Vecteurs propres communs
1 u ◦ v = αu + βv
SoitE unC−espace vectoriel de dimension nie n ≥1. Soit uet v deux endomorphismes de E. Soit α et β deux scalaires.
Montrer queuetv ont un vecteur propre commun dans chacun des cas suivants : 1-u◦v= 0.
2- u◦v=αu 3- u◦v=αu+βv Indications
1- Siv= 0, c'est facile. Sinon remarquer que
Imv⊂Keru et utiliserv0, endomorphisme induit parv surImv.
2-
u◦(v−αId) = 0 doncuetv−αIdont un vecteur propre commun.
3- On supposeαetβ non nuls.
(u−βId)◦(v−αId) =αβId Il sut de montrer que siw∈GL(E), wetw−1ont un vecteur propre commun.
2 u ◦ v − v ◦ u = αu + βv
SoitE unC−espace vectoriel de dimension nien≥1. Soituetv deux endomorphismes deE. Soitαet β deux scalaires.
1- On suppose queu◦v−v◦u= 0. Montrer queuet vont un vecteur propre commun.
2- On suppose queu◦v−v◦u=βv, avecβ non nul. Montrer queuet vont un vecteur propre commun.
3- On suppose queu◦v−v◦u=αu+βv. Montrer queuet vont un vecteur propre commun.
Indications
1- Soit F un sous-espace propre de u. F est stable par v. L'endomorphisme v0 induit par v sur F possède au moins un vecteur propre.
2- SoitF = Kerv. On vérie queF est stable paru. De plus,F 6={0}, car sinon :
v−1◦u◦v−u=βId 3-
u◦
v+α βu
−
v+α βu
◦u=β
v+α βu
3 u ◦ v = v ◦ u
SoitE unC−espace vectoriel de dimension nien≥1. Soituetv deux endomorphismes deE. 1- On suppose queu◦v=v◦u. Montrer queuet v ont un vecteur propre commun.
2- Généraliser à une famille(ui)d'endomorphismes qui commutent.
1
Indications
2- Par récurrence surn= dim (E).
On utilise un sous-espace propreF d'un desui qui n'est pas une homothétie : ui∈/ K.Id, F 6=E, F 6={0}
et on applique l'hypothèse de récurrence aux endomorphismes induits surF.
2
