TD 5 : Compléments sur les fonctions
Exercice 1 : EDHEC 2009
Dans cet exercice, on considère la fonction définie comme suit : (0) = 1, et pour tout non nul de ] − ∞; 1[, () = −
(1 − ) ln(1 − ) 1. Montrer que est continue sur ] − ∞; 1[.
2. a) Déterminer le développement limité de ln(1 − ) à l'ordre 2 lorsque est au voisinage de 0.
b) En déduire que est dérivable en 0, puis vérifier que $(0) =%&.
3. a) Montrer que est dérivable sur ] − ∞; 0[ et ]0; 1[ . Calculer $() pour tout ∈] − ∞; 0[∪]0; 1[. b) Déterminer le signe de la quantité ln(1 − ) + lorsque appartient à ] − ∞; 1[ puis en déduire les variations de .
c) Déterminer les limites de aux bornes de son domaine de définition, puis dresser son tableau de variation.
4. a) Établir que, pour tout * ∈ ℕ∗, il existe un seul réel de [0;1[, noté -., tel que (-.) = * et donner la valeur de -%.
b) Montrer que la suite (-.) converge et que lim -.= 1.
Exercice 2 : EDHEC 2003 1. Montrer que ∶ ∀ ∈ ℝ∗,45− 1
> 0.
On considère la fonction définie sur ℝ par ∶ :() = ln ;45− 1
< si ≠ 0 (0) = 0 2. Montrer que est continue sur ℝ.
3. Montrer que est de classe >% sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[, puis préciser ’() pour tout ∈ ℝ∗. 4. a) Montrer que lim5→B’() =1
b) En déduire que est de classe >2 % sur ℝ et donner ’(0).
5. a) Étudier les variations de la fonction D définie par : ∀ ∈ ℝ, D() = 45− 45+ 1.
b) En déduire le signe de D(), puis dresser le tableau de variations de (limites comprises).
On considère la suite (-.) définie par la donnée de son premier terme -B> 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel * : -.E%= (-.).
6. Montrer que : ∀* ∈ ℕ, -.> 0.
7. a) Vérifier que : ∀ ∈ ℝ, () − = (−). b) En déduire le signe de () − sur ℝE∗. c) Montrer que la suite (-.)est décroissante.
8. En déduire que (-.) converge et donner sa limite.
Exercice 3 : EML 2009
On note : ℝ → ℝ l$application définie, pour tout ∈ ℝ, par : F
45− 1 si ≠ 0 1 si = 0 Partie I : Étude d'une fonction
1. a) Montrer que est continue sur ℝ.
b) Justifier que est de classe >% sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[, puis préciser ’() pour tout ∈ ℝ∗.
c) Montrer que lim5→B’() = −1 2
d) En déduire que est de classe >% sur ℝ et donner ’(0).
2. a) Étudier les variations de l'application ∶ℝ → ℝ, définie, pour tout ∈ ℝ, par -() = (1 − )45− 1 b) Montrer : ∀ ∈ ℝ, ′() < 0.
c) Déterminer les limites de en −∞ et en +∞. Dresser le tableau des variations de .
d) Montrer que la courbe représentative de admet une droite asymptote, lorsque la variable tend vers −∞.
e) Tracer l'allure de la courbe représentative de .
Partie II : Étude d'une suite récurrente associée à la fonction I
On considère la suite (-.) définie par la donnée de son premier terme -B= 1 et par la relation, valable pour tout entier naturel * : -.E%= (-.).
1. Montrer que admet un point fixe et un seul, noté J, que l'on calculera.
2. a) Établir : ∀ ∈ [0; +∞[, 4&5− 245− 1 ≥ 0 b) Montrer ∶ ∀ ∈]0; +∞[, $() +1
2 =4&5− 245− 1 2(45− 1)&
c) Montrer ∶ ∀ ∈ [0; +∞[, −1
2 ≤ $() < 0 d) Etablir ∶ ∀* ∈ ℕ, |-.E%− J| ≤1
2 |-.− J|
3. En déduire ∶ ∀* ∈ ℕ, |-.− J| ≤ 1 2.(1 − J) 4. Conclure que la suite (-.) converge vers J.
Partie III : Étude d'une fonction définie par une intégrale
On note Q : ℝ → ℝ l$application définie, pour tout ∈ ℝ, par Q() = R (S)TS&5
5 .
Montrer que Q est de classe >% sur ℝ et que, pour tout ∈ ℝ : Q$() = U (3 − 45)
4&5− 1 si ≠ 0 1 si = 0
2. a) Montrer : ∀ ∈ [0; +∞[, 0 ≤ Q() ≤ (). En déduire la limite de Q en +∞.
b) Montrer : ∀ ∈ ]−∞; 0], Q() ≤ (). En déduire la limite de Q en −∞.
3. Dresser le tableau des variations de Q. On n'essaiera pas de calculer Q(ln 3).
Exercice 4 : ECRICOME 2005
On considère, pour tout entier naturel *, l’application V. définie sur ℝ par :
∀ ∈ ℝ, V.() = (1 − ).4W&5ainsi que l’intégrale : X.= R V% .()T
B
On se propose de démontrer l’existence de trois réels Y, Z, [ tels que : X.= Y +Z
* + [
*&+1
*&\(*) avec lim.→E^\(*) = 0 1. Calculer XB , X%.
