L.S.Marsa Elriadh
Liste 23
M : Zribi4 ème Maths Exercices
1
Exercice 1:
Soit f la fonction définie par f(x)=x x . 1/ déterminer le domaine de dérivabilité de f.
2/ calculer s'il existe f '(1).
3/ soit g la fonction définie sur [0,
2
[ par g(x)=fou(x) avec u(x)=tgx.
a) étudier la dérivabilité de u en
4
. b) En déduire que g est dérivable en
4
et calculer g'(
4
).
Exercice 2:
Soit f la fonction définie par f(x)=x x x²
1/ déterminer le domaine de continuité de f.
2/ a) étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et à gauche en 1; interpréter géométriquement les résultats obtenus.
b) déterminer le domaine de dérivabilité de f.
c) calculer f'(x) pour tout x]0,1[.
3/ soit g la fonction définie sur [0,
2
] par g(x)=f(cosx).
Étudier la dérivabilité de g en
2
et en
3
Exercice 3:
Soit la fonction f définie par f(x)= ² 1
² 1
x
x x
. 1/ dresser le tableau de variations de f.
2/ montrer que l'équation f(x)=x admet dans IR une solution unique et que ]2
3 ,1[.
3/ soit U la suite réelle définie sur IN par 0
1
1
( ),
n n
U
U f U n IN
a) montrer que pour tout nIN, 2
3 Un 1.
b) Montrer que pour tout x[2
3 ,1], |f'(x)| 5
9. c) En déduire que |Un+1 - | 5
9|Un- |.
d) Montrer alors que |Un – | (5
9)n|1- |.
e) En déduire lim n
n
U .
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2
3/ soit la fonction définie sur [-
2
,0] par
( ) ( )
2
( ) 1
2
x f tgx si x
a) montrer que pour tout x[-
2
,0], (x)= 2
2 sin 2x .
b) Montrer que vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et déterminer x0]-
2
,0[ tel que '(x0)=0.
c) Etudier les variations de . Exercice 4:
soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=1+
²1 x
x
A/ 1/ étudier les variations de f sur IR.
2/ soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) ; préciser les asymptotes de .
3/a/ montrer que admet un point d’inflexion I que l’on précisera.
b/ écrire un équation de la tangente T à en I.
c/ préciser la position relative de T et .
4/ a/ tracer et T dans le même repère (O, i,j) . b/ que représente I pour ? justifier.
B/ 1/ a/ montrer que l’équation f(x)=x admet une solution réelle unique
.
b/ vérifier que ]1,2[.
2/ soit la suite U définie sur IN par : 0
1
1
( )
n n
U
U f U n IN
a/ montrer que pour tout nIN ; 1 Un.
b/ montrer que pour tout x [1,+[ ; on a 0 f’(x) 2 2
1 c/ en déduire que pour tout n IN ; |Un+1-|
2 2
1 |Un-|.
d/ montrer que pour nIN ; |Un+1-| ( 2 2
1 )n|U0-|.
e/ en déduire que U converge et déterminer sa limite.
Exercice 5 :
A/ soit f la fonction définie sur [-1,1[ par f(x)=
x
x
1
1 et sa courbe représentative dans un repère orthonormé
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1/ a/ montrer que f est dérivable sur ]-1,1[ et que f’(x)= 1
( 1 x )² f ( x ) . b/ étudier la dérivabilité à droite de f en –1 et interpréter
géométriquement le résultat obtenue c/ dresser le tableau de variation de f
2/ a/ donner une équation cartésienne de la tangente T à la courbe au point A d’abscisse 0
b/ vérifier que pour tout x[-1,1[; f(x)-(x+1)=
² 1 1
) (
² x x f x
; en déduire que la courbe est au dessus de T
c/ construire et T
B/ soit h la fonction définie sur ]0,+ [ par h(x)=1+ 1
x . 1/ a) dresser le tableau de variations de h.
b) montrer que l'équation h(x)=x admet dans ]0,+ [ une unique solution et que ]1,2[.
2/ soit U la suite définie par 0
1
3
( ) ,
n n
U
U h U n IN
a) montrer que pour tout x 1; |h '(x)| 1
2. b) Montrer que |Un+1 – | 1
2|Un – |.
c) En déduire que U est convergente et calculer sa limite.
