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TD 1 : Fonctions et optimisation
Exercice 1 :
Utiliser les formules du cours pour simplifier les nombres suivants : = ln 6 + ln 7 − ln 2
= 3 ln 4 − 5 ln 2 = ln(3√3)
= ln(√17 − 4) + ln(√17 + 4) = ln(5 + 2√6) + ln(5 − 2√6)
Exercice 2 :
1) Utiliser les formules du cours pour simplifier les écritures suivantes : a) =()×
×
b) () = × c) () =!"
" × #!$ d) () =(&)× ("&)
('&)
2) (**) Étudier la parité des fonctions ( et ) définies sur ℝ par : (() =
(+ 1) et )() = (+ 1)
Exercice 3 :
1) Utiliser les formules précédentes pour simplifier les écritures suivantes : = log16 + log5 − ln 1
= log/7'+ log(3 × 81) = log80 − log5
= 2 log&240 − log&28
2) Résoudre les équations et inéquations suivantes :
ln = 7 = 3 3 = 5 log27 = 3 = 5 = 1 ln(3 − 1) = 2 ln(2 − 3) ≤ 0 ln(2) + ln 3 = ln (4 + 3) log = 1 2 = 64 9 = 729 ln(3) = 3 ln = 3 "> 1 < "& = −2
Exercice 4 :
Démontrer les propositions suivantes : 1) La fonction (() = 78 est convexe.
2) La fonction racine carrée est concave.
3) La fonction )() = 3+ 5+ 2 + 1 est convexe.
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 1 Page 2 Exercice 5 :
Calculer, à l’aide des formulaires, la dérivée des fonctions suivantes : 1) (() = −3+ 7 − 5
2) (() = 1 5 − 1 3) (() = ln
4) (() = 3− 2 ln + √ 5) (() =3− 2 + 1
2 + 3
6) (() = (5 + 3)/ 7) (() = 3− 1 8) (() = "
9) (() = 1 (3 + 1) 10) (() = ln(3+ 2) 11) (() = 93+ 2 + 5 Exercice 6 :
Étudier les éventuels extremums des fonctions : 1) (() = −5+ 20 + 3
2) )() = 2− 2+ 2 − 7. 3) ℎ() = !"
