Cours de calcul différentiel

Calcul diff´ erentiel

Pr´eparation ` a l’agr´egation (2020–2021)

Jean-Fran¸cois Babadjian

1 Diff´ erentiabilit´ e et d´ eriv´ ees partielles

1.1 D´efinitions

Dans le but d’´etudier les variations d’une fonctionf :RⁿÑR, nous introduisons la notion de d´eriv´ee partielle. Dans la suite de ce chapitre, on noterate1, . . . , enula base canonique de Rⁿ ettη₁, . . . , η_mu la base canonique deR^m.

D´efinition 1.1. SoitU un ouvert deRⁿetf :U ÑR. On dit quef admet uned´eriv´ee partielleen aPU par rapport `a sa i-`eme variable si la limite

Bf Bxi

paq:“ lim

hÑ0

fpa1, . . . , ai´1, ai`h, ai`1, . . . , anq ´fpaq

h “ lim

hÑ0

fpa`heiq ´fpaq h

existe

Le calcul de _Bx^Bf

ipaq consiste donc `a ne d´eriver l’expression def que par rapport `a la variablex_i. L’inconv´enient majeur de la notion de d´eriv´ee partielle est qu’elle n´ecessite a priori le choix d’une base dans Rⁿ. La diff´erentielle introduite ci-dessous permet au contraire d’introduire une notion intrins`eque permettant de quantifier les variations d’une fonction au voisinage d’un point. Nous donnons ici la d´efinition directement pour les fonctions `a valeurs vectorielles.

D´efinition 1.2. Soient U un ouvert de Rⁿ et f : U Ñ R^m. On dit que f est diff´erentiable en aPU s’il existe une application lin´eaireLPLpRⁿ,R^mq telle que

}h}Ñ0lim

}fpa`hq ´fpaq ´Lphq}

}h} “0.

Autrement dit, pour toutεą0, il existe unδą0 tel que sihPRⁿ est tel que}h} ăδ, alors

}fpa`hq ´fpaq ´Lphq} ăε}h}.

Dans ce cas, l’application lin´eaire continue L, qui est unique (montrez le), est not´ee dfpaqet est appel´eediff´erentielle def ena.

Remarque 1.3. Une autre fa¸con de v´erifier la diff´erentiabilit´e d’une fonctionf en un pointaest de montrer l’existence d’une fonctionε:RÑR^m satisfaisantεptq Ñ0 dans R^m quand tÑ0 et telle que

fpa`hq “fpaq `dfpaqphq ` }h}εp}h}q pour touth de norme assez petite, ou encore

fpa`hq “fpaq `dfpaqphq `op}h}q pour tout hde norme assez petite.

Notons que cette derni`ere expression n’est autre que le d´eveloppement limit´e de f `a l’ordre 1 au voisinage dea.

AVERTISSEMENT :L’applicationaÞÑdfpaqest une fonction deRⁿ`a valeurs dans LpRⁿ,R^mq. Il faudra bien se garder de croire que cette application est lin´eaire. Dans la d´efinition de la diff´erentielle, le pointaest fix´e et la diff´erentielle au point aest une application lin´eaire qui d´epend deadont la d´ependance peut ˆetre totalement arbitraire.

Dans cette d´efinition, l’application qui est lin´eaire esthÞÑdfpaqphq; c’est l’application lin´eairedfpaq appliqu´ee au vecteurh.

Remarque 1.4. Dans le cas d’une fonction f : R Ñ R, la diff´erentielle, qui est une application lin´eaire de RdansR, peut ˆetre identifi´ee `a un r´eel not´e f¹paq et on a

dfpaqphq “f¹paqh pour touthPR.

Autrement dit, l’application lin´eaire hÞÑdfpaqphq n’est autre que la multiplication du r´eel h par le r´eelf¹paq.

Proposition 1.5. Si f :Rⁿ Ñ R^m est diff´erentiable en a PRⁿ, alors f est continue en a.

D´emonstration. Pour touthPRⁿ, on a fpa`hq ´fpxq “dfpaqphq `op}h}q Ñ0.

Remarque 1.6. L’existence des seules d´eriv´ees partielles n’implique pas la continuit´e.

Pour s’en convaincre on peut consid´erer la fonctionf :R² ÑRd´efinie par

fpx, yq “

$

&

%

´ x²y x⁴`y²

¯₂

siy‰0,

0 siy“0.

En effet,

Bf

Bxp0,0q “ Bf

Byp0,0q “0,

maisf n’est pas continue enp0,0q car, par exemple, fpx, x²q “1{4 pour tout x‰0.

Le r´esultat suivant nous fournit un premier lien entre les notions de diff´erentielle et d´eriv´ees partielles.

Proposition 1.7. SoientU un ouvert deRⁿ etf :U ÑR^m. Sif est diff´erentiable en aPU, alors pour tout 1 ďiďm, les fonctions fi admettent des d´eriv´ees partielles et on a

dfpaqphq “

m

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

Bfi

Bx_jpaqhjηi pour tout hPRⁿ.

D´emonstration. Comme pour tout 1ďiďmet touthPRⁿ, on a|f_ipa`hq ´f<sub>i</sub>paq ´ rdfpaqphqs<sub>i</sub>| ď }fpa`hq ´fpaq ´dfpaqphq}, on en d´eduit que

lim

}h}Ñ0

|f_ipa`hq ´f_ipaq ´ rdfpaqphqs_i|

}h} “0.

En particulier, en prenant h“te_j pour 1ďjďn, il vient que limtÑ0

|fipa`tejq ´fipaq ´trdfpaqpejqsi|

t “0,

soit

rdfpaqpe_jqsi“lim

tÑ0

f_ipa`te_jq ´f_ipaq

t .

Ceci montre que, pour tout 1ďiďm, les fonctionsfi admettent des d´eriv´ees partielles et on a _Bx^Bfi

jpaq “ rdfpaqpe_jqsi. CommehPRⁿ etdfpaqphq PR^m, on ´ecrit que h“

ÿn

j“1

h_je_j, dfpaqphq “ ÿm

i“1

rdfpaqphqs_iη_i,

et par lin´earit´e de hÞÑdfpaqphq, il vient que dfpaqphq “

m

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

hjrdfpaqpejqsiηi“

m

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

Bf_i Bxj

paqhjηi,

ce qui conclut la preuve du r´esultat.

Ainsi, une fonction diff´erentiable en un point a admet des d´eriv´ees partielles. La r´eciproque est fausse en g´en´eral comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 1.8. Soit f :R²ÑR d´efinie, pour toutpx, yq PR², par fpx, yq “

#y²

x six‰0, 0 six“0.

Alors Bf

Bxp0,0q “lim

tÑ0

fpt,0q ´fp0,0q

t “0, Bf

Byp0,0q “lim

tÑ0

fp0, tq ´fp0,0q

t “0,

ce qui montre que f admet des d´eri´ees partielles en p0,0q. Si f ´etait diff´erentiable en p0,0q, la Proposition 1.7montrerait que sa diff´erentielledfp0,0q serait l’application lin´eaire nulle. Or

fph, hq ´fp0,0q ´dfp0,0qph, hq

h “1

qui ne tend pas vers 0 lorsque h Ñ 0. On en d´eduit que f n’est pas diff´erentiable en p0,0q.

Si f :Rⁿ Ñ R^m est une fonction diff´erentiable en aPRⁿ, sa diff´erentielle dfpaq est une application lin´eaire de Rⁿ dans R^m. Les bases te1, . . . , enu de Rⁿ et tη1, . . . , ηmu de R^m ´etant fix´ees, l’application lin´eaire dfpaq peut ˆetre repr´esent´ee par une matrice de taille mˆn not´ee Jfpaq. D’apr`es la Proposition 1.7, la composante pi, jq de cette matrice est donn´ee par laj-`eme d´eriv´ee partielle de la i-`eme composante de f.

