Série 9

L.S.Marsa Elriadh

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Exercice 1:

Soit f la fonction définie par f(x)= x − x . 1/ déterminer le domaine de dérivabilité de f.

2/ calculer s'il existe f '(1).

3/ soit g la fonction définie sur [0, 2

π [ par g(x)=fou(x) avec u(x)=tgx.

a) étudier la dérivabilité de u en 4 π . b) En déduire que g est dérivable en

4

π et calculer g'(

4 π ).

Exercice 2:

Soit f la fonction définie par f(x)=x − x x− ² 1/ déterminer le domaine de continuité de f.

2/ a) étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et à gauche en 1; interpréter géométriquement les résultats obtenus.

b) déterminer le domaine de dérivabilité de f.

c) calculer f'(x) pour tout x∈]0,1[.

3/ soit g la fonction définie sur [0, 2

π ] par g(x)=f(cosx).

Étudier la dérivabilité de g en 2 π et en

3 π

Exercice 3:

Soit la fonction f définie par f(x)= ^{² 1}

² 1

x

x x

+ + + . 1/ dresser le tableau de variations de f.

2/ montrer que l'équation f(x)=x admet dans IR une solution unique α et que α∈]² 3,1[.

3/ soit U la suite réelle définie sur IN par ⁰

1

1

( ),

n n

U

U ₊ f U n IN

⎧ =

⎨ = ∈

⎩ a) montrer que pour tout n∈IN, ²

3 ≤ Un≤ 1.

b) Montrer que pour tout x∈[²

3,1], |f'(x)| ≤ ⁵ 9. c) En déduire que |Un+1 -α | ≤ ⁵

9|Un-α |.

d) Montrer alors que |Un – α | ≤ (⁵

9)ⁿ|1-α |.

e) En déduire lim _n

n U

→+∞ .

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3/ soit la fonction ϕ définie sur [- 2

π ,0] par

( ) ( )

2

( ) 1

2

x f tgx si x π

ϕ ϕ π

⎧ = ≠ −

⎪⎪⎨

⎪ − =

⎪⎩

a) montrer que pour tout x∈[- 2

π ,0], ϕ (x)= ² 2 sin 2x+ .

b) Montrer que ϕ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et déterminer x0∈]- 2

π ,0[ tel que ϕ '(x0)=0.

c) Etudier les variations de ϕ . Exercice 4:

soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=1+

²+1 x

x A/ 1/ étudier les variations de f sur IR.

2/a/ montrer que ζ admet un point d’inflexion I que l’on précisera.

b/ écrire un équation de la tangente T à ζ en I.

c/ préciser la position relative de T et ζ.

B/ 1/ a/ montrer que l’équation f(x)=x admet une solution réelle unique α. b/ vérifier que α∈]1,2[.

2/ soit la suite U définie sur IN par : ⁰

1

1

( )

n n

U

U ₊ f U n IN

⎧ ≥

⎨ = ∈

⎩ a/ montrer que pour tout n∈IN ; 1≤ Un.

b/ montrer que pour tout x∈ [1,+∞[ ; on a 0≤ f’(x) ≤

2 2 1

c/ en déduire que pour tout n∈ IN ; |Un+1-α| ≤

2 2 1

n-α|.

d/ montrer que pour n∈IN ; |Un+1-α| ≤ (

2 2

1

0-α|.

e/ en déduire que U converge et déterminer sa limite.

Exercice 5 :

A/ soit f la fonction définie sur [-1,1[ par f(x)=

xx

−+

11 _{et ζ} sa courbe représentative dans un repère orthonormé

1/ a/ montrer que f est dérivable sur ]-1,1[ et que f’(x)= 1

( 1 x )² f ( x )− ^.

b/ étudier la dérivabilité à droite de f en –1 et interpréter géométriquement le résultat obtenue c/ dresser le tableau de variation de f

2/ a/ donner une équation cartésienne de la tangente T à la courbe ζ au point A d’abscisse 0

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b/ vérifier que pour tout x∈[-1,1[; f(x)-(x+1)=

² 1 1

) (

² x x f x

−

+ ; en déduire que la courbe ζ est au dessus de T

B/ soit h la fonction définie sur ]0,+∞ [ par h(x)=1+ 1 x . 1/ a) dresser le tableau de variations de h.

b) montrer que l'équation h(x)=x admet dans ]0,+∞ [ une unique solution α et que α∈]1,2[.

2/ soit U la suite définie par ⁰

1

3

( ) ,

n n

U

U ₊ h U n IN

⎧⎨ = ∈

⎩

;

a) montrer que pour tout x ≥ 1; |h '(x)| ≤ ¹ 2. b) Montrer que |Un+1 –α | ≤ ¹

2|Un – α |.

c) En déduire que U est convergente et calculer sa limite.

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée Cf d’une fonction f dérivable sur

[

[

On sait que :

− L’axe des abscisses est asymptote à la courbe Cf au voisinage de + ∞.

− la courbe Cf admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point A

− la tangente à la courbe Cf au point B passe par le point de coordonnées

(

)

1) À partir du graphique et des renseignements fournis : a. Déterminer ^lim

( )

x f x

→+∞ . b. Déterminer ^{f ' 1}

( )

( )

c. Résoudre ^{f x'}

( )

2) On considère la fonction g qui à x associe ^{g x}

( )

( )

a. Préciser l’intervalle de définition I de la fonction g.

b. Calculer

( )

lim0

x g x

→ et ^lim

( )

x g x

→+∞ .

O y

x 1

1 Cf

A

B

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c. Calculer ^{g' 1}

( )

( )

d. Étudier les variations de la fonction g sur I.

3) On considère la fonction h qui à tout réel x strictement positif associe ^{h x}

( )

x

= ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠. a. Calculer

( )

lim0

x h x

→ et ^lim

( )

x h x

→+∞ . Que peut-on déduire pour la courbe représentative de la fonction h ?

b. Calculer ' ¹ h ⎛ ⎞3

⎜ ⎟⎝ ⎠.