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Les suites
I. GENERALITES
Activité n°1 page 236 A.
Définitions
Définition 1 :(1) Définir une suite réelle U, c’est associer à tout entier naturel n un nombre réel noté Un.*
(2) Soit n un entier naturel, Un est le terme d’indice n ou de rang n de la suite U. (3) U désignant une suite réelle, Un est appelé terme général de U.
Remarques 1 :
1) La suite U peut aussi se noter (Un), abréviation de (U0,U1, U2, …).
2) Une suite U peut n’être définie qu’à partir d’un certain rang.
Par exemple, la suite U définie par Un = n’est définie qu’à partir du rang 1.
Exercice n°1 page 249
B. Différents modes de génération d’une suite Définition 2 :2 :
Lorsque pour tout n de IN, Un est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents, on dit que la suite U est définie de manière explicite.
Remarque 2 :
En particulier, si f est une fonction définie sur IR*, on définit une suite de manière explicite en posant : pour tout n de IN, Un= f (n).
Exemple :
Soit U la suite de terme général : Un= –2n +
• Le terme de rang 0 de U est U0 = –2 × 0 + = • Le terme de rang 5 de U est U5 = –2 × 5 + = – • Le terme de rang 100 de U est U100 = –2 × 100 + = – On peut calculer les termes de la suite à l’aide d’un tableur : Exercices n°2-7 page 249
Ac tivité n°2 page 236
Définition3 :
Lorsque la suite U est définie par la donnée de ses premiers termes et d’une relation exprimant chaque autre terme en fonction de termes précédents, on dit que la suite U est définie par récurrence
(Récurrence vient du latin recurrere signifiant revenir en arrière.Ce terme est employé en mathématiques depuis le début du XXe siècle)
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Exemples :
1) Soit U la suite définie par : U0 =
Pour tout n de IN, Un+1 = –2Un+ 12 • Le terme de rang 0 de U est U0 =
• Le terme de rang 1 de U est U1 = –2U0 + = –2 × + = - • Le terme de rang 2 de U est U2 = –2U1 + = –2 × - – + = On peut calculer les termes successifs de la suite à l’aide d’un tableur :
2) Soit U la suite définie par U0 = 1, U1 = 2
Pour tout n ≥ 2, Un = Un– 1 + Un– 2 • U2 = U1 + U0 = 2 + 1 = 3.
• U3 = U2 + U1 = 3 + 2 = 5.
On peut calculer les termes de la suite à l’aide d’un tableur :
Remarque 3 :
1) Lorsqu’une suite est définie de manière explicite, chaque terme peut être calculé directement et indépendamment des autres.
2) Lorsqu’une suite est définie par récurrence, pour calculer un terme, il faut avoir déterminée tous ses précédents.
E
n°3 à 6 + n°8 à 10 page 249 + n°11-12 page 250
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C.
Représentation graphique d’une suite
Activité n°3 page 237On peut représenter une suite définie sur IN en plaçant dans un repère du plan les points de coordonnées
(n ; Un).
Exemple :
Soit U la suite définie sur IN par : Un = –
Calculs et représentation de termes dans un repère à l’aide d’un tableur :
On remarque que les points représentant cette suite sont sur la courbe représentant la fonction f définie sur IR+ par f (x) = – car les termes de la suite s’écrivent Un = f (n).
D. Sens de variation d’une suite
Définition 4
Soit u une suite définie sur IN.
(1) Dire que U est strictement croissante signifie que : pour tout n de IN, Un+1 > Un. (2) Dire que U est strictement décroissante signifie que : pour tout n de IN, Un+1 < Un. (3) Dire que U est constante signifie que : pour tout n de IN, Un + 1 = Un.
Remarque 4 :
1) On définit aussi les notions de croissance et décroissance au sens large : – Dire que U est croissante signifie que pour tout n de IN, Un+1 ≥ Un. – Dire que U est décroissante signifie que pour tout n de IN, Un+1 ≤ Un. 2) Une suite toujours croissante ou toujours décroissante est dite monotone.
3) Il résulte de la définition 4 que pour étudier les variations d’une suite, il suffit de comparer pour tout entier naturel n les termes consécutifs Un et Un+1.
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Exemples :
1) Soit U la suite définie sur IN par : Un = 1 – n2
Comparons Un et Un + 1 pour tout entier naturel n quelconque :
n et ( n + 1) sont positifs donc leurs carrés sont rangés dans le même ordre : n2 < (n + 1)2 ;
en multipliant par –1, on obtient : –n2 > –(n + 1)2 ; En ajoutant 1, on obtient : 1 – n2 > 1 – (n + 1)2 ;
D’où Un> Un+1 ou encore Un+1 < Un. Ce qui signifie que U est strictement décroissante.
2) Soit U la suite définie sur IN par : Un= ( )
U0 = 1 et U1 = – d’où U0 > U1 et U n’est pas croissante.
De plus U2 = d’où U1 < U2 et U n’est pas décroissante.
Finalement U n’est pas monotone.
3) Soit U la suite définie sur IN par : Un= – .
Etudions le signe de Un + 1 – Un pour tout entier naturel n quelconque : Un +1 – Un = ( )–
( ) – – = – – – = ( – )( )– ( – )( )
( )( ) = ( )( )
Or pour tout n de IN, n + 3 > 0 et n + 2 > 0, donc pour tout n de IN, Un + 1 – Un > 0.
On en déduit que pour tout n de IN, on a Un + 1 > Un, c’est-à-dire que U est strictement croissante.
Théorème 1 :
Soit f une fonction définie sur IR+ et U la suite définie sur IN par Un= f (n).
(1) Si la fonction f est strictement croissante sur IR+, alors la suite U est strictement croissante.
(2) Si la fonction f est strictement décroissante sur IR+, alors la suite U est strictement décroissante.
Démonstration :
(1) Comparons Un= f (n) et Un + 1 = f (n + 1) : Pour tout n de IN, 0 < n < n + 1 ;
Or f est strictement croissante sur IR+, donc pour tout n de IN, f (n) < f (n + 1), soit pour tout n de IN, Un < Un + 1 , ce qui justifie que U est strictement croissante.
(2) Comparons Un= f (n) et Un + 1 = f (n + 1) : Pour tout n de IN, 0 < n < n + 1 ;
Or f est strictement décroissante sur IR+, donc pour tout n de IN, f (n) > f (n + 1), soit pour tout n de IN, Un > Un + 1 , ce qui justifie que u est strictement décroissante.