D´efinition 1.9. Soit f :Rⁿ Ñ R^m une fonction qui admet des d´eriv´ees partielles au point aPRⁿ. On appelle la matrice jacobiennede f en ala matrice

J_fpaq:“

ˆBf_i Bx_j

˙

1ďiďm 1ďjďn

.

Lorsque m“n,J_fpaq est une matrice carr´ee et la quantit´e detJ_fpaq,

s’appelle lejacobien(ou le d´eterminant jacobien) def ena.

Le cas des fonctions f : Rⁿ Ñ R `a valeurs scalaires (m “ 1) repr´esente un cas particulier qu’il convient de distinguer. En effet, dans ce cas, la diff´erentielle dfpaq est une application lin´eaire de R<sup>n</sup> dans R (i.e. une forme lin´eaire sur R<sup>n</sup>) et la matrice jacobienne est une matrice ligne `a n composantes qui sont les d´eriv´ees partielles de f que l’on peut repr´esenter sous forme d’un vecteur colonne.

D´efinition 1.10. Soit f :Rⁿ Ñ R une fonction qui admet des d´eriv´ees partielles au point aPRⁿ. Le vecteur colonne

∇fpaq:“

¨

˚

˝

Bf Bx1paq

...

Bf Bxnpaq

˛

‹

‚

est appel´e gradientde f en a.

Remarque 1.11. Sif :RⁿÑRest diff´erentiable enaPRⁿ, la Proposition1.7montre que pour tout hPRⁿ, on a

dfpaqphq “J_fpaqh“∇fpaq ¨h,

o`u ∇fpaq ¨h d´esigne le produit scalaire entre les vecteurs∇fpaq eth. De plus, on a la formule de Taylor suivante

fpa`hq “fpaq `∇fpaq ¨h`op}h}q pour touth de norme assez petite.

1.2 Propri´et´es

Comme le calcul des d´eriv´ees partielles se ram`ene au calcul de d´eriv´ees classiques, celles-ci jouissent des mˆemes r`egles que celles connues pour les fonctions d’une seule variable. Les propri´et´es suivantes sont pr´esent´ees sans d´emonstration.

Propri´et´es 1.12. Soientf,g:RⁿÑRdeux fonctions admettant une d´eriv´ee partielle par rapport `a la i-`eme variable en aPRⁿ et soientλ,µPR. Alors

i) si f est ind´ependante dex_i, _Bx^Bf

ipaq “0 ;

ii) λf`µg admet une d´eriv´ee partielle en apar rapport `a la i-`eme variable et Bpλf`µgq

Bx_i paq “λBf

Bx_ipaq `µBg Bx_ipaq;

iii) f g admet une d´eriv´ee partielle enapar rapport `a la i-`eme variable et Bpf gq

Bxi

paq “fpaqBg Bxi

paq `gpaqBf Bxi

paq.

La diff´erentielle jouit de propri´et´es analogues.

Propri´et´es 1.13. Soient f,g :Rⁿ Ñ R^m deux fonctions diff´erentiables en a PRⁿ et soient λ,µPR. Alors

i) si f est constante, alors dfpaq “0 pour toutaPRⁿ;

ii) sif PLpRⁿ,R^mqest une application lin´eaire, alors dfpaq “f pour toutaPRⁿ; iii) λf`µgest diff´erentiable en aetdpλf`µgqpaq “λdfpaq `µdgpaq;

iv) Si m“1, alorsf g est diff´erentiable en aetdpf gqpaq “fpaqdgpaq `gpaqdfpaq.

D´emonstration. i) Sif est constante, alors il existecPRⁿtel quefpxq “cpour tout xPRⁿet doncfpa`hq ´fpaq “0 pour touta,hPRⁿ, ce qui montre quedfpaqphq “0.

ii) Si f PLpRⁿ,R^mqest une application lin´eaire, alors fpa`hq ´fpaq “fphqpour touta,hPRⁿ. Commef est lin´eaire, ceci montre que dfpaqphq “fphq.

iii) Si f, g :Rⁿ Ñ R^m sont deux fonctions diff´erentiables en aP Rⁿ, alors il existe des fonctions ε1 et ε2 :RÑ R^m telles que ε1ptq Ñ0 et ε2ptq Ñ 0 quand tÑ 0 telles que pour tout hPRⁿassez petit,

fpa`hq ´fpaq “ dfpaqphq ` }h}ε1p}h}q, gpa`hq ´gpaq “ dgpaqphq ` }h}ε2p}h}q, et par cons´equent,

λfpa`hq`µgpa`hq “λfpaq`µgpaq`λdfpaqphq`µdgpaqphq`}h}rλε<sub>1</sub>p}h}q`µε₂p}h}qs.

CommehÞÑλdfpaqphq`µdgpaqphqest lin´eaire etεptq:“λε<sub>1</sub>ptq`µε₂ptq Ñ0 quandtÑ 0, on en d´eduit queλf`µgest diff´erentiable enaavecdpλf`µgqpaq “λdfpaq`µdgpaq.

iv) Si de plus m“1, alors fpa`hqgpa`hq ´fpaqgpaq

“fpa`hqrgpa`hq ´gpaqs `gpaqrfpa`hq ´fpaqs

“fpa`hqrdgpaqphq ` }h}ε2p}h}qs `gpaqrdfpaqphq ` }h}ε1p}h}qs.

Par cons´equent,

}fpa`hqgpa`hq ´fpaqgpaq ´fpaqdgpaqphq ´gpaqdfpaqphq}

}h}

“ }rfpa`hq ´fpaqsdgpaqphq `fpa`hq}h}ε<sub>2</sub>p}h}q `gpaq}h}ε₁p}h}q}

}h}

ď |fpa`hq ´fpaq|~dgpaq~ ` |fpa`hq|ε2p}h}q ` |gpaq|ε1p}h}q Ñ0, car, d’apr`es la Proposition1.5,f est continue ena. Ceci montre quef gest diff´erentiable

en aetdpf gqpaq “fpaqdgpaq `gpaqdfpaq.

Nous ´etablissons `a pr´esent une formule de diff´erentiation des fonctions compos´ees.

Proposition 1.14. Soient f : Rⁿ Ñ R^m une fonction diff´erentiable en a P Rⁿ et g : R^m Ñ R^p une fonction diff´erentiable en fpaq P R^m. Alors g˝f : Rⁿ Ñ R^p est diff´erentiable en aPRⁿ et

dpg˝fqpaq “dgpfpaqq ˝dfpaq. (1.1) D´emonstration. Notons b “ fpaq. Il existe alors des fonctions ε₁ : R Ñ R^m et ε2 :R Ñ R^p satisfaisant ε1ptq Ñ 0 et ε2ptq Ñ 0 quandt Ñ 0 et telles que pour tout hPRⁿ etkPR^m assez petits,

fpa`hq ´fpaq “ dfpaqphq ` }h}ε₁p}h}q, (1.2) gpb`kq ´gpbq “ dgpbqpkq ` }h}ε2p}k}q. (1.3) Utilisons (1.3) aveck_h “fpa`hq ´fpaq. Par (1.2), on voit qu’il existe cą0 tel que }k_h} ďc}h} pourh assez petit. Il vient alors, en reportant dans (1.3), que

gpfpa`hqq “gpfpaq `khq “gpfpaqq `dgpfpaqqpkhq ` }kh}ε2p}kh}q

“gpfpaqq `dgpfpaqqrdfpaqphq ` }h}ε1p}h}qs ` }kh}ε2p}kh}q.

Par cons´equent,

}gpfpa`hqq ´gpfpaqq ´ rdgpfpaqq ˝dfpaqsphq}

}h}

“

›

›}h}dgpfpaqqε₁p}h}q ` }k_h}ε₂p}k_h}q›

› }h}

ď ~dgpaq~}ε1p}h}q} `c}ε2p}h}q} Ñ0,

ce qui conclut la preuve de la proposition.

