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TD 2 : Fonctions et optimisation (2)
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FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 2 Page 3 Exercice 9 : La fonction de production de James Cobb et Paul Douglas
Une entreprise produit des biens B dont la fabrication nécessite :
• un certain volume d'heures de travail désigné par ( > 0)
• un certain volume d'équipements désigné par ( > 0)
On suppose que la quantité de biens produit avec un volume d'heures de travail égal à et un volume d'équipements est :
(; ) = √ × = ( × )
On suppose enfin que le coût horaire est égal à 50 et le coût unitaire des équipements est égal à 100 de telle sorte que le coût de production à volumes de travail et d'équipements et donnés est :
(; ) = 50 + 100 Optimisation de la quantité produite à niveau de coût donné
On étudie la maximisation de la quantité produite = (; ) en supposant que le coût de production (; ) = 1 000.
Autrement dit, on cherche à maximiser = (; ) sous la contrainte de coût (; ) = 1 000.
1. Montrer que ce problème revient à maximiser la fonction de la variable définie par : () = (; 10 − 0,5) avec 0 < < 20.
2. Calculer ′() et démontrer que ′() est du signe de − + 10.
3. En déduire les variations de la fonction et les valeurs de et de qui permettent d'optimiser la quantité produite = (; ) sous la contrainte de coût (; ) = 1 000.
4. En déduire la quantité produite optimale pouvant être obtenue sous la contrainte de coût (; ) = 1 000.
Exercice 10 :
1. Calculer l'élasticité des fonctions suivantes () = −3 et () = √ + 1 .
2. Une étude en économie des transports utilise la relation = 0,4, ! où est la dépense pour la construction de routes et une mesure du volume du trafic.
a) Déterminer l'élasticité de par rapport à .
b) Selon ce modèle, si les dépenses augmentent de 1%, de quel pourcentage (approximativement), le volume du trafic augmente-t-il ?
Exercice 11 :
Le secrétaire américain à la défense affirma en 1985 que le congrès avait réduit le budget de la défense. L'opposition mit les choses au point en disant que le budget n'avait pas été réduit mais bien son taux de croissance.
Si " désigne le montant du budget de la défense, traduisez les déclarations en proposition sur les signes de "′ et "′′.
