachant [X =x] est égale à la fonction de densité de Y.

Situation continue

Caractérisation de l’indépendance par la loi jointe

X etY sontindépendantessi et seulement si, ∀x ∈X(Ω) et

∀y∈Y(Ω), on a

f_(X,Y)(x,y) =f_X(x)×f_Y(y)

Par les lois marginales et conditionnelles X etY sontindépendantessi et seulement si

∀x∈X(Ω) tel quefX(x)6= 0,

la fonction de densité conditionnelle deY sachant [X =x] est égale à la fonction de densité de Y.

V. Indépendance

Exemple continu

SoientX et Y les résultats à deux QCM notés sur 10 points.

Loi du couple

f_(X,Y)(x,y) = 3

2500(x²+xy)1]0;10[²(x,y) Lois marginales

f_X(x) = (∗)1]0;10[(x) et f_Y(x) = (∗)1]0;10[(y)

Exemple continu

SoientX et Y les résultats à deux QCM notés sur 10 points.

Loi du couple

f_(X,Y)(x,y) = 3

2500(x²+xy)1]0;10[²(x,y) Lois marginales

f_X(x) = (∗)1]0;10[(x) et f_Y(x) = (∗)1]0;10[(y)

VI. Vecteurs aléatoires

Vecteur aléatoire

Vecteur aléatoire à valeurs dans Rⁿ

• vecteur X = (X₁, . . . ,X_n), où X₁, . . . ,X_n sont des variables aléatoires

Pour toutk dans J1,nK, Xk est appelé la k-ième variable aléatoire coordonnéede X ouk^ecomposantedeX.

Exemple de vecteurs aléatoires discrets On lancen fois un dé à 3 faces non équilibré. (X₁,X₂,X₃)

• X₁ : nombre de 1 obtenus

• X2 : nombre de 2 obtenus

• X3 : nombre de 3 obtenus

Vecteur aléatoire

Vecteur aléatoire à valeurs dans Rⁿ

• vecteur X = (X₁, . . . ,X_n), où X₁, . . . ,X_n sont des variables aléatoires

Pour toutk dans J1,nK, Xk est appelé la k-ième variable aléatoire coordonnéede X ouk^ecomposantedeX.

Exemple de vecteurs aléatoires discrets On lancen fois un dé à 3 faces non équilibré.

(X₁,X₂,X₃)

• X₁ : nombre de 1 obtenus

• X2 : nombre de 2 obtenus

• X3 : nombre de 3 obtenus

VI. Vecteurs aléatoires

Loi jointe d’un vecteur discret

SoitX = (X₁, . . . ,X_n) un vecteur aléatoire discret.

Loi du vecteurX

• la donnée de

∀(x₁, . . . ,xn)∈Rⁿ

f_X(x1, . . . ,xn) =f_(X1,...,Xn)(x1, . . . ,xn)

=P

[X1 =x1]∩ · · · ∩[Xn=xn]

Loi jointe d’un vecteur continu

SoitX = (X1, . . . ,Xn) un vecteur aléatoire à densité.

Fonction de densité de probabilité jointe d’un vecteur continu X

• la fonction positive ou nulle définie sur Rⁿ notée f_X telle que F_X(x1, . . . ,xn) =

Z x1

−∞

Z x2

−∞

· · · Z xn

−∞

f_X(x) dx1 dx2· · · dxn

VI. Vecteurs aléatoires

SoitX = (X1, . . . ,Xn) un vecteur aléatoire tel que, pour tout i,Xi

admette une espérance.

Espérance d’une somme de variables aléatoires

E

n

X

i=1

Xi

!

=

n

X

i=1

E(Xi)

VI. Vecteurs aléatoires

SoitX = (X1, . . . ,Xn) un vecteur aléatoire tel que, pour tout i,Xi

admette une variance.

Variance d’une somme

V

n

X

i=1

Xi

!

=

n

X

i=1

V(Xi) +^X

i6=j

Cov(Xi,Xj)

=

n

X

i=1

V(X_i) + 2^X

i<j

Cov(X_i,X_j)

En particulier, si les variables aléatoires sont deux à deux indépendantes, alors on a

V

n

X

i=1

X_i

!

=

n

X

i=1

V(X_i).

VI. Vecteurs aléatoires

SoitX = (X1, . . . ,Xn) un vecteur aléatoire tel que, pour tout i,Xi

admette une variance.

Variance d’une somme

V

n

X

i=1

Xi

!

=

n

X

i=1

V(Xi) +^X

i6=j

Cov(Xi,Xj)

=

n

X

i=1

V(X_i) + 2^X

i<j

Cov(X_i,X_j)

En particulier, si les variables aléatoires sont deux à deux indépendantes, alors on a

V

n

X

i=1

X_i

!

=

n

X

i=1

V(X_i).

VI. Vecteurs aléatoires

Indépendance

SoitX = (X1, . . . ,Xn) un vecteur aléatoire discret ou à densité.

Indépendance deux à deux

Les variables aléatoiresX1, . . . ,Xn sontindépendantes deux à deuxsi et seulement si pour tous entiersi 6=j dans J1;nK, les variables aléatoiresXi etXj sont indépendantes.

