est le nombre de Mahler

Énoncé

L'objet de ce problème

¹

est le nombre de Mahler

²

dont le développement décimal est obtenu en plaçant bout à bout l'écriture décimale de chaque entier naturel non nul. Ce nombre est noté M

M = 0.123456789101112131415 · · ·

Les notations suivantes sont valables dans tout le problème. Pour tout k ∈ N

^∗

: d _k = 9k 10 ^k−1 = k 10 ^k − 10 ^k−1

D k = d 1 + d 2 + · · · + d k

m k =

10

^k−1

X

i=10

^k−1

i 10 ^k(10

^k−i−1)

µ k = m 1 10

^−D1

+ m 2 10

^−D2

+ · · · + m k 10

^−Dk

Question préliminaire

Soit n un entier naturel non nul et x un réel qui n'est pas égal à 1 . Montrer que

n

X

j=1

jx

^j−1

= x ⁿ nx − n − 1

(x − 1) ² + 1 (x − 1) ²

Partie I. Autour des d k .

1. Quel est le plus grand entier à k chires en écriture décimale ? Quel est le nombre d'entiers non nuls ayant exactement k chires ?

2. Présenter dans un tableau les valeurs de d _k et D _k pour k = 1, 2, 3 . 3. Montrer que D _k = (k − ¹ ₉ )10 ^k + ¹ ₉ .

4. Montrer que D _k = 10 D _k−1 + 10 ^k − 1 pour k ≥ 2 .

Partie II. Autour des m _k .

Dans toute cette partie, k désigne un élément non nul de N.

1

d'après Making Transcendance Transparent E.B. Burger & R. Tubbs (Springer)

2

connu aussi sous le nom de nombre de Champernowne

1. a. Montrer que

10

^k−1

X

i=10

^k−1

10 ^k(10

^k−i)

= 10 ^k

10 ^k − 1 10 ^d

^k

− 1 b. Montrer que 10 ^d

^k−1

< m k .

c. Montrer que

m k < 10 ^k − 1 10 ^k

10

^k−1

X

i=10

^k−1

10 ^k(10

^k−i)

En déduire m k < 10 ^d

^k

.

2. Montrer les écritures décimales suivantes : m 1 = 123456789 m 2 = 101112 · · · 979899

On admettra que cette forme est valable pour tous les k c'est à dire que m k est le nombre dont l'écriture décimale est obtenue en plaçant de gauche à droite les écritures décimales de tous les nombres à k chires.

m 3 = 100101102 · · · 997998999 ...

Quel est le nombre de chires dans l'écriture de m _k ?

3. a. Écrire l'expression de m k obtenue en posant j = 10 ^k − i dans la somme le dé- nissant.

b. Montrer qu'il existe un entier a k et un rationnel r k ∈

0, ¹⁰ ₉ tels que

∀k ≥ 2, m k = 10 ^d

^k

a _k

(10 ^k − 1) ² − r k .

Partie III. Autour des µ _k .

On considère la suite (µ k ) _k∈

N^∗

. Il pourra être utile de remarquer que ¹⁰ ₉ < 1 + ₁₀ ² . 1. Soit k ≥ 2 et l > k . Montrer que

m _k 10

^−Dk

+ m _k+1 10

^−Dk+1

+ · · · + m _l 10

^−Dl

< 10

9 10

^−Dk−1

2. Montrer que la suite (µ k ) _k∈N

∗

est convergente et que, en notant M sa limite, M − µ k ≤ 10

9 10

^−Dk

En déduire M ≤ 0.1234567902 .

On admet que le nombre M ainsi déni est bien le nombre de Mahler indiqué au début de l'énoncé.

3. Pour k ≥ 2 , on note q k = 10 ^D

^k−1

(10 ^k − 1) ² . Montrer qu'il existe p k ∈ N tel que

M − p k

q k

≤ 10 9 × 10 ^D

^k

Montrer que, pour tout réel γ < 10 ,

M − p k

q k

≤ 1 q ^γ _k

Partie IV. Le théorème de Liouville

Dans cette partie, on identie un polynôme avec sa fonction polynomiale associée.

Soit P un polynôme à coecients dans Z, de degré d , sans racine dans Q et admettant une racine réelle α (donc forcément irrationnelle).

On note M = sup _{[α−1,α+1]} |P

⁰

|

1. Pourquoi M est-il strictement positif ? On pose C = _M ¹ . 2. Montrer que

P ( ^p _q )

≥ _q ¹

_d

pour tout p ∈ Z et pour tout q ∈ N

^∗

.

