DIVISIBILITE et CONGRUENCE – Feuille d’exercices
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Divisibilité Exercice 1 :
1) Déterminer les nombres entiers naturels 𝑛 tels que n divise 𝑛 + 3.
2) Déterminer les nombres entiers naturels 𝑛 tels que 𝑛 + 8 soit divisible par 𝑛.
Exercice A : contraintes de divisibilité
1) Déterminer les nombres entiers naturels 𝑛 tels que 2𝑛 − 5 divise 6.
2) Déterminer les nombres entiers naturels 𝑛 tels que 𝑛 + 11 soit divisible par 𝑛 − 1.
Exercice 2 :
1) Déterminer tous les couples de nombres entiers relatifs (𝑥; 𝑦) vérifiant 𝑥0− 𝑦0 = 5..
2) Déterminer tous les couples de nombres entiers relatifs (𝑥; 𝑦) vérifiant 𝑥0− 𝑥𝑦 = 240.
Indication : on pensera à factoriser.
Exercice 3 : deux nombres sont composés des trois mêmes chiffres écrits dans un ordre différent.
Démontrer que leur différence est toujours multiple de 9.
Indication : on écrira 𝑎𝑏𝑐 = 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 un nombre avec 𝑎, 𝑏, 𝑐 dans {0; 1; 2; 3; … ; 9}.
Exercice 4 : les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont des nombres entiers 𝑎, 𝑏 et 𝑐.
Le triplet (𝑎; 𝑏; 𝑐) est alors appelé triplet pythagoricien.
1) Donner quelques valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 possibles.
2) Montrer que l’un au moins des trois nombres 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 est pair.
Division euclidienne
Exercice 5 : la différence de deux entiers naturels est 885. Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est 29 et le reste 17. Quels sont ces entiers ?
Exercice 6 : on divise un entier naturel 𝑛 par 152, puis par 147. Les quotients sont égaux et les restes respectifs sont 13 et 98. Déterminer 𝑛.
Exercice 7 : dans la division euclidienne de 1620 par un entier naturel 𝑏 non-nul, le quotient est 23 et le reste 𝑟.
Déterminer les valeurs possibles de 𝑏 et 𝑟.
Exercice 8 : si on divise 𝐴 par 6, le reste est 4. Quels sont les restes possibles de la division de 𝐴 par 18 ?
Exercice 9 : le quotient et le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏 sont respectivement égaux à 5 et 4.
Le quotient et le reste de la division euclidienne de 𝑎 + 65 par 𝑏 sont respectivement égaux à 14 et 6.
Déterminer 𝑎 et 𝑏.
Exercice 10 : le reste de la division euclidienne de 557 par 𝑏 est 89. Déterminer les valeurs possibles de 𝑏.
Exercice 11 :
1) Démontrer que le produit de trois nombres entiers consécutifs est divisible par 6.
2) Démontrer que le produit de trois nombres pairs consécutifs est divisible par 48.
3) Montrer que si 𝑛 est un entier supérieur ou égal à 2, alors 𝑛0(𝑛0 − 1)(𝑛>− 16) est divisible par 360.
Exercice B : étude de cas et multiples de 3 Soit 𝑎 un nombre entier relatif quelconque.
Démontrer que 𝑎0 ou 𝑎0− 1 sont des multiples de 3.
Exercice 12 : on considère un nombre entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 3.
1) Déterminer quatre nombres entiers naturels 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 tels que, pour toute valeur de 𝑛 : 𝑛@− 2 = (𝑎𝑛0+ 𝑏𝑛 + 𝑐)(𝑛 − 2) + 𝑑
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de 𝑛@− 2 par 𝑛 − 2.
3) En déduire les nombres entiers naturels n tels que 𝑛@− 2 soit divisible par 𝑛 − 2.
Exercice 13 : on considère un nombre entier naturel 𝑛 non nul et on note 𝑎 = 2𝑛0+ 𝑛 et 𝑏 = 𝑛 + 1.