AVERTISSEMENT :Contrairement aux fonctions d’une seule variable l’ordre d’ap- parition des diff´erentielles dans la formule (1.1) est extrˆemement important. En effet, commeg˝f :RⁿÑR^p, sa diff´erentielle enaPRⁿ(quand elle existe) doit ˆetre une appli- cation lin´eaire deRⁿdansR^p. Commedfpaq PLpRⁿ,R^mq, on en d´eduit que pour tout

hPRⁿ,dfpaqphq PR^m, et commedgpfpaqq PLpR^m,R^pq, alorsdgpfpaqqpdfpaqphqq PR^p ce qui montre bien que dgpfpaq ˝dfpaq P LpRⁿ,R^pq. Ceci peut se voir ´egalement en terme de matrices jacobiennes. En effet, on a

Jg˝fpaq “JgpfpaqqJfpaq.

CommeJ_fpaqest une matricemˆnetJ_gpfpaqqest une matricepˆm, la multiplication de matricesJ_gpfpaqqJ_fpaq a un sens carJ_gpfpaqqamcolonnes etJ_fpaq am lignes. En revanche, le produit de matrices dans l’ordre inverse n’est pas bien d´efini.

Remarque 1.15. Il est int´eressant d’´ecrire la formule (1.1) en terme de d´eriv´ees par- tielles. Si l’on note uPR^m la variable de g, alors pour tout 1ďiďpet 1ďjďn, on a

Bpg˝fq_i Bxj

paq “

m

ÿ

k“1

Bg_i Buk

pfpaqqBf_k Bxj

paq.

Le calcul consiste donc `a d´erivergi par rapport `a la variable u_k et d’´evaluer le r´esultat en fpaq, de multiplier par la d´eriv´ee de f_k par rapport `a la variable x<sub>j</sub> ´evalu´ee en a, puis de sommer par rapport `a k.

Le Th´eor`eme des accroissements finis, bien connu pour les fonctions d’une seule va- riable (c’est l’occasion de revoir comment cela se d´emontre), se g´en´eralise aux fonctions de plusieurs variables.

D´efinition 1.16. Un sous-ensembleC de Rⁿ est dit convexe si pour toutx et yPC, le segment

rx, ys:“ tty` p1´tqx, tP r0,1su ĂC.

Th´eor`eme 1.17 (des accroissements finis). Soit U Ă Rⁿ un ouvert convexe et f :U ÑR^m une fonction diff´erentiable. Alors, pour tout x, yPU,

}fpxq ´fpyq} ď sup

zPrx,ys

~dfpzq~}x´y}.

D´emonstration. Soientx et yPU, l’ensemble U ´etant convexe, le segment rx, ysest bien inclu dans U. Soitg:r0,1s ÑRla fonction d´efinie, pour tout tP r0,1s, par

gptq:“fpty` p1´tqxq ¨ rfpyq ´fpxqs “

m

ÿ

i“1

fipty` p1´tqxqrfipyq ´fipxqs.

Notons quegest bien d´efinie surr0,1spuisquety` p1´tqxPU et elle y est par ailleurs continue. De plus,f ´etant diff´erentiable sur U ettÞÑty` p1´tqx´etant d´erivable sur s0,1r, on en d´eduit par la formule de diff´erentiation des fonctions compos´ees que gest d´erivable sur s0,1ret

g¹ptq “ rdfpty` p1´tqxqpy´xqs ¨ rfpyq ´fpxqs pour touttP s0,1r.

D’apr`es le Th´eor`eme des accroissements finis en dimension 1, il existe unt₀ P s0,1rtel quegp1q ´gp0q “g¹pt0q, soit

}fpyq ´fpxq}² “ rdfpt₀y` p1´t₀qxqpy´xqs ¨ rfpyq ´fpxqs.

Par cons´equent,

}fpyq ´fpxq} ď ~dfpt0y` p1´t0qxq~}y´x} ď sup

zPrx,ys

~dfpzq~}x´y},

ce qui ´etablit le r´esultat.

D´efinition 1.18. Un sous-ensemble C deRⁿ est ditconnexes’il n’existe aucune paire d’ouverts non videspU1, U2qtels que

CĂU₁YU₂, pCXU₁q X pCXU₂q “ H.

Autrement dit, un ensemble est connexe si on ne peut pas le s´eparer en deux parties disjointes en l’intersectant avec deux ouverts disjoints. Dans le cas d’un ensemble lui- mˆeme ouvert, cela se traduit par la propri´et´e plus intuitive suivante.

Th´eor`eme 1.19. Un ensemble ouvert et non videU deR<sup>n</sup> est connexe si et seulement si, pour toutx etyPU, il existe une ligne bris´ee contenue dans U qui reliex ety, i.e., il existe un nombre fini de points x<sub>1</sub>, . . . , x<sub>p</sub> PU tels quex“x<sub>1</sub>,y“x<sub>p</sub> et les segments rxi, xi`1s ĂU pour tout 1ďiďp´1.

D´emonstration.Nous ne montrons que la condition n´ecessaire qui sera la seule utilis´ee par la suite.

Soit x₀ PU et V l’ensemble des points deU que l’on peut relier `a x₀ par une ligne bris´ee dansU.

— V est ouvert : Soit a P V, alors il existe une ligne bris´ee L Ă U qui relie x0 et aPU. L’ensembleU ´etant ouvert, il existe un r ą0 tel que Bpa, rq ĂU. Donc pour toutxPBpa, rq, le segmentra, xs ĂBpa, rq ĂU et doncL¹ “LY ra, xs ĂU est une ligne bris´ee reliant x0 et x. Ceci montre que xPV, soitBpa, rq ĂV, et doncV est ouvert.

— V est ferm´e dans U : Soit bPV XU, alors il existe unr ą0 tel que Bpb, rq ĂU car U est ouvert et il existe un a P V tel que }a´b} ă r car b est adh´erent `a V. Soit LĂU une ligne bris´ee reliant x<sub>0</sub> eta, alors L<sup>1</sup> “LY ra, bsest une ligne bris´ee dansU reliantx0 etb, ce qui montre quebPV et doncV “V XU. On ´ecrit alors que U “ pUzVq YV o`u V et UzV “ UzV sont ouverts et disjoints.

CommeU est connexe, alors soit V “ HsoitUzV “ H. Commex₀ PV, on en d´eduit queV ‰ H, et donc que V “U. Enfin, si xety PU, il existe une ligne bris´eeLxĂU reliantx0 etx, et une ligne bris´eeLy ĂU reliantx0 ety. FinalementL:“LxYLy est

une ligne bris´ee dansU qui reliex ety.

Th´eor`eme 1.20. SoientU ĂRⁿ un ouvert connexe etf :U ÑR^m telle quedfpxq “0 pour tout x PU. Alors f est constante sur U, i.e., il existe c P R^m tel que fpxq “ c pour tout xPU.

D´emonstration. SoientxetyPU. L’ensembleU ´etant connexe, le Th´eor`eme1.19as- sure l’existence d’une ligne bris´ee contenue dansU qui reliexety : il existex1, . . . , xp P U tels que x “ x<sub>1</sub>, y “ x<sub>p</sub> et les segments rx<sub>i</sub>, x<sub>i`1</sub>s Ă U pour tout 1 ď i ď p´1.

D’apr`es le Th´eor`eme des accroissements finis, }fpx_i`1q ´fpx_iq} ď sup

zPrxi,xi`1s

~dfpzq~}x_i`1´x_i} “0,

puisque dfpzq “0 pour tout zP rx<sub>i`1</sub>, x<sub>i</sub>s ĂU. D’apr`es l’in´egalit´e triangulaire, }fpxq ´fpyq} ď

p´1

ÿ

i“1

}fpx_i`1q ´fpx_iq} “0,

ce qui montre quef est constante dansU.

