TD 5 : Compléments sur les fonctions - Corrigé

TD 5 : Compléments sur les fonctions - Corrigé

Exercice 1 : EDHEC 2009

Dans cet exercice, on considère la fonction définie comme suit : 0 1, et pour tout non nul de ! ∞; 1$, !

1 ! ln1 !

1. est continue sur ! ∞; 0$et 0; 1$ comme quotient de fonctions continues de dénominateur non nul.

Il reste à étudier la continuité en 0 :

ln1 ! ~_& ! donc 1 ! ln1 ! ~_& ! 1 ! ~_& ! et donc ~_&!

! ~^& 1 Ainsi lim_(→& 1 0

est donc continue en 0 et donc sur ! ∞; 1$.

2. a) Au voisinage de 0, ln1 + !⁽_-^,+ .^- donc ln1 ! ! !^/(_- ^,+ .^- Ainsi ln1 ! ! !⁽_-^,+ .^-

b) On étudie le taux d’accroissement de la fonction en 0 : ! 0

! 0

1 ! ln1 ! ! 1!

! ! 1 ! ln1 ! 1 ! ln1 !

! ! 1 ! ln1 ! 1 ! ln1 ! On détermine ensuite un DL à l’ordre 2 au voisinage de 0 du numérateur :

A l’ordre 1, ln1 ! ! + . donc à l’ordre 2, ln1 ! !^-+ .^- 1 ! ln1 ! ln1 ! ! ln1 ! _& ! !^-

2 + ^- + .^- _& ! +^-

2 + .^- Et donc ! ! 1 ! ln1 ! _&! ! 2! +^-

2 3 + .^{- &}!^-

2 + .^- On en déduit que ! ! 1 ! ln1 ! ~_& !^-

On a vu à la question 1. que 1 ! ln1 ! ~_&2! donc 1 ! ln1 ! ~_& !^-

Conclusion : ! ! 1 ! ln1 ! 1 ! ln1 ! ~^&

! 2^-

!^- ~_&1 2 Finalement ∶ lim_(→& ! 0

! 0 1 2

On en déduit que est dérivable en 0 et que ^;0 ^<_-.

3. a) est dérivable sur ! ∞; 0$ et 0; 1$ comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul.

Exercice 2 : EDHEC 2003

4. a On détermine un DL à l’ordre 2 au voisinage de 0 du numérateur : A l’ordre 1, >⁽ 1 + + .() donc à l’ordre 2, >⁽ + ^-+ .^- De plus, à l’ordre 2, >⁽ = 1 + +^-

2 + .(^-) Donc >⁽! >⁽=_& + ^-! 21 + +^-

2 3 + .(^-) =_&− 1 +^-

2 + .(^-) Enfin >⁽! >⁽+1 =_& ^-

2 + .(^-) On en déduit que >⁽! >⁽+1 ~_& ^- De plus >⁽!1 ~_& donc (>⁽− 1) ~2_& ^-

Conclusion : >⁽! >⁽+1 (>⁽− 1) ~^&

^- 2^- ~_& 1

2 Finalement ∶ lim_(→&^; = 1

2

b) est continue sur ℝ, de classe A^< sur !∞;0$ et 0; +∞$ et ^; a une limite finie quand tend vers 0 donc est de classe A^< sur ℝ et ’0) =^<_-.

Exercice 3 : EML 2009

Partie I : Étude d'une fonction

c On détermine un DL à l’ordre 2 au voisinage de 0 du numérateur : A l’ordre 1, >⁽ 1 + + .() donc à l’ordre 2, >⁽ + ^-+ .^- De plus, à l’ordre 2, >⁽ = 1 + +^-

2 + .(^-) Donc >⁽! >⁽=_& 1 + +^-

2 −( + ^-) + .(^-) =_& 1 −^-

2 + .(^-) Enfin >⁽! >⁽!1 =_&−^-

2 + .(^-) On en déduit que >⁽! >⁽!1 ~_& −^- De plus >⁽!1 ~_& donc (>⁽− 1)^-~_&2^-

Conclusion : >⁽! >⁽!1

(>⁽− 1)^-~_& ^-~_& − 2^-

^- ~_& −1 2 Finalement ∶ lim_(→&^; = !1

2

d) est continue sur ℝ, de classe A^< sur !∞;0$ et 0; +∞$ et ^; a une limite finie quand tend vers 0 donc est de classe A^< sur ℝ et ’0) = −^<_-.

Partie II : Étude d'une suite récurrente associée à la fonction B

Partie III : Étude d'une fonction définie par une intégrale

Exercice 4 : ECRICOME 2005

Exercice 5 : EDHEC 2004

Quand tend vers 0^/, !^<₍ tend vers +∞

_C !>^CD

E !>^DC

E → !∞ car E =_FG.>^DC

3. a Lorsque J est dans un voisinage de 0, >^K = 1 + J +J^-

2 + .(J^-) b Au voisinage de + ∞ et ! ∞, !M

tend vers 0 ∶ >^/C(_±G= 1 −M

+O− MP^-

2 + . QO−M P

-R = 1 −M + M^-

2^- + . Q1 ^-R On en déduit que _C = >^/ST_±G= ! M +^C_-(^,+ . O^<₍P

6.

« télescopage » partielle

Exercice 6 : 1) − 1

^- ~_& − 1

^- → −∞ donc, par composée, exp Q − 1

^- R → 0 = (0) On en déduit que la fonction est continue en 0.

