6 Exercices 6.1

6 Exercices

6.1 Etude d’un amplificateur inverseur

Un amplificateur intégré linéaire est associé à deux résistors 𝑅₁= 33𝑘𝛺 et 𝑅₂ = 68𝑘𝛺 comme indiqué sur la figure suivante.

1) Observations expérimentales

En appliquant un signal sinusoïdal d’amplitude crête à crête égale à 10,0 V de fréquence 100 Hz à l’entrée de cet opérateur, on obtient les oscillogrammes de la figure suivante. L’amplitude crête à crête du signal de sortie s’avère égale à 21,7V.

a) Commenter la forme des signaux et leur déphasage. Les observations quantitatives sont-elles conformes aux attentes, compte tenu des valeurs de résistances utilisées ?

b) Dans un deuxième temps, l’utilisateur applique un signal sinusoïdal d’amplitude crête à crête égale à 18,1 V, de fréquence 1,0 kHz à l’entrée du même dispositif et obtient les oscillogrammes suivants.

L’amplitude crête à crête du signal de sortie s’avère égale à 27,0 V. Quel phénomène est apparu ? Que peut-on en déduire comme renseignement de l’amplitude crête à crête relevée en sortie ?

c) Avec les mêmes signaux, mais en sélectionnant le mode XY, le manipulateur obtient la trace représentée à la figure suivante. Expliquer. Quelle propriété de l’opérateur peut-on déduire de l’indication des curseurs : 𝛥𝑋 = 12,4𝑉 et 𝛥𝑌 = 27,2𝑉 ?

2) Modélisation de la rétroaction

On souhaite tenir compte du gain différentiel fini, noté A, de l’amplificateur linéaire intégré. Pour cette étude, on suppose que l’amplitude du signal d’entrée est suffisamment faible pour qu’aucune saturation n’apparaisse.

a) On pose 𝜀 = 𝑉₊− 𝑉₋ différence de potentiels des entrées l’amplificateur intégré. Proposer un schéma fonctionnel composé de 3 blocs linéaires, tels qu’indiqué sur la figure suivante.

b) Exprimer en régime stationnaire le rapport d’amplification 𝐺 =^𝑠

𝑒 de l’opérateur et examiner le comportement dans la limite 𝐴 →∞. Conclure.

3) Etude de la bande passante

a) Justifier que la bande passante de l’opérateur complet est fixée par celle du réseau bouclé formé par le

b) En déduire l’expression de la bande passante de l’opérateur dans l’hypothèse d’un amplificateur linéaire intégré du premier ordre de gain statique 𝐴₀ et de fréquence de coupure 𝑓₀.

c) Proposer une valeur numérique. Conclure sur les observations effectuées au début de l’étude.

1a) Formes des signaux

L’opérateur est linéaire, c’est un amplificateur inverseur. Donc pour un signal d’entrée sinusoïdal, on obtient un signal de sortie sinusoïdal.

De plus, en considérant l’ALI idéal, on obtient : 𝑉+= 𝑉−=

𝑒 𝑅1+^𝑠

𝑅2 1 𝑅1+¹

𝑅2

= 0 ⇒ 𝑠 = −^𝑅_𝑅²

1𝑒 On obtient donc bien un déphasage de 180° entre l’entrée et la sortie.

𝑆_𝑚

𝐸_𝑚= 2,17 𝑒𝑡 ^𝑅_𝑅²

1= 2,06 on obtient un écart relatif de 5%, ce qui est satisfaisant.

1b) Saturation

Pour une amplitude d’entrée trop élevée, le signal de sortie est écrêté, on obtient une saturation. On peut en déduire la tension de saturation : 𝑉_𝑠𝑎𝑡= 13,5𝑉

1c) Mode XY

On observe la caractéristique entrée-sortie du montage avec la zone linéaire et la zone de saturation. Grâce aux curseurs on peut effectuer une mesure plus précise de l’amplification, soit : ^𝛥𝑌_𝛥𝑋= 2,19

2a) Schéma fonctionnel On a : 𝜀 = 𝑉₊− 𝑉₋= −

𝑒 𝑅1+^𝑠

1 𝑅2 𝑅1+¹

𝑅2

= −𝑒 ^𝑅2

𝑅₁+𝑅₂− 𝑠 ^𝑅1

𝑅₁+𝑅₂ ⇒ 𝐶 = − ^𝑅2

𝑅₁+𝑅₂ 𝑒𝑡 𝐵 = ^𝑅1

𝑅₁+𝑅₂ 2b) Rapport d’amplification

𝐺 = −_𝑅^𝑅2

1+𝑅₂ 𝐴 1+𝐴 ^𝑅1

𝑅1+𝑅2

⇒ 𝐺 → −^𝑅_𝑅²

1 𝑠𝑖 𝐴 →∞

Le gain d’un ALI est de l’ordre de 10⁵, l’approximation est donc fondée.