L’hypoth`ese de connexit´e est n´ecessaire comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 1.21. On note x₀ “ p´1,0q et y₀ “ p1,0q. On d´efinit l’ensemble U “ Bpx0,1{2q YBpy0,1{2q. Il s’agit d’un ensemble ouvert car c’est la r´eunion de deux boules ouvertes mais non connexe puisque U est lui mˆeme l’union de deux ouverts disjoints. Si l’on d´efinit la fonctionf :U ÑRparfpx, yq “ ´1 sipx, yq PBpx₀,1{2q et fpx, yq “1 sipx, yq PBpy0,1{2q alors dfpx, yq “0 pour tout px, yq PU, mais pourtant f n’est pas constante surU.

1.3 Fonctions de classe C¹

Nous avons vu pr´ec´edemment qu’une fonction dont toutes les d´eriv´ees partielles sont partout d´efinies n’est pas forc´ement diff´erentiable. La situation est diff´erente lorsque les d´eriv´ees partielles sont continues.

D´efinition 1.22. Soient U Ă Rⁿ un ouvert et f : U Ñ R^m. On dit que f est de classe C¹ sur U si f est continue et diff´erentiable sur U et df est continue sur U. On noteC¹pU;R^mq l’ensemble des fonctions de classeC¹ surU `a valeurs dansR^m et, plus simplement,C¹pUq quand m“1.

Il est clair que si f est de classe C¹ sur U, alors toutes les d´eriv´ees partielles de f sont continues surU. Le r´esultat suivant montre que la r´eciproque est vraie.

Th´eor`eme 1.23. Soient U ĂRⁿ un ouvert et f :U Ñ R^m. Si, pour tout 1ďiďm et tout 1ďjďn, f admet des d´eriv´ees partielles _Bx^Bfi

j qui sont continues sur U , alors f est diff´erentiable surU et f PC¹pU;R^mq.

D´emonstration. Pour simplifier, nous pr´esentons la d´emonstration pourm“1. Soit aP U, montrons que f est diff´erentiable en a. Par continuit´e dess d´eriv´ees partielles, pour toutεą0, il existe unrą0 tel queBpa, rq ĂU et

ˇ ˇ ˇ ˇ

Bf

Bx_jpxq ´ Bf Bx_jpaq

ˇ ˇ ˇ ˇă ε

?n pour toutxPBpa, rq, (1.4)

pour tout 1ďjďn. Soit hPRⁿ avec }h} ďr, on pose

v^p0q“0, v^pjq“h1e1` ¨ ¨ ¨ `hjej, pour tout 1ďj ďn de sorte que

fpa`hq ´fpaq “

n

ÿ

j“1

rfpa`v<sup>pjq</sup>q ´fpa`v^pj´1qqs. (1.5) Posons

gjptq “fpa`v<sup>pj´1q</sup>`thjejq pour touttP r0,1s.

Notons que gj est bien d´efinie cara`v<sup>pj´1q</sup>`thjej PBpa, rq. De plusgj est continue sur le ferm´er0,1set, par d´efinition des d´eriv´ees partielles,g_j est d´erivable sur l’ouvert s0,1ravec

g¹_jptq “ Bf Bxj

pa`v<sup>pj´1q</sup>`thjejqhj pour tout tP s0,1r.

En vertu du Th´eor`eme des accroissements finis en dimension 1, on en d´eduit l’existence d’unθj P r0,1stel quegjp1q ´gjp0q “g¹_jpθjq, soit

fpa`v<sup>pjq</sup>q ´fpa`v^pj´1qq “ Bf Bxj

pa`v<sup>pj´1q</sup>`θ_jh_je_jqh_j. Commea`v<sup>pj´1q</sup>`θjhjej PBpa, rq, (1.4) montre que

ˇ ˇ ˇ ˇ

Bf Bxj

pa`v<sup>pj´1q</sup>`θjhjejq ´ Bf Bxj

paq ˇ ˇ ˇ ˇă ε

?n. Par cons´equent, d’apr`es (1.5), il vient

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

fpa`hq ´fpaq ´

n

ÿ

j“1

h_j Bf Bx_jpaq

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ď

n

ÿ

j“1

|h_j| ˇ ˇ ˇ ˇ

Bf

Bx_jpa`v<sup>pj´1q</sup>`θ_jh_je_jq ´ Bf Bx_jpaq

ˇ ˇ ˇ ˇ

ď ε

?n

n

ÿ

j“1

|h_j| ďε}h} pour touthPBp0, rq.

Ceci montre quef est diff´erentiable enaetdfpaqphq “ř_n

j“1h_jBx^Bf

jpaqpour touthPRⁿ. Il reste `a montrer que la diff´erentielle df : U Ñ LpR<sup>n</sup>,R<sup>m</sup>q est continue. Pour ce faire, on remarque que d’apr`es (1.4), pour toutvPRⁿ et pour toutxPBpa, rq,

}dfpxqpvq ´dfpaqpvq} ď ε

?n

n

ÿ

j“1

|v_j| ďε}v},

ce qui montre que~dfpxq ´dfpaq~ ďεet donc quedf est continue en a.

Le Th´eor`eme 1.23est fort utile en pratique. En effet, il est g´en´eralement difficile de montrer directement qu’une fonctionf est diff´erentiable sur un ouvertU. Une possibilit´e consiste donc `a montrer quef admet des d´eriv´ees partielles sur U et que celles-ci sont continues surU. Le r´esultat pr´ec´edent assure alors la diff´erentiabilit´e de f surU.

Exemple 1.24. Soit f :R² ÑRla fonction d´efinie par fpx, yq “

#xy^x_x²2^´y`y²² sipx, yq ‰ p0,0q, 0 sipx, yq “ p0,0q.

La fonctionf est bien d´efinie, continue et admet des d´eriv´ees partielles surR²ztp0,0qu.

De plus, pour tout px, yq ‰ p0,0q, on a Bf

Bxpx, yq “yx⁴`4x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>´y<sup>4</sup> px<sup>2</sup>`y²q² , Bf

Bypx, yq “xx⁴´4x²y²´y⁴ px²`y²q² . Par ailleurs, le calcul des d´eriv´ees partielles enp0,0q donne

Bf

Bxp0,0q “ lim

xÑ0

fpx,0q ´fp0,0q

x´0 “0, Bf

Byp0,0q “ lim

yÑ0

fp0, yq ´fp0,0q y´0 “0.

Les fonctions ^Bf_Bx et ^Bf_By sont continuesR²ztp0,0qu. Pour ´etudier la continuit´e des d´eriv´ees partielles enp0,0q on posex“rcosθety“rsinθo`ur “a

x²`y² ą0 etθP r0,2πr.

Notons quepx, yq Ñ0 si et seulement si rÑ0. Il vient ˇ

ˇ ˇ ˇ

Bf Bxpx, yq

ˇ ˇ ˇ

ˇ ďr|sinθ||cos⁴θ`4 cos²θsin²θ´sin⁴θ| ď6rÑ0“ Bf Bxp0,0q quand px, yq Ñ p0,0q ce qui prouve que ^Bf_Bx est continue en p0,0q. On montre de mˆeme que ^Bf_By est continue enp0,0q. Finalement les d´eriv´ees partielles def sont continues sur R² ce qui assure que f est diff´erentiable surR².

2 D´ eriv´ ees partielles d’ordre sup´ erieur

Tout comme pour les fonctions d’une seule variable, nous avons aussi des notions de d´eriv´ees d’ordre sup´erieur pour les fonctions de plusieurs variables. Nous nous limitons ici `a la notion de d´eriv´ee partielle d’ordre deux mˆeme s’il est possible de d´efinir la diff´erentielle d’ordrekě2.