Indépendance mutuelle

Les variables aléatoiresX₁, . . . ,X_n sontmutuellement indépendantessi et seulement si pour tout (x1, . . . ,xn) dans X₁(Ω)× · · · ×X_n(Ω) on a

f_X(x1, . . .xn

=f_X1(x1)× · · · ×f_Xn(xn)

VI. Vecteurs aléatoires

Indépendance

SoitX = (X1, . . . ,Xn) un vecteur aléatoire discret ou à densité.

Indépendance deux à deux

Les variables aléatoiresX1, . . . ,Xn sontindépendantes deux à deuxsi et seulement si pour tous entiersi 6=j dans J1;nK, les variables aléatoiresXi etXj sont indépendantes.

Indépendance mutuelle

Les variables aléatoiresX1, . . . ,Xn sontmutuellement indépendantessi et seulement si pour tout (x1, . . . ,xn) dans X₁(Ω)× · · · ×X_n(Ω) on a

f_X(x1, . . .xn

=f_X1(x1)× · · · ×f_Xn(xn)

Suites de variables aléatoires mutuellement indépendantes Une suite (Xn)n∈Nde variables aléatoires est formée de variables aléatoires mutuellement indépendantes si toute sous-famille finie de (X_n)n∈N est formée de variables aléatoires mutuellement

indépendantes.

Variables aléatoires indépendantes et de même loi Une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi est ditei.i.d.c’est-à-dire indépendantes et identiquement distribuées.

VI. Vecteurs aléatoires

Exemple classique

SoitX un vecteur aléatoire à p composantes.

Vecteur gaussien

X est un vecteur gaussien ou normal si toute combinaison linéaire de ses composantes suit une loi normale.

La loi d’un vecteur normal est appeléeloi normale multidimensionnelle.

Propriétés

• Chaque composante d’un vecteur normal suit une loi normale.

• Si chaque composante d’un vecteur X suit une loi normale et est indépendante de toutes les autres composantes, alors X est un vecteur normal.

Exemple classique

SoitX un vecteur aléatoire à p composantes.

Vecteur gaussien

X est un vecteur gaussien ou normal si toute combinaison linéaire de ses composantes suit une loi normale.

La loi d’un vecteur normal est appeléeloi normale multidimensionnelle.

Propriétés

• Chaque composante d’un vecteur normal suit une loi normale.

• Si chaque composante d’un vecteur X suit une loi normale et est indépendante de toutes les autres composantes, alors X est un vecteur normal.

VI. Vecteurs aléatoires

Cas bidimensionnel centré réduit indépendant

x y

z

y

−2 −1 0 1 2

−2−1012

Cas avec différents coefficients de corrélation linéaire

x y

z

ρ =0

x y

z

ρ =0.5

x y

z

ρ =0.7

x y

z

ρ =0.9

y

−2 −1 0 1 2

−2−1012 y

−2 −1 0 1 2

−2−1012 y

−2 −1 0 1 2

−2−1012 y

−2 −1 0 1 2

−2−1012

VI. Vecteurs aléatoires

Loi normale bivariée

(X,Y) : vecteur gaussien tel que

• X ∼ N(µ₁;σ₁)

• Y ∼ N(µ₂;σ₂)

• ρ leur coefficient de corrélation linéaire

f_(X,Y)(x,y) = 1

2πσ₁σ₂^p1−ρ² exp − 1 2 (1−ρ²)

"

x−µ₁ σ1

2

+

y−µ₂ σ₂

2

−2ρ(x−µ₁)(y−µ₂) σ₁σ₂

#!

Indépendance dans un vecteur gaussien bidimensionnel Un vecteur aléatoire gaussien de dimension 2 a ses composantes indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle.

Loi normale bivariée

(X,Y) : vecteur gaussien tel que

• X ∼ N(µ₁;σ₁)

• Y ∼ N(µ₂;σ₂)

• ρ leur coefficient de corrélation linéaire

f_(X,Y)(x,y) = 1

2πσ₁σ₂^p1−ρ² exp − 1 2 (1−ρ²)

"

x−µ₁ σ1

2

+

y−µ₂ σ₂

2

−2ρ(x−µ₁)(y−µ₂) σ₁σ₂

#!

Indépendance dans un vecteur gaussien bidimensionnel Un vecteur aléatoire gaussien de dimension 2 a ses composantes indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle.

VI. Vecteurs aléatoires

Exemple de manipulation

(X,Y) : vecteur gaussien

• centré

• de matrice de covariance







1 0.5 0.5 1







On cherche

• Loi de X+Y? Celle de X−Y?

• Loi du vecteur (X +Y,X−Y) ?

Propriétés de la covariance

SoientX,Y etZ des variables aléatoires réelles finies. Alors les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. symétrie :

Cov(X,Y) = Cov(Y,X) ; 2. bilinéarité: pour tout réelλ, on a

Cov(λX +Y,Z) =λCov(X,Z) + Cov(Y,Z) et

Cov(X, λY +Z) =λCov(X,Y) + Cov(X,Z) ; 3. positivité :

Cov(X,X) = V(X)>0.