2. Étudier la monotonie de la suite (X.).
3. Déterminer le signe de X. pour tout entier naturel *. 4. Qu’en déduit-on pour la suite (X.) ?
5. Majorer la fonction D: ↦ 4W&5 sur [0,1].
6. En déduire que ∶ ∀* ∈ ℕ∗, 0 ≤ X.≤ 1
* + 1
7. Déterminer la limite de la suite (X.) lorsque * tend vers +∞.
8. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : ∀* ∈ ℕ, 2X.E%= 1 − (* + 1)X. 9. En déduire la limite de la suite (*X.) lorsque * tend vers +∞.
10. Déterminer la limite de la suite (*(*X.− 1)) lorsque * tend vers +∞. 11. Donner alors les valeurs de Y, Z, [.
Exercice 5 : EDHEC 2004
Dans ce problème, la lettre * désigne un entier naturel non nul.
On note . la fonction définie sur ℝ par : F.() = 4Wbc si ≠ 0 .(0) = 0
On note >. la courbe représentative de . dans un repère orthonormé (d; e⃗, g⃗). 1. a) Montrer que . est continue à droite en 0.
b) Montrer que . est dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en 0 de ..
2. a) Montrer que . est dérivable sur ]−∞,0[ et sur ]0,+∞[.
Pour tout réel non nul, calculer ’.() puis étudier son signe.
b) Calculer les limites de . en +∞, −∞ et 0W, puis donner le tableau de variations de .. 3. a) Rappeler le développement limité à l’ordre 2 de 4h lorsque - est au voisinage de 0.
b) En déduire que, lorsque est au voisinage de +∞ ou au voisinage de −∞, on a : .() =±^ − * +*&
2 + j ;1
<
c) En déduire qu’au voisinage de +∞, ainsi qu’au voisinage de −∞, >. admet une asymptote oblique k. dont on donnera une équation.
Préciser la position relative de k. et >. aux voisinages de +∞ et de −∞.
d) Donner l’allure de la courbe >%.
4. a) Montrer qu’il existe un unique réel, que l’on notera -., tel que .(-.) = 1.
b) Vérifier que, pour tout * de ℕ∗, -. est strictement supérieur à 1 et que -. est solution de l’équation ln = *.
c) Étudier la fonction D définie sur [1,+∞[ par D() = ln . En déduire, en utilisant la fonction DW%, que lim.→E^-.= +∞.
d) Justifier la relation ln(-.) + ln(ln(-.)) = ln(*), puis montrer que ln(-.) ∼E^ln(*).
En déduire un équivalent de -. lorsque * est au voisinage de +∞.
5. a) Montrer que la suite (-.) est strictement croissante.
b) Montrer que ∶ . (-.E%) = 4hbmn% 6. On pose X.= Rhbmn.(S)TS
hb .
a) Montrer que ∶ 1 ≤ X.
-.E%− -.≤ 4hbmn% .
b) En déduire un équivalent de X. lorsque * est au voisinage de +∞.
c) Montrer alors que la série de terme général X. est divergente.
Exercice 6 :
Soit la fonction définie sur ℝ par : () = Fexp p5W%5qr si ≠ 0 0 si = 0
Soit s sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
1) Montrer que est continue en 0 puis sur ℝ.
2) Étudier les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition. Asymptotes ?
Exercice 7 :
Soit la fonction définie sur ℝ par : () = F5W%5 exp p%5r si ≠ 0 0 si = 0
Soit s sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
1) Étudier la continuité de f en 0. Conséquences pour s ?
2) Étudier les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition. Asymptotes ?
Exercice 8 :
Soit la fonction définie par () = √1 + − 1
si ≠ 0 et (0) =1 2 1) Donner l’ensemble de définition I de .
2) Étudier la continuité de sur I.
3) Donner les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
Exercice 9 :1) Comparer au voisinage de 0 les fonctions suivantes : a) (45− 1)& et ln( + 1) b) exp p−5%qr et v.
2) Déterminer un équivalent au voisinage de +∞des expressions suivantes : a) (v+ )nw− (v− )nw b) ln( + 1) − ( + 1) ln()
Exercice 10 : Illustration graphique des développements limités
1) Écrire une ligne de commande permettant de tracer les courbes >x et >y des fonctions et D définies par :
() = ln(1 + ) et D() = −&
2 on fera varier entre − 0,999 et 4.
2) Écrire une ligne de commande permettant de tracer les courbes >x et >y des fonctions et D définies par :
() = 45 et D() = 1 + +&
2 on fera varier entre − 2 et 2.
Exercice 11 :
Écrire une ligne de commande permettant de tracer la courbe >x de fonction définie par :
() = 1
{√2|exp }−( − ~)&
2{&
On demande sur un même graphique les courbes correspondant à ~ = 0 et {&= 1, ~ = 0 et {&= 2,
~ = 0 et {&= 0,25. On fera varier dans l’intervalle [−4; 4].