D´efinition 2.1. Soient U ĂRⁿun ouvert et f :U ÑRune fonction de classeC¹. On dit quef admet des d´eriv´ees partielles d’ordre 2 en aPU si les fonctions _Bx^Bf

1, . . . ,_Bx^Bf

n

admettent des d´eriv´ees partielles ena. On note alors pour tout 1ďi, jďn, B²f

Bx_iBx_jpaq:“ B Bx_i

„Bf Bx_j

 paq

lai-`eme d´eriv´ee partielle de laj-`eme d´eriv´ee partielle def ena. La matrice form´ee des d´eriv´ees partielles d’ordre 2 ena est not´ee

D²fpaq “

ˆ B²f Bx_iBx_jpaq

˙

1ďi,jďn

est appel´eematrice hessienne def au pointa.

Un r´esultat fondamental est la relation de Schwarz qui affirme que lorsque les d´eriv´ees partielles secondes sont continues, l’ordre des variables n’importe pas.

Th´eor`eme 2.2 (Schwarz). Soient U Ă Rⁿ un ouvert et f :U ÑR une fonction de classeC¹ qui admet des d´eriv´ees partielles secondes surU qui sont continues enaPU. Alors pour tout 1ďi, jďn,

B²f BxiBxj

paq “ B²f BxjBxi

paq.

En particulier, la matrice hessienneD²fpaq est sym´etrique.

D´emonstration. L’ensemble U ´etant ouvert, il existe un r ą0 tel que Bpa, rq ĂU. Etape 1 :Le cas n“2. Pour touthPR² avec}h} ďr, on pose

∆_h:“ rfpa`hq ´fpa<sub>1</sub>`h₁, a₂qs ´ rfpa₁, a₂`h₂q ´fpaqs.

Soit ϕ:ra1´r, a1`rs ÑRla fonction d´efinie par ϕpxq “fpx, a2`h2q ´fpx, a2q. La fonctionϕest continue sur le ferm´era1´r, a1`rset d´erivable sur l’ouvertsa1´r, a1`rr avec

ϕ¹pxq “ Bf

Bxpx, a₂`h₂q ´ Bf

Bxpx, a₂q pour toutxP sa₁´r, a₁`rr.

Le Th´eor`eme des accroissements finis montre alors l’existence d’un θ<sub>1</sub> P r0,1s tel que ϕpa1`h1q ´ϕpa1q “h1ϕ¹pa1`θ1h1q, soit

∆_h“ rfpa`hq ´fpa<sub>1</sub>`h₁, a₂qs ´ rfpa₁, a₂`h₂q ´fpaqs

“h₁

„Bf

Bxpa₁`θ<sub>1</sub>h<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>`h₂q ´Bf

Bxpa₁`θ₁h₁, a₂q

 .

Soitψ:ra2´r, a2`rs ÑRla fonction d´efinie parψpyq “ <sup>Bf</sup><sub>Bx</sub>pa1`θ1h1, yq. La fonction ψest continue sur le ferm´e ra2´r, a2`rset d´erivable sur l’ouvertsa2´r, a2`rravec

ψ¹pxq “ B²f

ByBxpa1`θ1h1, yq pour toutyP sa2´r, a2`rr.

Le Th´eor`eme des accroissements finis montre alors l’existence d’un θ2 P r0,1s tel que ψpa<sub>2</sub>`h₂q ´ψpa₂q “h₂ψ¹pa₂`θ₂h₂q, soit

∆_h “h₁h₂ B²f

ByBxpa₁`θ<sub>1</sub>h<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>`θ₂h₂q.

En ´echangeant les rˆoles de x ety, le mˆeme argument montre que

∆_h“h₁h₂ B²f

BxBypa₁`η<sub>1</sub>h<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>`η₂h₂q,

o`u η₁ et η₂ P r0,1s. Ainsi, pour tout h ‰ p0,0q avec }h} ď r, il existe θ₁, θ₂, η₁ et η2 P r0,1stels que

B²f

ByBxpa1`θ1h1, a2`θ2h2q “ B²f

BxBypa1`η1h1, a2`η2h2q.

Comme }pθ₁h₁, θ₂h₂q} ď }h}, }pη₁h₁, η₂h₂q} ď }h} et les d´eriv´ees partielles secondes

B²f

ByBx et _BxBy^B2f sont continues ena, on en d´eduit par passage `a la limite quandhÑ p0,0q que

B²f

ByBxpaq “ B²f BxBypaq.

Etape 2 : Le cas ně3.Soient 1ďi, jďn. Pour toutpx, yq PR² avec }px, yq} ďr, on pose gpx, yq :“ fpa`xei `yejq. La fonction g est de classe C¹ sur Bp0, rq et elle admet des d´eriv´ees partielles premi`ere et seconde donn´ees, pour tout px, yq P Bp0, rq, par

Bg

Bxpx, yq “ Bf

Bx_ipa`xe<sup>i</sup>`ye^jq, Bg

Bypx, yq “ Bf

Bx_jpa`xe<sup>i</sup>`ye^jq et

B²g

BxBypx, yq “ B²f BxiBxj

pa`xe<sup>i</sup>`ye^jq, B²g

ByBxpx, yq “ Bf² BxjBxj

pa`xe<sup>i</sup>`ye^jq.

Comme, _Bx^B2f

iBxj et_Bx^B2f

jBxi sont continues ena, on en d´eduit que_BxBy^B2g et_ByBx^B2g sont continues en p0,0q. L’´etape 1 montre alors que

B²f

Bx_iBx_jpaq “ B²g

BxByp0,0q “ B²g

ByBxp0,0q “ B²f Bx_jBx_ipaq,

ce qui conclut la preuve du th´eor`eme.

D´efinition 2.3. Soient U Ă Rⁿ un ouvert et f : U Ñ R une fonction de classe C¹. On dit que f est de classeC² surU si f admet des d´eriv´ees partielles secondes en tout point de U qui sont continues sur U. On note C²pU;R^mq l’ensemble des fonctions de classe C² surU `a valeurs dansR^m et, plus simplementC²pUq quandm“1.

De fa¸con g´en´erale, on a la d´efinition suivante :

D´efinition 2.4. SoientU ĂRⁿun ouvert etf :U ÑRune fonction. On dit quef est de classeC^k (kPN) sif admet des d´eriv´ees partielles sur U d’ordre inf´erieur ou ´egal `a kqui sont continues surU. On dit quef est de classeC<sup>8</sup>surU sif est de classeC<sup>k</sup> sur U pour toutkPN. On noteC<sup>k</sup>pU;R<sup>m</sup>q (resp. C<sup>8</sup>pU;R<sup>m</sup>q) l’ensemble des fonctions de classeC<sup>k</sup> (resp.C<sup>8</sup>) sur U `a valeurs dansR^m et, plus simplementC^kpUq (resp.C⁸pUq) quand m“1.

La connaissance de d´eriv´ees partielles d’ordre 2 permet de donner une formule de Taylor `a l’ordre 2 pour les fonctions de plusieurs variables.

Th´eor`eme 2.5 (Formule de Taylor). Soient U Ă Rⁿ un ouvert et f :U Ñ R une fonction de classe C² sur U. Pour tout aPU, on a pour h assez petit,

fpa`hq “fpaq `∇fpaq ¨h`1

2rD²fpaqhs ¨h`op}h}²q,

AVERTISSEMENT : Le terme rD²fpaqhs ¨h est le produit scalaire du vecteur D²fpaqh avech. En effet, comme la matrice hessienneD²fpaq est une matricenˆn, le produit matrice/vecteurD²fpaqhest un vecteur deRⁿ. En terme de d´eriv´ees partielles, on peut ´ecrire

rD²fpaqhs ¨h“

n

ÿ

i“1

rD²fpaqhsihi “

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

B²f

Bx_iBx_jpaqhjhi.

D´emonstration. L’ensemble U ´etant ouvert, il existe un r ą0 tel que Bpa, rq ĂU. Pour h PRⁿ avec h‰0 et }h} ă r, on pose gptq “ fpa`th{}h}q pour tout tP r0, rs.