3a) Bande passante

Le bloc C est indépendant de la fréquence, les performances dynamique du montage sont donc celles du réseau bouclé.

3b) Bande passante

La bande passante est donnée par la fréquence de coupure du filtre passe bas, soit : 𝐺 = −_𝑅^𝑅2

1+𝑅₂

𝐴0 1+𝑗𝑓

𝑓0

1+ ^𝐴0

1+𝑗𝑓 𝑓0

𝑅1 𝑅1+𝑅2

= −_𝑅^𝑅2

1+𝑅₂

𝐴₀ 1+𝑗^𝑓

𝑓0+𝐴₀ ^𝑅1

𝑅1+𝑅2

= −_𝑅^𝑅2

1+𝑅₂

𝐴0 1+𝐴0 𝑅1

𝑅1+𝑅2

1+𝑗 ^𝑓

(1+𝐴0 𝑅1 𝑅1+𝑅2)𝑓0

D’où : 𝑓_𝑐 = (1 + 𝐴₀ ^𝑅1

𝑅₁+𝑅₂) 𝑓₀≈ 𝑓₀𝐴₀ ^𝑅1

𝑅₁+𝑅₂ c) Application numérique

𝑓𝑐 = 1𝑀𝐻𝑧

Les observations effectuées précédemment sont effectuées à des fréquences très inférieures à fc, d’où l’absence de déphasage ou d’atténuation.

6.2 Manipulation d’un comparateur à hystérésis

Un comparateur à hystérésis a permis le relevé des oscillogrammes de la figure suivante, lorsque le signal d’entrée est un signal de forme triangulaire d’amplitude crête à crête égale à 14,9 V et de fréquence 100Hz.

1) Laquelle des deux structures de la figure suivante a été utilisée ?

2) Les valeurs de résistances utilisées sont 𝑅₁= 33𝑘𝛺 et 𝑅₂ = 68𝑘𝛺. Les observations sont-elles cohérentes avec ce choix, sachant que l’amplitude crête à crête mesurée en sortie est égale à 27,2 V ?

3) Quel mode de visualisation à l’oscilloscope permet d’obtenir la courbe représentée sur la figure suivante ? 4) Pour cette dernière courbe, l’utilisation d’un signal d’entrée sinusoïdal aurait-elle donné le même relevé ? 1) Structure

Comparateur non inverseur, donc figure de gauche.

2) Observations

𝜀 = 𝑣₊− 𝑣₋ {

> 0 ⇒ 𝑒 > −𝑅₁

𝑅₂𝑉_𝑠𝑎𝑡= 𝐸₋

< 0 ⇒ 𝑒 <𝑅₁

𝑅₂𝑉𝑠𝑎𝑡= 𝐸+

On note que la tension de saturation est égale à : 𝑉_𝑠𝑎𝑡= 13,5𝑉 Donc les seuils de basculement s’effectuent à :±^𝑅1

𝑅₂𝑉_𝑠𝑎𝑡= ±6,6𝑉

Sur l’oscillogramme, les seuils de basculement sont de l’ordre de 6,3V. L’écart relatif est de 5% donc acceptable.

3) Mode de visualisation Mode XY

4) Signal d’entrée

Idem avec signal sinusoïdal.

6.3 Filtre actif

Le schéma suivant est celui d’un filtre actif, réalisé à l’aide d’un amplificateur linéaire intégré, que l’on supposera idéal. Le paramètre noté k est un nombre strictement supérieur à l’unité.

1) Quelle relation permet d’exprimer le potentiel de l’entrée + en fonction de la tension de sortie ?

2) Déterminer la fonction de transfert et la mettre sous la forme : 𝐻(𝑗𝜔) = ^𝐻0

1+2𝑗𝜎^𝜔

𝜔0−^𝜔2

𝜔02

3) De quel type de filtre s’agit-il ?

4) Retrouver la valeur du gain statique sans calcul.

5) Quelle condition sur k assure la stabilité du circuit ? 1) Potentiel de l’entrée +

Diviseur de tension : 𝑉+= 𝑉−=_{𝑟+(𝑘−1)𝑟}^𝑟 𝑠 =_𝑘¹𝑠 2) Fonction de transfert

𝑉_𝐴 =

𝑒 𝑅+^𝑉+

𝑅+𝑗𝐶𝑠𝜔

2

𝑅+𝑗𝐶𝜔 =^{𝑒+𝑉++𝑗𝑅𝐶𝑠𝜔}

2+𝑗𝑅𝐶𝜔 𝑒𝑡 𝑉₊=

1 𝑗𝐶𝜔 1

𝑗𝐶𝜔+𝑅𝑉_𝐴 ⇒ 𝑘𝑒+𝑠(1+𝑗𝑘𝑅𝐶𝜔)