3. Théorème de Liouville. Montrer que |α − ^p _q | ≥ _q ^C

d

pour tout p ∈ Z et pour tout q ∈ N

^∗

tels que |α − ^p _q | ≤ 1 .

4. On admet que M est irrationnel. Montrer qu'il n'est racine d'aucun polynôme à coef- cients entiers et de degré inférieur ou égal à 9 .

Corrigé

Question préliminaire

La somme que l'on nous demande d'exprimer est la dérivée de x → 1 + x + x ² + · · · + x ⁿ = x ⁿ⁺¹ − 1

x − 1 Elle est donc égale à

(n + 1) x ⁿ

x − 1 − x ⁿ⁺¹ − 1

(x − 1) ² = x ⁿ (n + 1)(x − 1) − x

(x − 1) ² + 1 (x − 1) ²

= x ⁿ nx − n − 1

(x − 1) ² + 1 (x − 1) ²

Partie I. Autour des d k .

1. Le plus grand entier à k chires en écriture décimale est 10 ^k − 1 . Il représente donc aussi le nombre d'entiers non nuls avec moins de k chires. Pour k = 1 , le nombre d'entiers non nuls ayant exactement k chires est 9 = 10 − 1 . Si k ≥ 2 , pour obtenir le nombre d'entiers à k chires, il faut enlever à l'ensemble des entiers de moins de k chires ceux qui en ont moins de k − 1 . Ce nombre est donc

10 ^k − 1 − (10 ^k−1 − 1) = 10 ^k − 10 ^k−1 = 9 × 10 ^k−1

On peut aussi obtenir ce résultat par dénombrement. Le premier chire (celui de puissance de 10 la plus élevée) est entre 1 et 9 , les autres entre 0 et 9 .

2. Des calculs immédiats qui permettent de se faire une idée de l'ordre de grandeur : k d _k D _k

1 9 9

2 180 189

3 2700 2889

3. On peut appliquer la formule de la question préliminaire avec x = 10 . D k = 9

k

X

j=1

j × 10 ^j−1 = 9

10 ^k 10k − k − 1 9 ² + 1

9 ²

= 10 ^k 9k − 1 9 + 1

9 = (k − 1

9 )10 ^k + 1

9

4. Contentons nous de vérier la formule demandée : 10 D _k−1 + 10 ^k − 1 = 10

(k − 1 − 1

9 )10 ^k−1 + 1 9

+ 10 ^k − 1

= (k − 1 − 1

9 )10 ^k + 10

9 + 10 ^k − 1 = (k − 1 − 1

9 + 1)10 ^k + 1 9 = D k

Partie II. Autour des m _k .

Dans toute cette partie, k désigne un élément non nul de N.

1. a. Il s'agit d'une somme de termes en progression géométrique. La raison est 10 ^k , les exposants varient entre 1 et 10 ^k − 10 ^k−1 . On a donc

10

^k−1

X

i=10

^k−1

10 ^k(10

^k−i)

= 10 ^k(10

^k−10k−1

⁺¹⁾ − 10 ^k

10 ^k − 1 = 10 ^k

10 ^k − 1 10 ^d

^k

− 1

b. Le nombre m k est une somme de nombres positifs. Il est donc plus grand que chacun d'entre eux, en particulier celui d'indice i = 10 ^k−1 :

m k > 10 ^k−1 10 ^k(10

^{k−10k−1−1)}

= 10 ^d

^k−1

c. On peut majorer m k en remplaçant chaque i devant la puissance de 10 par le plus grand d'entre eux (qui est 10 ^k − 1 ) sans modier l'exposant. On obtient alors

m k < (10 ^k − 1)

10

^k−1

X

i=10

^k−1

10 ^k(10

^k−i−1)

= 10 ^k − 1 10 ^k

10

^k−1

X

i=10

^k−1

10 ^k(10

^k−i)

= 10 ^d

^k

− 1

d'après II.1.a. On en déduit m _k < 10 ^d

^k

. 2. Par dénition,

m ₁ = 1 × 10 ^1×(8) + 2 × 10 ^1×(7) + · · · + 8 × 10 ^9×(1) + 1 × 10 ^1×(0) = 123456789

car les puissances de 10 sont échelonnées de 0 à 9 . De même pour k = 2 , les puissances vont s'échelonner à cause du k en facteur dans l'exposant.