La continuité sur !∞;0$ et 0; +∞$ est évidente par quotient et composée de fonctions usuelles.

2) − 1 ^- ~_G

^-~_G1

→ 0 donc, par composée, exp Q − 1

^- R → 1 en − ∞ et + ∞ La droite d’équation V 1 est donc asymptote à W en !∞ et + ∞.

Exercice 7 :

Soit la fonction définie sur ℝ par : X^(/<( exp O^<₍P si ≠0 0 si = 0

Soit W sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

1) Étudier la continuité de f en 0. Conséquences pour W ? Attention ici à bien distinguer les limites en 0^/ et en 0^F: En 0^/:1

→ −∞

!1

~^& −1

⇒ − 1

exp Q1

R ~^& −1

exp Q1 R On sait que lim _/GE>^D =0 donc lim _&[ −1

exp Q1

R = 0 = (0) En 0^F, pas de FI, la limite est égale à +∞.

Conclusion : est continue à gauche de 0 mais pas à droite.

Graphiquement : la courbe de admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale en 0^F. 2) Étudier les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition. Asymptotes ?

!1 ~^G

~^G1 ⇒ () ~_Gexp Q1 R → 1

La droite d’équation V 1 est asymptote (horizontale) à la courbe de en !∞ et +∞.

Exercice 8 :

Soit la fonction définie par = √1 + − 1

si ≠ 0 et (0) =1 2 1) Donner l’ensemble de définition I de .

est définie sur ^ $!1; +∞$

2) Étudier la continuité de sur I.

Continuité en 0 :

√1 + =_& 1 +1

2 + .() ⇒ √1 + − 1 =^& 1

2 + .() ⇒ √1 + − 1~^& 1

2 ⇒ ()~^& 1 2

⇒lim_& =1

2 = (0) ∶ est continue en 0

La continuité sur le reste de l'intervalle est classique.

3) Donner les limites de aux bornes de son ensemble de définition.

√1 + − 1

~_FG √1 +

~^FG √

~^FG 1

√ → 0 …

lim _FG =0 : l’axe des abscisses est asymptote (horizontale) à la courbe de en +∞.

Exercice 9 :1) Comparer au voisinage de 0 les fonctions suivantes : a) >⁽! 1^- et ln + 1

>⁽! 1^-~_&^- et ln + 1 ~_&^- donc >⁽! 1^-~_& ln + 1 b) exp O!₍^<_,P et ^`.

exp O! 1^-P ^` 1

^`exp Q! 1

^-R a 1

^bexp Q! 1 ^-R On pose E ! 1

^- : 1

^bexp Q! 1

^-R E^-expE → 0 quand E → !∞

Ainsi, par produit, a 1

^bexp Q! 1

^-R → 0 Conclusion : exp Q! 1

^-R _& .^`

2) Déterminer un équivalent au voisinage de +∞des expressions suivantes : a) ^{`</sup>+ <sup>cd</sup>! <sup>`}! ^cd

^{`</sup>+ <sup>cd</sup>! <sup>`}! ^{cd `}! ^cde^f(dF(g

cd

(^d/(^cd! 1h O^`1 !₍^<_dP^cd2O⁽₍^d_d^F(_/(P

cd

! 13 Q1 ! 1

^`R

<`

ijjkjjl

→<

mQ1 + 2 ^- ! 1R

<`

! 1n ~_& mQ1 + 2 ^-! 1R

<`

! 1n 1 + J^o_& 1 + pJ + .J ⇒ 1 + J^<` =_& 1 +1

3 J + .J ⇒ 1 + J^<`! 1~_& 1 3 J

⇒ Q1 + 2 ^-! 1R

<`

! 1 ~_FG 1

3 a 2

^- ! 1 ~^FG 2 3^-

⇒ ^{`</sup>+ <sup><`}! ^{`</sup>! <sup><`}_FG~ 2 3

b) ln + 1 ! + 1 ln ln + 1 ! ln ! ln ln + 1 ! ln ! ln ln O1 +₍^<P ! ln

ln Q1 +1

R ~^FG a1

~^FG1 ⇒ ln Q1 +1

R ^FG.ln ⇒ ln + 1 ! + 1 ln ~_FG! ln

Exercice 10 : Illustration graphique des développements limités

1) Écrire une ligne de commande permettant de tracer les courbes A_q et A_r des fonctions et s définies par :

ln1 + et s !^-

2 on fera varier entre ! 0,999 et 4.

x=-0.999:0.01:4 ;x=x’ ;plot2d(x,[log(1+x),x-x.^2/2])

2) Écrire une ligne de commande permettant de tracer les courbes A_q et A_r des fonctions et s définies par :

>⁽ et s =1 + +^-

2 on fera varier entre − 2 et 2.

x=-2:0.01:2 ;x=x’;plot2d(x,[exp(x),1+x+x.^2/2])

Exercice 11 :

Écrire une ligne de commande permettant de tracer la courbe A_q de fonction définie par : 1

u√2vexp 2−( − w)^- 2u^- 3

On demande sur un même graphique les courbes correspondant à w 0 et u^- 1, w 0 et u^- 2, w 0 et u^- 0,25. On fera varier dans l’intervalle $!4;4 .

function [y]=f(x,sigma)

y=1/(sigma*sqrt(2*%pi))*exp(-x.^2/(2*sigma^2)) endfunction

x=-4:0.1:4;x=x’;plot2d(x,[f(x,1),f(x,sqrt(2)),f(x,sqrt(3))])