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IPSA | DS de transfert thermique n° 1 du 19 octobre 2019

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SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2019-2020 Classe : Aéro-3

Type d’examen : DS 1 Matière : Transfert thermique Code matière : En 311 Date : 19 octobre 2019 Horaire :

Durée : 1 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui Calculatrices autorisées : OUI

Documents : NON

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1: /3 Exercice 2 : /4 Exercice 3 : /13

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20 ^Corrigé

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Exercice 1 : Dimension de grandeurs et conversion d’unités (2,25 + 0,75 points)

La dimension des grandeurs fondamentales sont L, M, T, I, θ, N, J Donner la dimension des grandeurs suivantes :

Grandeurs Dimensions

Vitesse V (m/s)

LT

^-1 _0,25

Accélération a (m/s²)

LT

^-2 _0,25

Force F (N)

LMT

^-2 _0,25

Pression P(Pa)

L

^-1

MT

^-2 _0,25

Masse volumique ρ (kg/m³)

L

^-3

M

0,25 Energie cinétique Ec

(J)

L

²

MT

^-2

0,25

Puissance P (W)

L

²

MT

^-3 _0,25

Viscosité dynamique

η(Pa.s)

L

^-1

MT

^-1

0,25 Chaleur massique

c(J.kg^-1.°C^-1)

L

²

T

^-2

θ

^-1

0,25

Convertir :

Ecrire sous forme de puissance de 10.

1 cm =……. 10^-2 m 1 cm² =……10^-4m² 1 L =…....10^-3 m³ 0,25

1 dm =……..10^-1m 1 dm² =……10^-2 m² 1 cm³ =……10^-6 m³ 0,25

1 mm = ……..10^-3m 1 mm² =…….10^-6 m² 1 dm³ =…...10^-3 m³ 0,25

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Exercice 2 : Analyse dimensionnelle (4,0 points)

Des expériences ont montré que la vitesse v du son dans un gaz n’est fonction que de la masse volumique  du gaz et de son coefficient de compressibilité isotherme T.

Le coefficient de compressibilité est donné par :

𝝌

_𝑻

= − 𝟏

𝑽 ( 𝝏𝑽

𝝏𝑷 )

𝑻 V est le volume et P la pression du gaz.

a) Etablir l’équation aux dimensions de T.

b) Quelle est la loi qui donne la vitesse v du son en fonction des caractéristiques  et T et du gaz ? On appellera α, β les puissances correspondantes.

c) En déduire alors la relation demandée.

d) La relation donnée est-elle complète ? justifiez.

Réponse :

a) Equation aux dimensions :

[𝝌_𝑻] = [−𝟏 𝑽] [(𝝏𝑽

𝝏𝑷)

𝑻] = [𝟏

𝑷] = 𝟏

𝐋^−𝟏𝐌𝐓^−𝟐=𝐋𝐌^−𝟏𝐓^𝟐

b) Loi de la vitesse :

𝒗 = 𝒌𝝆

^𝜶

𝝌

^𝜷_𝑻

k

cste sans dimension c) Par analyse dimensionnelle

[𝒗] = [𝒌][𝝆

^𝜶

] [𝝌

_𝑻^𝜷

]

𝐋𝐓

^−𝟏

= 𝟏. (𝐋

^−𝟑

𝑴)

^𝜶

(𝐋𝐌

^−𝟏

𝐓

^𝟐

)

^𝜷

𝐋𝐓

^−𝟏

= 𝟏. (𝐋

^−𝟑

𝑴)

^𝜶

(𝐋𝐌

^−𝟏

𝐓

^𝟐

)

^𝜷

𝐋𝐌

^𝟎

𝐓

^−𝟏

= 𝐋

^{−𝟑𝜶+𝜷}

𝑴

^𝜶−𝜷

𝑻

^𝟐𝜷

{

𝟏 = −𝟑𝜶 + 𝜷 𝟎 = 𝜶 − 𝜷

−𝟏 = 𝟐𝜷 {

𝟏 = −𝟑𝜶 + 𝜷 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊é 𝜶 = 𝜷 = −𝟏/𝟐

𝜷 = −𝟏/𝟐

𝒗 = 𝒌𝝆

^−𝟏/𝟐

𝝌

_𝑻^−𝟏/𝟐

= 𝒌

√𝝆 𝝌

𝑻

a) La constante k n’a pas de dimension.

Elle ne peut être déterminée avec l’analyse dimensionnelle.

1 **0,5*2**

**0,5*2**

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Exercice 3 : Convection externe sur une barre (13,0 points)

Une barre conductrice de cuivre de section circulaire de diamètre D = 15 mm, de température Tc = 80°C est refroidie par le mouvement transversal forcé de l’air sec. La vitesse et la température du fluide arrivant sur la barre sont respectivement de v = 1m/s et Tf = 20°C.

La corrélation, dans les conditions de l’exercice, entre le Re, le Pr et le Nu est donnée par : 𝑵𝒖 = 𝑪 𝑹𝒆^𝒎 𝑷𝒓^{𝟎,𝟑𝟑} 𝑪 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟑 𝒎 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟔

Avec

𝑵𝒖 =𝒉𝑫

𝝀 𝑹𝒆 = 𝝆𝒗𝑫

𝜼 𝑷𝒓 = 𝜼𝒄_𝒑 𝝀 Où

h est le coefficient de convection entre la barre cylindrique et le fluide : W/(m². K) ρ la masse volumique de l’air : kg/m³

η la viscosité dynamique (appelé μ dans le tableau ci-dessous) de l’air sec : Pa.s λ la conductivité thermique de l’air sec : W/m.°C

cp la capacité thermique massique de l’air sec : J/kg.°C

ATTENTION : PAGE SUIVANTE TABLEAU DES PROPRIETES DE L’AIR SEC.