La fonction gest de classe C² surs0, rret d’apr`es la formule de Taylor, on a pour tout tPs0, rr

gptq “gp0q `tg<sup>1</sup>p0q `t²

2g²p0q `opt²q.

Calculons les d´eriv´ees premi`ere et seconde degen fonction de f. D’apr`es la formule de diff´erentiation des fonctions compos´ees, on a pour touttP r0, rs,

g¹ptq “

n

ÿ

i“1

hi

}h}

Bf Bx_i

ˆ

a`t h }h}

˙

“∇f ˆ

a`t h }h}

˙

¨ h }h}

et

g²ptq “

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

hihj

}h}² Bf² Bx_iBx_j

ˆ

a`t h }h}

˙

“

n

ÿ

i“1

h_i }h}

„ D²f

ˆ

pa`t h }h}

˙ h }h}



i

“

„ D²f

ˆ

a`t h }h}

˙ h }h}



¨ h }h}. Par cons´equent, en prenantt“ }h} ăr, il vient

fpa`hq “fpaq `∇fpaq ¨h`1

2rD²fpaqhs ¨h`op}h}²q,

ce qui conclut la preuve de la formule de Taylor.

3 Points critiques et extrema

D´efinition 3.1. SoientU ĂRⁿ et f :U ÑRune fonction de classe C¹ surU. On dit queaPU est unpoint critique de f si dfpaq “0.

D´efinition 3.2. Soientf :RⁿÑRune fonction et E un sous-ensemble deRⁿ. On dit quef admet un minimum globalsur E au pointaPE sifpaq ďfpyq pour toutyPE.

On dit que f admet un minimum local sur E en a PE s’il existe un ouvert V ĂRⁿ contenanta tel quefpaq ďfpyq pour toutyPEXV.

D´efinition 3.3. Soientf :RⁿÑRune fonction et E un sous-ensemble deRⁿ. On dit quef admet unmaximum globalsur E au pointaPE si fpaq ěfpyq pour tout yPE.

On dit que f admet un maximum local sur E en aP E s’il existe un ouvert V ĂRⁿ contenanta tel quefpaq ěfpyq pour toutyPEXV.

Nous utilisons la d´enomination d’extremumpour d´esigner sans distinction un maxi- mum ou un minimum. Nous montrons `a pr´esent une condition n´ecessaire qui assure que tout extremum local est forc´ement un point critique

Th´eor`eme 3.4. Soient U ĂRⁿ et f :U Ñ R une fonction de classe C¹ sur U. Si f admet un extremum local sur U en aPU, alors dfpaq “0.

D´emonstration. Supposons que f admet un minimum local sur U en a P U. Alors il existe un ouvert V de Rⁿ contenant a tel que fpaq ď fpyq pour tout y P U XV. L’ensemble UXV ´etant ouvert, il existe unr ą0 tel queBpa, rq ĂU XV. Pour tout t P r´1,1set h PRⁿ avec }h} ď r, on a que a`th PBpa, rq de sorte que la fonction g:s ´1,1rÑRd´efinie pargptq “fpa`thqpour tout tP s ´1,1rest bien d´efinie et de classe C¹ surs ´1,1r. De plus g admet un minimum local sur s ´1,1ren 0 car

gp0q “fpaq ďfpa`thq “gptq pour touttP s ´1,1r.

Sitą0, on a alors

gptq ´gp0q t ě0,

et par passage `a la limite quandtÑ0<sup>`</sup>, on obtient g¹p0q ě0. De mˆeme si tă0, gptq ´gp0q

t ď0,

et par passage `a la limite quand t Ñ 0<sup>´</sup>, on obtient g<sup>1</sup>p0q ď 0. Finalement, il vient que g<sup>1</sup>p0q “ 0 et la formule de diff´erentiation des fonctions compos´ees montre que g<sup>1</sup>ptq “dfpa`thqphq pour touttPs ´1,1r, et donc

dfpaqphq “0 pour touthPBp0, rq.

Par cons´equent, pour tout v P Rⁿ, en posant h “ rv{}v} P Bp0, rq, on obtient que

dfpaqpvq “0 et donc dfpaq “0.

Etre un point critique est donc une condition n´ecessaire pour ˆetre un extremum. Elle n’est cependant pas suffisante au regard de l’exemple suivant.

Exemple 3.5. Soit f : R² Ñ R la fonction d´efinie par fpx, yq “ x² ´y² pour tout px, yq P R². Il s’agit d’une fonction de classe C⁸ puisque c’est une fonction polynˆomiale. Cherchons d’abord les points critiques de f. Pour ce faire, on r´esoud l’´equation ∇fpx, yq “0,i.e.,

Bf

Bxpx, yq “2x“0, Bf

Bypx, yq “ ´2y “0,

et on trouve quepx, yq “ p0,0q. La fonctionf admet donc un unique point critique qui estp0,0q. Par ailleurs, on constate quef n’admet ni un minimum local ni un maximum local sur R² en p0,0q. En effet, si U est un ouvert de R² contenant p0,0q, alors pour εą0 assez petit Bpp0,0q, εq ĂU,pε,0q PU et

#

fpε,0q “ε² ą0“fp0,0q ùñ p0,0q n’est pas un point de maximum local, fp0, εq “ ´ε²ă0“fp0,0q ùñ p0,0q n’est pas un point de minimum local.

Afin d’identifier plus pr´ecis´ement les extrema parmi les points critiques, il convient d’utiliser le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 2 pour les fonctions de classeC<sup>2</sup>. Th´eor`eme 3.6. Soient U ĂRⁿ et f :U ÑR une fonction de classe C² sur U.

(i) Sif admet un minimum local surU au point aPU, alors les valeurs propres de la matrice hessienne D²fpaq sont toutes positives ou nulles ;

(ii) Sif admet un maximum local surU au pointaPU, alors les valeurs propres de la matrice hessienne D²fpaq sont toutes n´egatives ou nulles.

D´emonstration. Le Th´eor`eme de Schwarz montre la matrice hessienne D<sup>2</sup>fpaq est sym´etrique, elle est diagonalisable dans une base orthonorm´ee de vecteurs propres : il existe des valeurs propres λ<sub>1</sub> ď ¨ ¨ ¨ ď λ<sub>n</sub> et des vecteurs propres v<sub>1</sub>, . . . , v<sub>n</sub> P R<sup>n</sup> tels que la familletv1, . . . , vnu forme une base orthonorm´ee de R<sup>n</sup>etD<sup>2</sup>fpaqvi“λivi pour tout 1ďiďn. D’apr`es la formule de Taylor, on a

fpa`tv<sub>i</sub>q “fpaq `t∇fpaq ¨v_i`t²

2rD²fpaqv_is ¨v_i`opt²q pour tout 1ďiďn.

Comme f admet un extremum local sur U en a P U, le Th´eor`eme 3.4 montre que

∇fpaq “ 0. De plus en utilisant le fait que les vecteurs vi sont unitaires, on a que rD²fpaqvis ¨vi “λivi¨vi“λi}vi}²“λi et il vient

fpa`tviq ´fpaq “ t²

2λi`opt²q, pour tout 1ďiďn.

Si f admet un minimum local surU en aPU, il existe un ouvert V de Rⁿ tel que fpaq ď fpxq pour tout x P U XV. L’ensemble U XV ´etant ouvert, on peut trouver un r ą 0 tel que Bpa, rq Ă U XV. Pour tout t P s ´r, rr et tout 1 ď i ď n, on a que a`tvi P Bpa, rq et fpaq ď fpa`tviq ce qui montre, apr`es division par t<sup>2</sup> que λ<sub>i</sub>`opt²q{t² ě0 pour tout 1 ďi ďn. Enfin, par passage `a la limite quand t Ñ 0, il vient queλi ě0 pour tout 1ďiďn.