Est-il possible de déterminer des valeurs de 𝑛 telles que 𝑏 divise 𝑎 ?
Exercice 14 : on cherche à déterminer l’ensemble des nombres entiers 𝑛 tels que 𝑛0− 3𝑛 + 6 soit divisible par 5.
1) Montrer cela revient à déterminer l’ensemble des entiers 𝑛 tel que 𝑛0− 3𝑛 + 1 soit divisible par 5.
2) En déduire que le reste de la division euclidienne de 𝑛(𝑛 − 3) par 5 doit être égal à 4.
3) Compléter le tableau suivant et conclure.
𝑛
Reste de la division euclidienne de 𝑛
par 5
𝑛 − 3
Reste de la division euclidienne de
𝑛 − 3 par 5
Produit des restes
Reste de la division euclidienne de 𝑛(𝑛 − 3) par 5 5𝑘
5𝑘 + 1 5𝑘 + 2 5𝑘 + 3 5𝑘 + 4
Exercice C : 𝒏(𝒏𝟒− 𝟏) divisible par 𝟓
a) Pour tout entier naturel 𝑛, déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de 𝑛0par 5.
b) En déduire les restes possibles dans la division euclidienne de 𝑛> par 5.
c) Montrer que 𝑛(𝑛>− 1) est divisible par 5.
Exercice 15 : déterminer l’ensemble des restes possibles dans la division euclidienne du carré d’un nombre impair par 7.
Exercice 16 : lorsqu’on divise 4 294 et 3 521 par un même nombre entier naturel strictement positif, on obtient respectivement pour restes 10 et 11. Déterminer ce nombre
Exercice 17 : montrer que pour tout nombre entier naturel 𝑛, 30F− 2F est divisible par 7.
Exercice 18 :
1) Démontrer la propriété suivante :
« Si 𝑛 est un nombre entier naturel impair, alors 𝑎F + 𝑏F est un multiple de 𝑎 + 𝑏 ».
2) Le nombre 1251@+ 26@ est-il divisible par 1 277 ?
Exercice D : divisibilité par 11 et récurrence Montrer que, pour tout nombre entier naturel 𝑛,
3FG@− 4>FG0 est divisible par 11.
Congruences
Exercice 19 : déterminer le reste de la division euclidienne de 5@F− 6F par 17 pour tout 𝑛 ∈ ℕ.
Exercice 20 : déterminer le reste de la division euclidienne de 20120JK0 par 11.
Exercice 21 : déterminer le reste de la division euclidienne de 451 × 6>@− 912 par 7.
Exercice 22 : montrer que, pour tout entier naturel 𝑛 : 160FGK+ 18F est divisible par 17.
Exercice 23 :
1) Compléter cette table des restes dans la congruence modulo 4.
2) Prouver que l’équation 7𝑥0− 4𝑦0 = 1, d’inconnues 𝑥 et 𝑦 entiers relatifs, n’a pas de solution.
3) Résoudre dans ℤ l’équation (𝑥 + 3)0 ≡ 1[4].
Exercice 24 : on veut montrer que l’équation (𝐸) ∶ 11𝑥0− 7𝑦0 = 5 n’a pas de solution entière.
1) Supposons qu’il existe une solution (𝑥; 𝑦).
En raisonnant modulo 5, montrer que l’équation (𝐸) peut se mettre sous la forme 𝑥0 ≡ 2𝑦0[5].
2) Recopier puis compléter les tableaux de congruences suivants.
3) Montrer que 𝑥 et 𝑦 sont multiples de 5.
4) Conclure.