2+𝑗𝑅𝐶𝜔 = 𝑠(1 + 𝑗𝑅𝐶𝜔) ⇒ (𝑘𝑒 + 𝑠(1 + 𝑗𝑘𝑅𝐶𝜔)) = 𝑠(2 + 𝑗𝑅𝐶𝜔)(1 + 𝑗𝑅𝐶𝜔) ⇒

𝑘𝑒 = 𝑠(1 + (3 − 𝑘)𝑗𝑅𝐶𝜔 − 𝑅²𝐶²𝜔²) ⇒ ^𝑠

𝑒= ^𝑘

1+(3−𝑘)𝑗𝑅𝐶𝜔−𝑅²𝐶²𝜔² 3) Type de filtre

Passe bas du second ordre de gain statique k et de pulsation de coupure 𝜔₀= ¹

𝑅𝐶 et de facteur d’amortissement 𝜎 =

(3−𝑘) 2

4) Sans calcul

Basse fréquence : condensateur = circuit ouvert Alors : 𝑉₊= 𝑒 𝑒𝑡 𝑉₊=^𝑠

𝑘 ⇒ ^𝑠

𝑒= 𝑘 5) Stabilité du circuit

Coefficient du dénominateur tous positifs : 3 − 𝑘 > 0 ⇒ 𝑘 < 3

6.4 Intégrateur réalisé à l’aide d’un amplificateur linéaire intégré

On considère l’opérateur de la figure suivante couramment appelé intégrateur-inverseur. On se propose de déterminer l’influence, sur sa fonction de transfert, de la variation de gain différentiel de l’amplificateur linéaire intégré avec la fréquence.

On utilisera les valeurs R = 1 kΩ et C = 100 nF ainsi que les paramètres caractéristiques de l’amplificateur intégré : gain statique A0 = 10⁵ et fréquence de coupure f0 = 30 Hz.

1) Dans le modèle d’ALI idéal, quelle est la fonction de transfert 𝐻 =^𝑠

𝑒 de l’opérateur ?

2) On tient compte à présent du gain fini 𝐴𝑑 de l’ALI. Proposer une nouvelle expression de la fonction de transfert, en faisant intervenir 𝐴_𝑑.

3) Dans le modèle d’un gain prenant la forme d’une fonction de transfert du premier ordre de gain statique A0 et de fréquence de coupure f0, mettre la fonction, de transfert de l’opérateur sous la forme d’une fonction du second ordre.

1) ALI idéal 𝑉₊= 𝑉₋=

𝑒 𝑅+𝑗𝑠𝐶𝜔

1

𝑅+𝑗𝐶𝜔 = 0 ⇒ ^𝑠

𝑒= − ¹

𝑗𝑅𝐶𝜔 Il s’agit bien d’un intégrateur inverseur 2) Gain fini

𝑠 = 𝐴_𝑑𝜀 = 𝐴_𝑑(𝑉₊− 𝑉₋) = −𝐴_𝑑^{𝑒+𝑗𝑅𝐶𝜔𝑠}

1+𝑗𝑅𝐶𝜔 ⇒ 𝑠 (1 + 𝑗𝑅𝐶𝜔 (1 + 𝐴_𝑑)) = −𝐴_𝑑𝑒 ⇒ ^𝑠

𝑒= ^−𝐴𝑑

1+𝑗(1+𝐴_𝑑)𝑅𝐶𝜔 3) Fonction de transfert

𝑠 𝑒=

− ^𝐴0

1+𝑗𝜔 𝜔0

1+𝑗(1+ ^𝐴0

1+𝑗𝜔 𝜔0

)𝑅𝐶𝜔

= − ^𝐴0

1+𝑗((1+𝐴₀)𝑅𝐶+¹

𝜔0)𝜔−𝑅𝐶^𝜔2

𝜔0

4) Factorisation

𝑠

𝑒= − ^𝐴0

1+𝑗((1+𝐴₀)𝑅𝐶+¹

𝜔0)𝜔−𝑅𝐶^𝜔2

𝜔0

≈ − ^𝐴0

(1+𝑗𝐴₀𝑅𝐶𝜔)(1+𝑗 ^𝜔

𝐴0𝜔0) si 𝐴0𝑅𝐶 ≫_𝐴¹

0𝜔₀ 5) Comportement approché

1

𝐴₀𝑅𝐶 = 1𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑒𝑡 𝐴₀𝜔₀= 1,9.10⁷𝑟𝑎𝑑/𝑠

Entre 1 kHz et 1 MHz, pente de -20 dB/decade, on peut supposer que le montage se comporte comme un intégrateur inverseur.