Sif admet un maximum local surU enaPU, un argument similaire montre que les

valeurs propres λ_i ď0 pour tout 1ďiďn.

Dans le cas o`u la matrice hessienne est non d´eg´en´er´ee, on peut aussi obtenir une condition suffisante assurant qu’un point critique est un point d’extremum local.

Th´eor`eme 3.7. SoientU ĂRⁿ, f :U Ñ Rune fonction de classe C² sur U et aPU un point critique de f.

— Si les valeurs propres de la matrice hessienne D²fpaq sont toutes strictement positives, alors f admet un minimum local sur U enaPU;

— Si les valeurs propres de la matrice hessienne D²fpaq sont toutes strictement n´egatives, alors f admet un maximum local sur U enaPU.

D´emonstration. Comme l’ensemble U est ouvert et a P U, il existe un r ą 0 tel que Bpa, rq Ă U. Par ailleurs, soient λ₁ ď ¨ ¨ ¨ ď λ_n les valeurs propres de la matrice hessienne D²fpaq et v1, . . . , vn P Rⁿ les vecteurs propres associ´es tels que la famille tv₁, . . . , v_nuforme une base orthonorm´ee deRⁿetD²fpaqv_i “λ_iv_ipour tout 1ďiďn.

Pour tout h PBp0, rq, il existe donc des r´eels h₁, . . . , h_n PRtels que h “ř_n

i“1h_iv_i et doncrD²fpaqhs ¨h“ř_n

i“1hirD²fpaqvis ¨h“ř_n

i“1λihivi¨h“ř_n

i“1λi|hi|². Le point a´etant un point critique def, il vient d’apr`es la formule de Taylor

fpa`hq ´fpaq “ ∇fpaq ¨h`1

2rD²fpaqhs ¨h`op}h}²q

“ 1 2

n

ÿ

i“1

λi|hi|²`op}h}²q.

Si les valeurs propres sont toutes strictement positives, alors fpa`hq ´fpaq ě }h}²

ˆλ₁

2 `εp}h}q

˙ ,

o`u εptq Ñ 0 quand t Ñ 0. Il existe donc un δ ą 0 tel que |εptq| ď λ₁{2 pour tout 0ďtăδ, ce qui implique que

fpa`hq ´fpaq ě0, pour touthPBp0, δq.

En posant V :“ Bpa, δq, on a donc montr´e que fpaq ď fpyq pour tout y PV, ce qui assure que f admet un minimum local sur U en aPU.

Si les valeurs propres sont toutes strictement n´egatives, un argument similaire montre

quef admet un maximum local surU en aPU.

Remarque 3.8. En dimensionn“2, la matrice hessienne est une matrice sym´etrique 2ˆ2 et il est facile de connaˆıtre le signe des valeurs propres λ1 et λ2. Il suffit de remarquer que detpD²fpaqq “λ₁λ₂ et que trpD²fpaqq “λ₁`λ₂. On constate alors que si a est un point critique et detpD²fpaqq ą 0 alors, les deux valeurs propres sont non nulles et de mˆeme signe, ce qui implique queaest un extremum local. Si trpD²fpaqq ą0 alors les deux valeurs propres sont strictement positives et aest un point de minimum local, et si trpD²fpaqq ă0 alors les deux valeurs propres sont strictement n´egatives et aest un point de maximum local.

4 Inversion locale et fonctions implicites

4.1 Th´eor`eme d’inversion locale

Motivation : Soitf :RÑRune fonction de classeC¹telle quef¹px0q ‰0. Pour fixer les id´ees supposons quef¹px0q ą0. Par continuit´e def¹, il existeδ ą0 tel quef¹pxq ą0

pour tout x PI :“ sx₀´δ, x₀`δr, ce qui montre que f est strictement croissante et continue sur I. La fonction f r´ealise donc une bijection de I sur J “ fpIq qui est un intervalle ouvert de R. Par ailleurs, la fonction r´eciproque f^´1 est de classe C¹ sur J car, pour toutxPI, on apf^´1˝fqpxq “xpuis, en d´erivant la fonction compos´ee

pf^´1q¹pfpxqq “ 1

f¹pxq pour toutxPI, ce qui implique que

pf^´1q¹ “ 1

f¹˝f^´1 sur J.

L’objet du Th´eor`eme d’inversion locale est de montrer un r´esultat analogue en di- mension sup´erieure. Pour cela, il convient d’introduire la notion de diff´eomorphisme.

D´efinition 4.1. Soient U etV des ouverts deRⁿun ouvert etf :U ÑV. On dit que f r´ealise unC^k-diff´eomorphisme (kPN) de U sur V si

(i) f est de classeC^k sur U; (ii) f :U ÑV est bijective ; (iii) f^´1 est de classeC^k sur V.

Remarque 4.2. 1) Pour k“0, on dit aussi que f r´ealise un hom´eomorphisme de U surV.

2) Si kě1, on af^´1˝fpxq “x pour tout xPU. Le th´eor`eme de diff´erentiation des fonctions compos´ees montre que

dpf^´1qpfpxqq ˝dfpxq “Id, ce qui montre quedfpxq PLpRⁿ,Rⁿq est inversible et

rdfpxqs^´1“dpf^´1qpfpxqq pour toutxPU, ou de fa¸con ´equivalente

dpf^´1qpyq “ rdfpf^´1pyqqs^´1 pour touty PV.

Th´eor`eme 4.3 (d’inversion locale). Soient U Ă Rⁿ un ouvert, f : U Ñ Rⁿ une fonction de classe C^k (k PN^˚). On suppose qu’il existe aPU tel que dfpaq P GL_npRq.

Alors il existe un ouvertV ĂU contenant a et un ouvert W ĂRⁿ contenant fpaq tels que f r´ealise un C^k-diff´eomorphisme deV sur W.

Commen¸cons par ´etablir deux r´esultats qui seront utiles dans la d´emonstration du Th´eor`eme d’inversion locale.

Proposition 4.4. SoituPLpRⁿq telle que

~u~:“ sup

xPRⁿ,x‰0

}upxq}

}x} ă1.

Alors I´uPGL_npRq et

pI´uq^´1 “ ÿ

kě0

u^k.

D´emonstration. Comme ~u^k~ ď ~u~^k pour tout k P N, la s´erie ř

kě0u^k converge absolument dansLpRⁿq. De plus

pI´uq

˜_m ÿ

k“0

u^k

¸

“

m

ÿ

k“0

u^k´

m`1

ÿ

k“1

u^k“I´u^{m`1</sup> et comme ~u~ ă1, il vient~u<sup>m`1}~ ď ~u~^m`1 Ñ0, ce qui montre que

pI´uq

˜ ÿ

kě0

u^k

¸

“I.

De mˆeme, on a

˜ ÿ

kě0

u^k

¸

pI´uq “I.

On en d´eduit queI ´uPGLnpRqet pI´uq^´1 “ř

kě0u^k.

Proposition 4.5. L’ensemble GL_npRq est ouvert dans LpRⁿq. De plus l’application inv :uPGL_npRq ÞÑu^´1 PGL_npRq est de classe C⁸ et pour tout uPGL_npRq,

dinvpuqphq “ ´u^´1hu^´1 pour tout hPLpRⁿq.

D´emonstration.SoituPGLnpRqethPLpRⁿqtels que~h~ ă1{~u^´1~ “:r. Comme u`h“upI`u^´1hqet~u^´1h~ ď ~u^´1~~h~ ă1, on en d´eduit queI`u<sup>´1</sup>hPGL<sub>n</sub>pRq puis queu`hPGLnpRq. Par cons´equent,Bpu, rq ĂGLnpRqce qui montre queGLnpRq est ouvert dans LpRⁿq. De plus,

pu`hq<sup>´1</sup> “ pI`u^´1hq^´1u^´1 “ ÿ

kě0

p´1q^kpu^´1hq^ku^´1

“u^´1´u^´1hu^´1` ÿ

kě2

p´1q^kpu^´1hq^ku^´1.

