Epreuve 4

07/08 Révision ¹ Exercice 1 :

1. Déterminer PGCD(2688 ; 3024).

2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes

(1) 2688x + 3024y = −3360 ; (2) 8x + 9y = −10.

b. Vérifier que (1 ; −2) est une solution particulière de l’équation (2).

c. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit un repère orthonormal (O i j k; , , ) de l’espace.

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives x + 2y − z = −2 et 3x − y + 5z = 0.

a. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

b. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

c. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercice 2 :

07/08 Révision ² ABCD est un carré tel que





segment [CD].

On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On désigne par  le centre de cette similitude.

1 est le cercle de diamètre [AI], 2 est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que ^ est l’un des points d’intersection de 1 et 2. Placer  sur la figure.

3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.

4. On pose ^{hs s} (composée de s avec elle même).

a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).

b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A,  et K sont alignés.

Partie B

07/08 Révision ³ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ^{(A u v; , )}, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est ¹ 1

z 2iz i. 2. Calculer l’affixe du point .

3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A.

Placer le point E sur la figure.

Exercice 3:

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct

(O ;u

,v

), l'unité graphique est 1 cm. On considère la courbe (C) d'équation :

7x² + 13y² 6 3xy  30 = 0.

Le but de l'exercice est de déterminer la nature et les éléments remarquables de la courbe (C) puis de la tracer.

1. On considère la transformation f du plan qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z' = ( 3 i) z.

Déterminer la nature de f et préciser ses éléments géométriques.

07/08 Révision ⁴ 2. Exprimer les coordonnées (x ; y) de M en fonction des coordonnées

(x' ; y') de M'.

3. a) Montrer que l'image (C') de la courbe (C) par la transformation f est, dans le repère (O

;^u,^v), la courbe d'équation : x² + 4y² = 36.

b) En déduire que (C') est une conique dont on déterminera la nature et les éléments

remarquables. Tracer (C').

4. Déduire des questions précédentes la nature de la courbe (C) et la tracer.

Problème :

soit nIN*, la fonction fn définie sur ]-1,+∞_[ par: fn(x)=

) x 1 (

e

n x

 . soit n la courbe

représentative de fn dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( unité graphique 2cm).

A/

1/ a) étudier les variations de f1 et f2.

b) étudier la position relative de 1 et 2 et les construire.

2/ soit Un la valeur minimale de fn sur ]-1,+∞_[.

a) montrer que Un=fn(n-1).

07/08 Révision ⁵ b) pour x ≥ 0 comparer f_n+1(x) et f_n(x).

c) en déduire que la suite U est décroissante et qu'elle est convergente.

d) calculer la limite de la suite U en +∞_. B/

soit x] , [ e

1  on pose F(x)=^Logx_

0 f2(t)dt. 1/ justifier l'existence de F(x) pour tout x] , [

e

1  .

2/ montrer que pour tout x]e ^-1,1[;

F(x) ≤ _x(1-

Logx 1

1

 ).

en déduire lim F(x) e)

(1

x





.

3/ a) à l'aide d'une intégration par parties montrer que pour tout x>e ^-1:

F(x)=   _



Logx

0 f3(t)dt 2

)² 1 Logx 1

(

x .

b) en déduire que pour tout x ≥ 1 ;

F(x) ≥ 1

)² Logx 1

(

x 



calculer la limite de F en +∞_.

07/08 Révision ⁶ 4/ montrer que F réalise un bijection de ] , [

e 1 

sur IR.

C/ pour tout nIN*, on pose I_n=¹_

0 fn(x)dx. 1/montrer que la suite I est décroissante et qu'elle est convergente.

2/ montrer que pour tout nIN*/{1} on a:

) 2 1 1 1( n I e ) 2 1 1 1( n

1

1 n n

1

n  

 



  .

en déduire _{lim In}

n .

3/ a) exprimer fn '(x) à l'aide fn(x) et fn+1(x).

b) en déduire une relation entre I_n et I_n+1. c) déterminer lim nIn1

n 





Bon Travail