IUP GCI 1 2002/2003 A.Mizrahi
TD 6
Calcul différentiel
Exercice 1: Déterminer les développements limités des fonctions suivantes en 0.
1)cos(x)−sin(x)à l’ordre 5.
2)excosxà l’ordre 4.
3)xln(1 +x)à l’ordre 2.
4)cos(3 +x)à l’ordre2.
5)cos(ex−1)à l’ordre 4.
6)p
cos(x)à l’ordre 4.
Exercice 2: SoitMun point matériel se trouvant à l’instanttau point de coordonnées(t; sin(t); cos(t)), quel est le mouvement du pointM déterminer la vitesse et l’accélération deM à l’instantt.
Exercice 3: Soit ϕ(t) = (4t√
t;t2 −9t) calculer la vitesse à l’instant t d’un point M se trouvant enϕ(t)à l’instantt. Calculer la distance parcouru parM entre les instants 0 et 1. (On pourra poser dans l’intégralet= 92sh(u))
Exercice 4: Soientϕ(t) = (tan(t);et;√
t)etψ(t) = (t;t2; 7)calculerϕ·ψ; dtd(ϕ·ψ); dtd(ϕ∧ψ).
Exercice 5: Soitϕune fonction vectorielle de l’espace telle que la norme deϕsoit égale à 1 à tout instant. Montrer queϕetϕ0sont deux vecteurs orthogonaux.
Exercice 6: Soient−→u un vecteur non nul deR3 etϕune fonction vectorielle deRdansR3 telle que la dérivéeϕ0 deϕsoit toujours orthogonal à−→u. Montrer que l’image deϕest inclus dans un plan.
On pourra étudier la fonction scalairef(t) = (ϕ(t)−ϕ(0)).−→u. Exercice 7:
A(x,y) = (√
x+y,x
y); f :R→R
1) Calculer ∂A∂x. 2) Calculer ∂x∂y∂2A.
3) Calculer ∂x∂22A(f(x);f(y)).
4) Calculer dxdA(f(x);f(x)).
Exercice 8:
A(x,y,z) = (−y2+z2,x2−y) etB(u,v) = F(u−v;u+ 2v;u+ 3w) Déterminer ∂B◦A∂x .
Exercice 9: Soientϕ(t) = (t;asin(πt);e(t−1));ψ(t) = (t23t+2; ln(t); 1)etA: (1; 0; 1);Γ1 la courbe paramétrée parϕetΓ2 la courbe paramétrée parψ.
1) Montrer queAappartient àΓ1et àΓ2.
2) Déterminerapour queΓ1 etΓ2 soient orthogonales enA.
2) Déterminerapour queΓ1 etΓ2 soient tangents enA.
Exercice 10: Soientφ(x,y) = 3x2(y+ 2)−ln(5x+ 2y), etA= (1;−2).
1. Montrer queA∈kerφ.
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2. Déterminer la tangente àkerφenA.
Exercice 11:Ψ(x,y,z) =x3+xy−z2+x−2etS = Ψ−1(0) = ker(Ψ).
1) Montrer queA: (1; 1; 1)appartient àS.
2) Déterminer une équation du plan tangentT àS enA.
3) Déterminer un vecteur normal àSenA.
4) Déterminer un repère orthogonal deT.
Exercice 12:A(x,y) = (x2−xy,x−y2,x2+y−3)etS = im(f) ={A(x,y)/x,y ∈R} 1) Montrer que le pointA: (0;−1;−2)appartient àS.
2) Déterminer le plan tangent àS enA.
3) Déterminer un vecteur orthogonal àSenA(2; 3).
4) Déterminer les points deSpour lesquels le plan tangent est parallèle au plan d’équationz = 0.
Exercice 13: Soientψ :R→R3telle quekψ0(t)k= 1;Γ = im(ψ); T(t) =ψ0(t);
1) Montrer queT(t)⊥T0(t).
2) SoitM0 =ψ(t0), faire un dessin en représentantΓ;M0,T(t0);T0(t0). Soitαun réel, placer le pointN0 =M0+αT0(t0), ainsi que le cercleCde centreN0 et passant parM0. Déterminer le rayonRdeC.
3) En approximantψ par un développement d’ordre 2, calculer en fonction deαettla quantité : kN0ψ(t)k2.
4) Déterminerαpour quekN0ψ(t)k2reste le plus proche deRlorsquetvarie un peu autour det0. En déduire le cercle qui approche le mieuxΓau voisinage deM0 quel est son rayon, on l’appelle rayon de courbure deΓenM0, on admet que le rayon de courbure ne dépend que deΓ.
5) Quel est le rayon de courbure d’un cercle de rayonR.
Exercice 14:A(x,y,z) = (ez;xyz;x2+z1 2) 1) Calculer∇ ·A.
2) Calculer∇A2. 3) Calculer∇ ∧A.
Exercice 15:A= (x2+my;x+y2+z;x+y−z2)mest un paramètre 1) Calculer∇ ∧A.
2) Pour quelles valeurs demexiste-t-il un champ scalaireφtel quegrad(φ) = A?
Exercice 16:A= (x+ 2y+az;bx−3y−z; 4x+cy+ 2z) 1) Déterminera,b,cpour queAdérive d’u champ scalaireφ.
2) Déterminerφ
Exercice 17:−→r = (x,y,z); r=k−→r k;f :R−→Retωun vecteur constant deR3. 1) Calculer :∇ln(r); ∇2ln(r); ∇ ·(ω∧ −→r ); ∇ ·r3−→r ; ∇(−→r ·ω); ∇2f(r).
2) Montrer qu’il existeψ telle quegrad(ψ) = −→rr . 3) Déterminerψ.
4) Existe-t-il un champ de vecteur dont le rotationnel soit égal à−→r ?
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