m 2 = 10 × 10 ¹⁷⁸ + 11 × 10 ¹⁷⁶ + 12 × 10 ¹⁷⁴ + · · ·

+ 97 × 10 ⁴ + 98 × 10 ² + 99 × 10 ⁰

= 1 × 10 ¹⁷⁹ + 0 × 10 ¹⁷⁸ + 1 × 10 ¹⁷⁷ + 1 × 10 ¹⁷⁶ + · · ·

+ 9 × 10 ³ + 9 × 10 ² + 9 × 10 ¹ + 9 × 10 ⁰ = 101112 · · · 979899 Le nombre de chires dans l'écriture de m _k est d _k c'est à dire le nombre d'entiers à k chires multiplié par le nombre de chires k . Ce résultat est bien cohérent avec l'encadrement 10 ^d

^k−1

< m k < 10 ^d

^k

trouvé plus haut.

3. a. Posons j = 10 ^k − i dans la somme dénissant m k . Il vient

m k =

10

^k−10^k−1

X

j=1

(10 ^k − j)10 ^k(j−1)

b. On peut exprimer m _k en utilisant une somme géométrique de raison 10 ^k et la question préliminaire :

m k =

10

^k−10^k−1

X

j=1

10 ^kj −

10

^k−10^k−1

X

j=1

j × 10 ^k(j−1)

= 10 ^k(10

^k−10k−1

⁺¹⁾ − 10 ^k

10 ^k − 1 − 10 ^d

^k

(10 ^k − 10 ^k−1 )(10 ^k − 1) − 1 (10 ^k − 1) ²

− 1

(10 ^k − 1) ²

= 10 ^k

10 ^k − 1 10 ^d

^k

− 10 ^d

^k

10 ^2k − 10 ^2k−1 − 10 ^k + 10 ^k−1 − 1 (10 ^k − 1) ²

− 1

(10 ^k − 1) ² − 10 ^k 10 ^k − 1

= 10 ^d

^k

10 ^2k−1 − 10 ^k−1 + 1 (10 ^k − 1) ² − r k

avec

r k = 10 ^k

10 ^k − 1 + 1

(10 ^k − 1) ² = 1 + 1

10 ^k − 1 + 1

(10 ^k − 1) ² < 10

9

Il existe donc, pour k ≥ 2 , un entier naturel a k = 10 ^2k−1 − 10 ^k−1 + 1 et un rationnel r k ∈

0, ¹⁰ ₉

tels que

m _k = 10 ^d

^k

a _k

(10 ^k − 1) ² − r _k .

Partie III. Autour des µ _k .

1. D'après II.1.c, m i < 10 ^d

ⁱ

. On peut donc majorer

l

X

i=k

m i 10

^−Di

<

l

X

i=k

10

^−Di−1

< 10

^−Dk−1

1 + 10

⁻¹

+ 10

⁻²

+ · · · + 10

^−Dl−1

< 10 ^D

^k−1

10 9 en ajoutant toutes les puissances de 10 qui manquent dans la somme.

2. On en déduit que la suite (µ k ) _k∈

N^∗

est convergente car elle est croissante et majorée par µ ₁ + ¹⁰ ₉ 10

^−d1

. En utilisant la remarque de l'énoncé ¹⁰ ₉ < 1.2 , on peut préciser la forme décimale de ce majorant :

M ≤ 10

⁻⁹

(123456789 + 1.2) = 0.1234567902 Pour k xé, la suite

l

X

i=k+1

m _i 10

^−Di

!

l>k

= (µ _l − µ _k ) _l>k

est croissante et majorée par ¹⁰ ₉ 10

^−Dk

, sa limite est M − µ k . Par passage à la limite dans une inégalité, ob obtient

M − µ k ≤ 10 9 10

^−Dk

3. Commençons par écrire

M = µ _k−1 + 10

^−Dk

m _k + (M − µ _k )

et cassons m k à l'aide de la question II.3.b. Il existe a k ∈ N et r k ∈ 0, ¹⁰ ₉

tels que M = µ k−1 + 10

^−Dk

10 ^d

^k

a _k

(10 ^k − 1) ² − r k

+ (M − µ k )

= µ _k−1 + 10

^−Dk−1

a k

(10 ^k − 1) ² − 10

^−Dk

r _k + (M − µ _k )

= 1

q _k 10 ^D

^k−1

(10 ^k − 1) ² µ _k−1 + a k

− 10

^−Dk

r k + (M − µ k ) en ayant posé q _k = 10 ^D

^k−1

(10 ^k − 1) ² .

