TD 2 : Fonctions et optimisation (2) - Corrigé

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TD 2 : Fonctions et optimisation (2) - Corrigé

Exercice 1 :

1)a) = 4 − 1500

1)b) ’ est négative sur 200; 375 puis positive sur 375; 4 000 : est donc décroissante sur 200; 375 puis croissante sur 375; 4 000.

2)

200 375 4 000

Variations de

3) Pour 375 voitures, coût minimum de 1 718 750 €.

4) a) = 9000 − = −2² + 10 500 − 2 000 000 b) ’ = −4 + 10 500 : point critique = 2 625

′′ = −4 donc ′′ = −4 < 0 : maximum en 2 625

Bénéfice maximal de 11 781 250 € pour 2 625 voitures vendues.

Exercice 2 :

500 = 20 peut se traduire par : pour une quantité produite de 500, la production d’une unité supplémentaire coûte 20 à l’entreprise.

Si le produit est vendu 25, sachant que la production coûte 20 pour une unité supplémentaire, le bénéfice sera de 5 par unité supplémentaire produite, il est donc intéressant d’augmenter un peu la production.

En revanche, si l’article est vendu 15, la production supplémentaire serait à perte.

Exercice 3 :

1) = − = 100 − 60 + 2 = 40 − 2 = 40 − 4 qui s’annule pour ^∗ = 10

= −4 < 0 : la fonction admet donc un maximum pour ^∗ = 10 de valeur 10 = 200

2) Dans ce cas, = − = 50 − 60 + 2 = −10 − 2 < 0, l’entreprise travaille à perte.

Exercice 4 : = 100 −1

2 ⇔ 1

2 = 100 − ⇔ = 200 − 2

= − = × − 60 + 2 = 200 − 2 × − 60 + 2

= 200 − 2− 60 − 2 = 140 − 4 = 140 − 8 qui s’annule pour ^∗ = 17,5

= −8 < 0 : la fonction admet donc un maximum pour ^∗ = 17,5 de valeur 17,5 = 1225

1 780 000 28 000 000

1 718 750

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FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 2 Page 2 Exercice 5 :

1. % =_'^&− (^')&

% = −_'^&_*− (^')& < 0 donc la fonction % est concave.

2. %1 =^&_&− ( = 1 − 1 = 0 3. % < 0 donc %′ est décroissante.

Or %1 = 0 donc %′ est positive sur 0; 1 et négative sur 1; +∞

Ainsi, % est croissante puis décroissante donc % présente un maximum en 1 de valeur %1 = −1 Exercice 6 :

1. ,0 = 10 : à - = 0, le PIB est de 10 milliards de dollars

,0,5 = 10 × 1,05^,. ≈ 10,25 : au bout de 6 mois, le PIB est de 10,25 milliards de dollars ,2 = 10 × 1,05 ≈ 11,025 : au bout de 2 ans, le PIB est de 11,025 milliards de dollars 2. D’après la forme de ,-, le taux de croissance du PIB est de 5% par an.

3. ,- = 20 ⇔ 10 × 1,05⁰= 20 ⇔ 1,05⁰ = 2 ⇔ - ln 1,05 = ln 2 ⇔ - =_{34 &..}³⁴ ≈ 14,2

Il faudra un peu plus de 14 ans (14 ans et 2 mois et demi environ) pour que le PIB soit multiplié par 2.

4. 60 = 20 : à - = 0, le PIB est de 10 milliards de dollars

60,5 = 20 × 1,02^,. ≈ 20,20 : au bout de 6 mois, le PIB est de 20,2 milliards de dollars 62 = 20 × 1,02 ≈ 20,808 : au bout de 2 ans, le PIB est de 20,808 milliards de dollars D’après la forme de 6-, le taux de croissance du PIB est de 2% par an.

,- = 40 ⇔ 20 × 1,02⁰ = 40 ⇔ 1,02⁰ = 2 ⇔ - ln 1,02 = ln 2 ⇔ - = ln 2

ln 1.02 ≈ 35 Il faudra environ 35 ans pour que le PIB soit multiplié par 2.

5. ,- > 6- ⇔ 10 × 1,05⁰ > 20 × 1,02⁰ ⇔1,05⁰

1,05⁰ > 2 ⇔ 81,05 1,029

0 > 2 ⇔ - ln 81,05

1,029 > ln 2

⇔ - > ln 2 ln :1,051,02;

⇔ - ≥ 24

Il faudra 24 ans pour le premier pays dépasse le deuxième.

Remarque : Le premier pays a un PIB plus faible au départ mais un taux de croissance annuel plus grand que le deuxième, il est donc logique qu’il le rattrape au bout de quelques années.

Exercice 7 :

Pour les voyages de moins de 60 km, une hausse de 1% du prix entraine une baisse approximative du volume de trafic de 0,4%. De même pour les voyages de plus ou moins 300 km, une hausse de 1% du prix entraine une baisse approximative du volume de trafic de 0,9%.

La baisse est plus importante pour les longs trajets car il existe d'autres modes de transports alternatifs, l'avion par exemple.

Exercice 8 : e = >? × ?

>? = 8000 × −1,5?^),. × ?

8000?^)&..= −1,5

Une augmentation de 1% du prix du bien entraine une baisse approximative de la demande de 1,5%.

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FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 2 Page 3 Calcul de la baisse exacte :

Si le prix augmente de 1% à partir de 4, il donne 4 × :1 +_&^& ; = 4,04.

Pour trouver le pourcentage de variation de la demande, nous devons calculer >4 et >4,04 puis calculer la variation relative en pourcentage :

>4,04 − >4

>4 × 100 =8000 × 4,04^)&,.− 8000 × 4^)&..

8000 × 4^)&.. × 100 ≈ −1,481 Donc le pourcentage de baisse est exactement de 1,481 %.

Exercice 9 : La fonction de production de James Cobb et Paul Douglas 1) @; A = BA

Avec la contrainte : C; A = 1000 ⇔ 50 + 100A = 1000 ⇔ + 2A = 20 ⇔ A = 10 − 0,5 Cela revient à maximiser la fonction D = @; 10 − 0,5

2)On remplace : D = @; 10 − 0,5 = B10 − 0,5 = B10 − 0,5² D = 10 −

2B10 − 0,5²

Dénominateur positif donc dérivée du signe de 10 − . 3) D est croissante sur 0; 10 et décroissante sur 10; 20 : Maximum pour = 10 et donc A = 5

4) D10 = √50 donc maximum de √50 pour sous la contrainte C; A = 1000.

Exercice 10 : 1. e = @- × -

@- = −6- × -

−3- = −6-

−3- = 2

Une augmentation de 1% de - entraine une augmentation approximative de @- de 2%.

e = C ×

C = 2

2√+ 1×

√+ 1= 2

2+ 1 = + 1 2. a)

e = FG × G

FG = 0,4 × 1,06G^,H× G

0,4G^&,H= 1,06

b) Selon ce modèle, si les dépenses augmentent de 1%, le volume du trafic augmente approximativement de 1,06 %.

Exercice 11 :

Si le budget n'est pas réduit, c'est qu'il est stable ou croissant donc ’ ≥ 0. Si le taux de croissance se réduit, alors ′′ ≤ 0.