Exercice 25 : déterminer le reste de 23K@S par 7 ? Exercice 28 : résoudre dans ℕ l’équation 𝑥 ≡ −3[5]
Exercice 29 : résoudre dans ℤ : T𝑥 + 4 ≡ −1[7]−20 ≤ 𝑥 ≤ 20
Exercice 30 :
1) On souhaite déterminer le reste possible de la division euclidienne de 247@>V par 7.
a) Montrer que cela revient à chercher le reste de la division euclidienne de 2@>V par 7.
b) Montrer que, pour tout nombre entier naturel 𝑘 :
2@W ≡ 1[7], 2@WGK ≡ 2[7] et 2@WG0 ≡ 4[7]
c) Justifier que la réponse est 247@>V ≡ 2[7].
2) Trouver une méthode permettant de déterminer le reste de la division euclidienne de 573830JKX par 11.
Exercice 31 : montrer que, pour tout nombre entier relatif 𝑛, 𝑛(𝑛Y− 1) est divisible par 7.
Remarque : contrairement à l’exercice 14 (par exemple), on utilisera ici les propriétés des congruences.
Exercice 32 : soient 𝑝 et 𝑞 deux nombres entiers naturels et 𝑛 un nombre entier naturel non nul.
Déterminer, en justifiant la réponse, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse :
« Pour tout nombre entier naturel 𝑎, si 𝑝 ≡ 𝑞[𝑛], alors 𝑎\ ≡ 𝑎][𝑛]. » Exercice E : congruences et multiples
Le nombre 673^JJ− 1 est-il un multiple de 5 ?
Exercices supplémentaires Exercice 𝜶 :
1) Étudier, suivant les valeurs du nombre entier naturel 𝑛, le reste de la division euclidienne de 7F par 10.
2) Dans le système de numération en base 10, déterminer, suivant les valeurs du nombre entier naturel 𝑛, le chiffre des unités du nombre entier 𝐴(𝑛) = 1 + 7 + 20+ ⋯ + 7F.
Indication : on pourra utiliser un raisonnement par récurrence.
Exercice 𝜷 : code ISBN
Le code ISBN (International Standard Book Number), numéro international normalisé du livre, permet d’identifier chaque livre de manière unique dans le monde entier. Il sert notamment de numéro de référence dans des bases de données informatiques (bibliothèques, éditeurs). Il comprend dix nombres entiers compris chacun entre 0 et 9 répartis en quatre groupes séparés par des tirets.
Exemples : ISBN 2 − 266 − 02612 – 7 ISBN 2 − 86623 − 490 − 1
Le premier groupe correspond au pays de l’éditeur (2 pour la France), le deuxième groupe est le numéro de l’éditeur, le troisième celui du livre, enfin le dernier chiffre est une clé qui sert à vérifier qu’on n’a pas effectué d’erreur de saisie en rentrant le code dans un ordinateur. Cette clé est calculée de la manière suivante : à partir des neuf premiers chiffres 𝑎K, 𝑎0, 𝑎@, … , 𝑎V (sans tenir compte des tirets), on calcule la somme :
𝑆 = 𝑎K + 2 × 𝑎0+ 3 × 𝑎@+ 4 × 𝑎>+ 5 × 𝑎X+ 6 × 𝑎Y+ 7 × 𝑎S+ 8 × 𝑎^ + 9 × 𝑎V puis on calcule le reste de la division euclidienne de 𝑆 par 11. Ce reste est la clé.
Il s’agit donc d’un entier compris entre 0 et 10 inclus ; s’il vaut 10 on l’écrit alors avec le chiffre romain X.
Exemple : un livre américain est codé par les chiffres 0 – 19 – 857505 − •. La somme 𝑆 vaut 208 dans ce cas.
Or 208 = 11 × 18 + 10. Le reste est égal à 10, donc la clé sera X.
On obtient alors le code : ISBN 0 − 19 − 857505 − X.
1) Compléter les codes suivants par leur clé :
ISBN 0 − 7136 − 6020 − • ISBN 2 − 7427 − 0008 − • ISBN 0 − 691 − 05729 − • 2) Un bibliothécaire saisit le code ISBN 2 – 70 – 031999 − 7.