Posons maintenant p _k = 10 ^D

^k−1

(10 ^k − 1) ² µ _k−1 + a _k . On peut alors écrire

M − p k

q _k

= 10

^−Dk

10 ^D

^k

(M − µ _k ) − r _k

≤ 10 9 × 10 ^D

^k

car 0 < r k < ¹⁰ ₉ et 0 < 10 ^D

^k

(M − µ k ) ≤ ¹⁰ ₉ .

On veut montrer maintenant que, pour 0 < γ < 10 ,

M − p _k q k

≤ 1 q _k ^α

Pour simplier les calculs, aaiblissons l'inégalité que l'on vient de montrer en oubliant le facteur 9 :

M − p k

q k

≤ 10

9 × 10 ^D

^k

≤ 1 10 ^D

^k−1

et majorons le q k :

q k < 10 ^D

^k−1

^+2k Considérons alors D k − 1 − γ (D _k−1 + 2k) et utilisons I.4.

D k − 1 − γ (D _k−1 + 2k) = (10 − γ)D _k−1

| {z }

>0

car

γ<10

+ 10 ^k − 2γk − 2

| {z }

>0

pour

γ<10

et

k≥2

> 0

On en déduit 10 ^D

^k−1

> 10 ^D

^k−1

^{+2k γ} puis

M − p k

q k

≤ 1

10 ^D

^k−1

≤ 1

(10 ^D

^k−1

^+2k ) ^γ ≤ 1

q _k ^γ

Partie IV. Le théorème de Liouville

1. Comme P est à coecients entiers et sans racines dans Q, il est de degré est au moins 2 . Son polynôme dérivé n'est pas nul et admet un nombre ni de racines. Tout intervalle contient donc des éléments qui ne sont pas des racines de P

⁰

. En particulier M > 0 . 2. Notons a 0 , · · · , a d les coecients de P . En réduisant au même dénominateur, on ob-

tient :

P( p

q ) = a 0 q ^d + a 1 pq ^d−1 + · · · + a _d−1 p ^d−1 q + a d p ^d q ^d

Le numérateur est entier car p , q et les coecients sont entiers. Il n'est pas nul car P est sans racine rationnelle. Il est donc supérieur ou égal à 1 en valeur absolue. On en

déduit :

P ( p q )

≥ 1 q ^d

3. Théorème de Liouville. Soit p ∈ Z et q ∈ N

^∗

tels que |α − ^p _q | ≤ 1 . Appliquons l'inégalité des accroissements nis à P entre ^p _q et α . Comme α est une racine de P , on obtient :

P ( p q )

≤

α − p q

M ⇒

α − p q

≥ P ( ^p _q )

M ≥ C

q ^d

4. Supposons M racine d'un polynôme à coecients entier de degré d ∈ J 0, 9 K et formons une contradiction entre la majoration de III.3 et la minoration qui résulte du théorème de Liouville (IV.3). D'après la question III.3. utilisée avec un réel γ tel que d < γ < 10 . et le théorème de Liouville, il existe des suites d'entiers p _k et q _k tels que

M − ^p _q

^k

k

< 1 et vériant

M − p k

q _k

≤ 1 q _k ^γ C

q ^d _k ≤

M − p k

q k



 

 

 

 

⇒ C q _k ^d ≤ 1

q ^γ _k ⇒ q ^γ−d _k ≤ 1 C = M

Ce qui est absurde car q _k ^γ−d

k∈N diverge vers +∞ .

Si M est racine d'un polynôme à coecient entiers admettant une racine rationnelle b , on peut diviser par X − b . En répétant l'opération s'il existe d'autres racines ration- nelles, on montre que M est racine d'un certain polynôme à coecients rationnels.

On peut alors réduire les coecients au même dénominateur et obtenir un polynôme

à coecients entiers dont il est racine. Ainsi, M n'est racine d'aucun polynôme à co- ecients entiers et de degré inférieur ou égal à 9 .

Il est assez facile de montrer que M est irrationnel en vériant que son développement

décimal n'est pas périodique à partir d'un certain rang. En eet, dans son dévelop-

pement, entre un nombre à k chires 111 · · · 111 ne contenant que des 1 et le nombre

à k chires 111 · · · 120 gurent 9k décimales. On peut donc trouver des séquences de

décimales arbitrairement longues et sans 0 .