1) Déterminer la dimension de chaque grandeur intervenant dans les trois nombres sans dimension.

2) En déduire que :

a) la dimension du nombre de Reynolds est égale à 1. Que représente ce nombre ? b) la dimension du nombre de Prandtl est égale à 1. Que représente ce nombre ? c) la dimension du nombre de Nusselt est égale à 1. Que représente ce nombre ? 3) Calculer le nombre de Reynolds.

4) Calculer le nombre de Prandtl.

5) En déduire le nombre de Nusselt en utilisant la corrélation donnée.

6) En déduire le coefficient de convection h et donner son unité.

7) Quelle relation y a-t-il entre le flux de chaleur échangé et le coefficient de convection h.

8) Déterminer la quantité de chaleur échangée par convection par seconde et par unité de surface.

T

c

= 80°C 1 m/s

D =15 mm

v = 1 m/s

T

f

= 20°C

1 m/s

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Propriétés physiques de l’air sec

Réponse :

1) Dimensions de différentes grandeurs.

D’après les unités ou le tableau exo1.

[𝒉] = 𝐋

^𝟐

𝐌𝐓

^−𝟐

. 𝑻

^−𝟏

𝑳

^𝟐

. 𝜽 = 𝐌𝐓

^−𝟑

𝜽

^−𝟏

[𝑫] = 𝑳

[𝝀] = 𝐋

^𝟐

𝐌𝐓

^−𝟐

. 𝑻

^−𝟏

𝑳. 𝜽 = 𝐋𝐌𝐓

^−𝟑

𝜽

^−𝟏

[𝝆] = 𝐋

^−𝟑

𝐌

[𝒗] = 𝐋𝐓

^−𝟏

[𝜼] = [ 𝑭

𝑺 𝒕] = 𝐋𝐌𝐓

^−𝟐

. 𝑻 𝑳

^𝟐

= 𝐋

^−𝟏

𝐌𝐓

^−𝟏

[𝒄

_𝑷

] = 𝐋

^𝟐

𝐌𝐓

^−𝟐

𝐌

^−𝟏

𝜽

^−𝟏

= 𝐋

^𝟐

𝐓

^−𝟐

𝜽

^−𝟏

2) Dimension du Re

a) [𝑹𝒆] = ^{[𝝆][𝒗][𝑫]}_[𝜼] =^𝐋^−𝟑_𝐋_−𝟏^{𝐌.𝐋𝐓}_𝐌𝐓^−𝟏_−𝟏^.𝑳= 𝟏 Ce nombre sans dimension caractérise un écoulement.

b) [𝑷𝒓] = ^[𝜼][𝒄_[𝝀]^𝒑^]= ^𝐋^−𝟏^𝐌𝐓_𝐋𝐌𝐓^−𝟏_−𝟑^.𝐋^𝟐_𝜽^𝐓_−𝟏^−𝟐^𝜽^−𝟏= 𝟏 Ce nombre caractérise un fluide.

c) [𝑵𝒖] =

^[𝒉][𝑫]_[𝝀]

=

^𝐌𝐓_𝐋𝐌𝐓^−𝟑_−𝟑^𝜽^−𝟏_𝜽_−𝟏^.𝑳

= 𝟏

Ce nombre caractérise un transfert de chaleur.

3) Calcul du nombre de Re

Les différentes grandeurs seront prises à la température moyenne :

𝑻 = 𝑻_𝒇+ 𝑻_𝒄

𝟐 =𝟖𝟎 + 𝟐𝟎

𝟐 = 𝟓𝟎°𝑪 𝑹𝒆= 𝝆𝒗𝑫

𝜼 =𝟏, 𝟎𝟗𝟑 ∗ 𝟏 ∗ 𝟏𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑

𝟏𝟗, 𝟔 𝟏𝟎^−𝟔 =𝟖𝟑𝟕 4) Calcul du nombre de Pr

𝑷𝒓 = 𝜼𝒄_𝒑

𝝀 = ^{𝟏𝟗, 𝟔. 𝟏𝟎}

−𝟔∗ 𝟏, 𝟎𝟎𝟓. 𝟏𝟎^𝟑 𝟐, 𝟖𝟑. 𝟏𝟎^−𝟐

=𝟎, 𝟔𝟗𝟔

5) La corrélation est donnée par : 𝑵𝒖 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟑 𝑹𝒆^{𝟎,𝟒𝟔𝟔} 𝑷𝒓^{𝟎,𝟑𝟑}

**0,25*4**

1 1

1 1 1 1

1

ATTENTION A LA LECTURE : 𝝀 = 𝟐, 𝟖𝟑. 𝟏𝟎^−𝟐 etc

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𝑵𝒖 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟑 ∗ 𝟖𝟑𝟕 ∗ 𝟎, 𝟔𝟗𝟔

= 𝟏𝟑, 𝟗

6) Le Nusselt est donné par : 𝑵𝒖 =𝒉𝑫

𝝀 ⟹ 𝒉 =𝝀 𝑵𝒖

𝑫 = 𝟐, 𝟖𝟑. 𝟏𝟎^−𝟐∗𝟏𝟑, 𝟗 𝟏𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑

= 𝟐𝟔, 𝟐𝟑 𝑾 𝒎⁄ ^𝟐. °𝑪 7) Flux échangé :

𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝐓_𝒄− 𝐓_𝒇) 8) Calcul :

𝚽 = 𝒉 𝑺 𝚫𝚯 = 𝟐𝟔, 𝟐𝟑 ∗ 𝟏 ∗ (𝟖𝟎 − 𝟐𝟎)

= 𝟏𝟓𝟕𝟑, 𝟖 𝑾

1 **0,5*2**

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