Le logiciel lui indique alors qu’il a commis une erreur.
a) Comment le logiciel a-t-il détecté l’erreur ?
b) Le bibliothécaire s’aperçoit alors qu’il a interverti les deux chiffres du numéro de l’éditeur ; il saisit donc le code ISBN 2 – 07 – 031999 – 7. Ce code est-il cohérent avec la clé de contrôle ?
3) Le bibliothécaire reçoit un nouveau message d’erreur en rentrant le code ISBN 2 – 85368 – 313 – 2.
Corriger son erreur, sachant qu’elle porte seulement sur le chiffre de gauche.
4) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? On veillera à justifier les réponses.
a) « Si la somme 𝑆 est un multiple de 11, alors la clé est 0. » b) « Si la somme 𝑆 est un multiple de 10, alors la clé est X. » c) « Toutes les erreurs de saisie sont détectables. »
d) « Si 2 codes possèdent la même clé, alors les sommes 𝑆 correspondantes sont congrues modulo 11 ».
5) On voudrait savoir si intervertir deux chiffres entraîne toujours une modification de la clé, ce qui permet de déceler l’erreur. On suppose qu’au lieu de saisir les neuf chiffres d’un code ISBN 𝑎K𝑎0𝑎@𝑎>𝑎X𝑎Y𝑎S𝑎^𝑎V, le bibliothécaire saisisse 𝑎K𝒂𝟑𝒂𝟐𝑎>𝑎X𝑎Y𝑎S𝑎^𝑎V. On considère les sommes 𝑆 et 𝑆′ correspondant respectivement au code exact et au code erroné.
a) Calculer 𝑆 − 𝑆′ en fonction des chiffres 𝑎0 et 𝑎@. b) Quelles sont les valeurs possibles pour 𝑆 − 𝑆′ ?
c) Est-ce que 𝑆 et 𝑆′ peuvent être congrues modulo 11 ? d) Que peut-on en conclure ?
Exercice 𝜸 : écriture décimale
𝑎F𝑎FiK… 𝑎K𝑎J désigne l’écriture décimale du nombre 10F𝑎F+ ⋯ + 10𝑎K+ 𝑎J. On appelle ! l’ensemble des nombres entiers naturels 𝑛 vérifiant la propriété suivante :
« Si on extrait quatre chiffres consécutifs de l’écriture de 𝑛, alors le nombre formé par ces quatre chiffres est divisible par 19 ».
1) a) Vérifier que le nombre 176 764 appartient à l’ensemble !.
b) Le nombre 446 555 240 475 054 appartient-il à l’ensemble ! ?
2) On considère un élément 𝑛 de ! comportant au moins cinq chiffres et on note 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 et 𝑒 cinq chiffres consécutifs extraits de l’écriture décimale de 𝑛.
a) Justifier l’égalité 1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 ≡ 0[19].
b) De la même façon, écrire une égalité reliant 𝑏, 𝑐, 𝑑 et 𝑒.
c) En déduire la relation 6𝑎 ≡ 𝑒[19].
d) Lorsque 𝑎 = 4, quelle doit être la valeur de 𝑒 ? e) Est-il possible que 𝑎 = 3 ?
f) Compléter le tableau suivant donnant la valeur de 𝑒.
On écrira « Impossible » lorsque 𝑒 n’existe pas.
Valeur de 𝑎 Valeur de 𝑒 Valeur de 𝑎 Valeur de 𝑒
0 5
1 6
2 7
3 8
4 9
3) En se servant du tableau précédent, construire le plus long entier de ! commençant par 4104 puis celui finissant par 6004.
4) a) Construire le plus long entier de ! commençant par 7771.
b) Expliquer pourquoi le nombre obtenu à la question 4) a) est le plus grand élément de !.
5) Question Facultative : chercher de même, le plus grand nombre entier naturel de l’ensemble ! en remplaçant 19 par 17 dans la définition de !.
