TD 1 : Fonctions et optimisation - Corrigé

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FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 1 Page 1

TD 1 : Fonctions et optimisation - Corrigé

Exercice 1 :

= ln 6 + ln 7 − ln 2 = ln6 × 7 − ln 2 = ln42 − ln2 = ln 42

2 = ln21 = 3 ln 4 − 5 ln 2 = ln4 − ln2 = ln64 − ln32 = ln 64

32 = ln2 = ln3√3 = ln3 + ln√3 = ln3 +1

2 ln3 =3 2 ln3

= ln√17 − 4 + ln√17 + 4 = ln √17 − 4√17 + 4 = ln √17− 4 = ln 1 = 0 = ln5 + 2√6 + ln5 − 2√6 = ln 5 + 2√65 − 2√6 = ln 5− 2√6 = ln 1 = 0

Exercice 2 : a = ×

× = ^!"×

!× = ^!_# = ^$

b) % = ^&'#× ^'#&= &'#('#& = ^! = c % = ^&

*'#&(

'&( × ^'&^*= ^&^*'#&(''&(× ^'&^* = ^&^*^'&× ^'&^* = ^'&

d % = ^&'!^#× ^#&(!

,&'!^# = ^!&'#× ^!&(

#&'# = ^#&'!_#&'# = #&'!'#&'# =

Exercice 3 : 1)

= log16 + log5 − ln 1 =ln 16 ln 2 +ln 5

ln 5 − 0 =ln2^#

ln 2 + 1 =4 ln 2

ln 2 + 1 = 4 + 1 = 5 = log_/7^,+ log3 × 81 = 6 log_/7 + log3 = 6 + 5 log3 = 6 + 5 = 11 = log_#80 − log_#5 = log_#80

5 = log^#16 = log#4 = 2 log#4 = 2 = 2 log_!"40 − log_!"8 = log_!"40 − log_!"8 = log_!"1600

8 = log^!"200 =ln200 ln10

=ln2 + ln100

ln10 = ln2

ln10 +2 ln10

ln10 = ln2

ln10 + 2 = log^!"2 + 2 2)

ln % = 7 ⇔ % = ^/ ^& = 3 ⇔ % = ln 3 3^&= 5 ⇔ % ln 3 = ln 5 ⇔ % =²³₂₃

log_&27 = 3 ⇔^{23 /}_{23 &} = 3 ⇔ ln % =^{23 /} =²³ = ln 3 ^& = 5 ⇔ 2% = ln 5 ⇔ % =²³

&'= 1 ⇔ % − 3 = ln 1 ⇔ % = 3 ln3% − 1 = 2 ⇔ 3% − 1 = ⇔ 3% = + 1 ⇔ % =⁴^*^(!

ln2% − 3 ≤ 0 ⇔ 2% − 3 ≤ ^" ⇔ 2% − 3 ≤ 1 ⇔ 2% ≤ 4 ⇔ % ≤ 2

ln2% + ln 3 = ln4% + 3 ⇔ ln6% = ln4% + 3 ⇔ 6% = 4% + 3 ⇔ 2% = 3 ⇔ % = log% = 1 ⇔^{23 &}₂₃= 1 ⇔ ln % = ln 5 ⇔ % = 5

2^& = 64 ⇔ % ln 2 = ln 64 ⇔ % ln 2 = ln2^, ⇔ % ln 2 = 6 ln 2 ⇔ % = 6 9^& = 729 ⇔ % ln 9 = ln 729 ⇔ % ln 9 = ln9 ⇔ % ln 9 = 3 ln 9 ⇔ % = 3

(2)

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 1 Page 2 Pour % > 0, ln3% = 3 ln % ⇔ ln3% = ln% ⇔ 3% = % ⇔ %%− 3 = 0

⇔ % = 0 ou % = √3 ou − √3 Mais % > 0 donc la seule solution est √3

& = 3 ^&⇔ ln ^& = ln3 ^& ⇔ 2% = ln 3 + % ⇔ % = ln 3

&(#> 1 ⇔ % + 4 > 0 ⇔ % > −4 ^& < ^&(! ⇔ 2% < % + 1 ⇔ % < 1

&' = −2 : impossible car ^&' > 0 Exercice 4 :

1) =^>% = %^>× ln % + % × ln %′ = 1 × ln % + % ×^!_&= ln % + 1

=^>>% =1

% + 0 =1

% > 0

Donc la fonction = telle que =% = % ln % est convexe.

2) =% = √% donc =^>% = _√&^!

On applique la formule de la dérivée de ^!_@ :

=^>>% = −2√%^>

2√% = −

√%1

4% = − 1 4%√%< 0 La fonction racine carrée est donc concave.

3) A^>% = 3 × 4%+ 5 × 2% + 2 × 1 + 0 = 12%+ 10% + 2 A^>>% = 12 × 3%+ 10 = 36% + 10 > 0

La fonction A telle que A% = 3%^# + 5%+ 2% + 1 est donc convexe.

Exercice 5 :

Calculer, à l’aide des formulaires, la dérivée des fonctions suivantes : 1) =^>% = −3 × 2% + 7 × 1 = −6% + 7

2 =^>% = − 5 5% − 1 3 =′% = 2%B

@> × ln %C

D + %B

@ ×1

D>%E

= 2% ln % + % 4 =′% = 3 ^&−2

% + 1 2√%

5 =′% =6% − 22% + 3 − 3%− 2% + 1 × 2

2% + 3 = 12% + 14% − 6 − 6% − 4% + 2 2% + 3

=12%+ 14% − 6 − 6%+ 4% − 2

2% + 3 = 6%+ 18% − 8 2% + 3 6 =′% = 7 × 5 × 5% + 3^, = 355% + 3^, 7 =′% = 6% × ^&+ 3%× ^&= 6% + 3% ^&

8 =′% = 2 ^&(

9 =′% = −3% + 1^>

3% + 1 = −23% + 1

3% + 1^# = − 2 3% + 1

(3)

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 1 Page 3 10 =′% = 6%

3%+ 1 11 =′% = 6% + 2

2√3%+ 2% + 5 Exercice 6 :

1) =′% = −10% + 20

La dérivée s’annule en %_" = 2, elle est positive sur] − ∞; 2[ et négative sur ]2; +∞[

La fonction = est donc croissante sur] − ∞; 2[ et décroissante sur ]2; +∞[.

On en déduit que = admet un maximum atteint en %_" = 2 de valeur =2 = −20 + 40 + 3 = 23 Autre méthode : après avoir déterminé le point critique %_" = 2, on calcule la dérivée seconde :

=^>>% = −10 donc =^>>2 = −10 < 0 ainsi = admet un minimum en 2 de valeur 23.

2) A′% = 6% − 4% + 2

∆= −4− 4 × 6 × 2 = −32 < 0

La dérivée ne s’annule pas donc la fonction A n’admet pas d’extremum.

3) ℎ′% = 2% − 2 ^&^*^'&(

ℎ^>% = 0 ⇔ % = 1

La dérivée est négative sur ] − ∞; 1[ puis positive sur ]1; +∞[.

La fonction ℎ est donc décroissante sur ] − ∞; 1[ puis croissante sur ]1; +∞[. On en déduit que ℎ admet un minimum en %_" = 1 de valeur ℎ1 = ^!'(=