Or –9ai– ai09 et ai– ai 0≠0 , on aboutit à une contradiction

Correction exercice 6 de la feuille 2 Notations  n_F : numéro de carte erroné

ⁿC : numéro de carte correct

Si un seul chiffre est erroné, cela signifie que les deux numéros diffèrent d'un seul chiffre:

n_F a₁₅ a₁₄ ... ... ... ... a_i ... ... ... ... ... ... a₂ a₁ a₀ n_C a₁₅ a₁₄ ... ... ... ... a_i0 ... ... ... ... ... ... a₂ a₁ a₀ on a : ^0ai9 ; 0a_i09 et a_i≠a_i0 donc on obtient –9a_i– a_i09 et a_i– a_i0≠0

Notons Ln_F le nombre a₀ma₁a₂ma₁₄a₁₅ et Ln_C celui correspondant au nombre correct.

Supposons que l'erreur n'est pas détectée :

on a {^{LLnnCF≡≡001010} et par différence ^LnF– Ln_C≡010 (1) 1. Si l'erreur porte sur un chiffre de rang pair:

Ln_F– Ln_C=a_i– a_i0 et d'après (1), a_i– a_i0 est un multiple de 10. Or –9a_i– a_i09 et a_i– a_i

0≠0 , on aboutit à une contradiction.

2. Si l'erreur porte sur un chiffre de rang impair:

Ln_F– Ln_C=ma_i– ma_i0 et d'après (1), ma_i– ma_i0 est un multiple de 10.

Or regardons de plus près les images obtenues par l'application m.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mx 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9

ce qui prouve que, pour tout a_i et a_i0 entiers naturels entre 0 et 9, on a également : –9ma_i– ma_i09 et ma_i– ma_i0≠0

On aboutit donc à la même contradiction.

On peut donc affirmer que l'erreur est détectée.