CommehPLpRⁿq ÞÑ ´u^´1hu^´1PLpRⁿq est lin´eaire et

ÿ

kě2

p´1q^kpu^´1hq^ku^´1

ď ÿ

kě2

~u^´1~^k`1~h~^k

“ ~u^´1~³~h~²ÿ

lě0

~u^´1~^l~h~^l“ ~u^´1~³~h~²

1´ ~u^´1~~h~ “op~h~q.

On en d´eduit queuPGL_npRq ÞÑu^´1 est diff´erentiable et que la diff´erentielle est donn´ee parhPLpRⁿq ÞÑ ´u^´1hu^´1 PLpRⁿq. Par ailleurs, commedinvpuqphq “ ´inv˝h˝inv on en d´eduit que u ÞÑ dinvpuq est continue comme compos´ee de fonctions continues, ce qui montre que inv est de classe C¹ surGL_npRq.

Enfin, en utilisant de nouveau que dinvpuqphq “ ´inv˝h˝inv on en d´eduit que u ÞÑ dinvpuq est de classe C¹ sur GLnpRq comme compos´ee de fonctions de classe C¹

sur GL_npRq. On en d´eduit que inv est de classeC² sur GL_npRq. Par r´ecurrence, nous

montrons ainsi que inv est de classe C⁸ surGLnpRq.

D´emontration du Th´eor`eme d’inversion locale. Quitte `a remplacer f par la fonctionxÞÑdfpaq^´1rfpa`xq´fpaqsetU par´a`U, on peut supposer sans restreindre la g´en´eralit´e quea“0,fp0q “0 etdfp0q “0. La preuve est subdivis´ee en quatre ´etapes.

Etape 1 : Montrons qu’il exister ą 0 tel que pour tout x P Bp0, rq, on a dfpxq P GLnpRqet ~dfpxq^´1~ ď2.

Commef est de classeC¹ sur U etdfp0q “I, il existe rą0 tel que

~dfpxq ´I~ ď 1

2 pour toutxPBp0, rq. (4.1)

Pour xPBr, on ´ecrit ensuite dfpxq “I`dfpxq ´I “I`u avec u“dfpxq ´I tel que

~u~ ď1{2 de sorte que, en vertu de la Proposition 4.4, on adfpxq PGLnpRq et

~dfpxq^´1~ ď ÿ

kě0

~u~^k ď ÿ

kě0

1

2^k “2 pour toutxPBp0, rq. (4.2) Etape 2 :Montrons quef r´ealise une bijection deV :“Bp0, rq Xf^´1pBp0, r{2qqsur W :“Bp0, r{2q.

SoityPBp0, r{2q, on veut montrer qu’il existe un uniquexPBp0, rqtel quey“fpxq.

On d´efinit

hy :U Ñ Rⁿ

x ÞÑ y`x´fpxq

qui est une fonction de classeC¹surU. De plus, pour toutxPU, on adhypxq “I´dfpxq de sorte que~dh_ypxq~ ď1{2 pour toutxPBp0, rqd’apr`es (4.1). En vertu du Th´eor`eme des accroissements finis, il vient

}h_ypxq ´h_ypx¹q} ď 1

2}x´x¹} pour toutx, x¹ PBp0, rq, (4.3) ce qui montre queh_y est contractante sur Bp0, rq. Par ailleurs, pour tout xPBp0, rq,

}h_ypxq} ď }y} ` }x´fpxq} ď }y} ` }h_ypxq ´h_yp0q} ă r 2`r

2 “r,

ce qui montre que h_y :Bp0, rq ÑBp0, rq ĂBp0, rq. D’apr`es le Th´eor`eme du point fixe de Banach, il existe un unique x P Bp0, rq tel que hypxq “ x, i.e. y “ fpxq. Comme hypBp0, rqq ĂBp0, rq, on a quexPBp0, rqet commeyPBp0, r{2q, on a ´egalement que xPf^´1pBp0, r{2qq.

Etape 3 :Montrons queg:“f^´1:W ÑV est Lipschitzienne.

Pour tout x,x¹ PBp0, rq, on a h0pxq “x´fpxq eth0px¹q “x¹´fpx¹q de sorte que par (4.3),

}x´x¹} ď }h0pxq ´h0px¹q} ` }fpxq ´fpx¹q} ď 1

2}x´x¹} ` }fpxq ´fpx¹q},

ce qui implique que

}x´x¹} ď2}fpxq ´fpx¹q}, soit

}gpyq ´gpy¹q} ď2}fpgpyqq ´fpgpy¹qq} “2}y´y¹} pour touty, y¹PBp0, r{2q. (4.4) Etape 4 :Montrons queg est de classeC^k surW.

SoientyPW etkPRⁿ tel quey`kPW. Il existe un uniquexPV tel quey“fpxq et il existe un uniquehPR<sup>n</sup>tel quex`hPV etfpx`hq “y`k. En particulier, nous avons que gpyq “x etgpy`kq “x`h. Posons

∆pkq :“ gpy`kq ´gpyq ´dfpxq^´1pkq

“ x`h´x´dfpxq<sup>´1</sup>rfpx`hq ´fpxqs

“ ´dfpxq^´1rfpx`hq ´fpxq ´dfpxqphqs.

Commef est diff´erentiable en x, d’apr`es (4.2), on a

}∆pkq} ď2}fpx`hq ´fpxq ´dfpxqphq} “ }h}εp}h}q,

o`u εptq Ñ0 quand t Ñ 0. Or }h} “ }x`h´x} “ }gpy`kq ´gpyq} ď 2}k} d’apr`es (4.4) ce qui implique que

}∆pkq}

}k} ď2εp}h}q Ñ0

quand }k} Ñ 0. Comme dfpxq^´1 PLpRⁿq, on en d´eduit que g est diff´erentiable en y et dgpyq “ dfpxq^´1 “ dfpf^´1pyqq^´1. Enfin, comme dg “ inv˝df ˝f^´1, on en d´eduit que dg est continue comme compos´ee de fonctions continues (voir la Proposition 4.5), ce qui ´etablit quegest de classe C¹ sur W. Par suite, si kě1, commedf est de classe C^k´1, inv est de classe C⁸ et f^´1 est de classe C¹, on en d´eduit que g est de classe C² surW. Par r´ecurrence, on montre ainsi que g est de classeC^k surW.

Le Th´eor`eme d’inversion locale ne donne qu’un crit`ere permettant de montrer qu’une fonction est diff´eomorphisme local. Le r´esultat suivant permet de montrer sous des hypoth`eses plus fortes qu’une fonction est un diff´eormorphisme global.

Th´eor`eme 4.6 (Th´eor`eme d’inversion globale). Soient U Ă Rⁿ un ouvert, f : U ÑRⁿ une fonction de classe C¹. On suppose que f est injective surU et que dfpxq P GLnpRq pour toutxPU. Alors fpUq est un ouvert etf r´ealise un C¹-diff´eomorphisme de U sur fpUq.

D´emonstration. D’apr`es le Th´eor`eme d’inversion locale, pour toutxPU, il existe un voisinage ouvert Vx ĂU de x et un voisinage ouvert Wx de fpxq tels que f r´ealise un C¹-diff´eomorphisme deV_x sur W_x. On a alors que U “Ť

xPUV_x et fpUq “f

˜ ď

xPU

Vx

¸

“ ď

xPU

fpVxq “ ď

xPU

Wx,

ce qui montre que fpUq est ouvert. Commef est injective surU, on en d´eduit que f est bijective de U sur V. Par ailleurs, comme f^´1|Wx “ pf|Vxq^´1 est de classe C¹ sur Wx pour toutxPU, on en d´eduit quef^´1 est de classeC¹ sur fpUq.