Fonctions d'une variable géométrique : démonstrations
Rédaction incomplète. Version alpha Plan
I. Expression intégrale de l'accroissement suivant les axes. . . . . 1
II. Théorème d'approximation au premier ordre. . . . . 2
III. Théorème de Schwarz. . . . . 3
IV. Lemme de Poincaré. . . . . 5
V. Théorème d'approximation au deuxième ordre. . . . . 6
VI. Indépendance de la diérentielle d'une 1-forme par rapport au système de coordonnées. . . . . . 7 Il est utile présenter ces démonstrations car elles utilisent systématiquement une expression intégrale. Ce genre de technique est très important dans l'analyse de deuxième année et peut être introduit utilement en n de pre- mière année.
Les trois premières démonstrations n'utilisent que la dénition de la continuité des fonctions d'une variable géo- métrique. La démonstration du lemme de Poincaré utilise un théorème de dérivation sous intégrale qui sera admis.
I. Expression intégrale de l'accroissement suivant les axes.
m
0m
1= m
0+ a − → i Ω
m
2= m
0+ b − → j
Fig. 1: Expression intégrale d'un accroissement suivant les axes Proposition. Soit Ω un domaine d'un plan. Un repère (O, ( − →
i , − →
j )) est xé. Les fonctions coordonnées dans ce repère sont notées x et y . Soit m
0un point de Ω , le point m
1est dans Ω et de même ordonnée que m
0, le point m
2est dans Ω et de même abscisse que m
0. On note a = x(m
1) − x(m
0) et b = y(m
2) − y(m
0) . On suppose que les segments [m
0, m
1] et [m
0, m
2] sont inclus dans Ω (g 1).
On peut alors exprimer les accroissements suivant les directions des axes d'une fonction f ∈ C
1(Ω) comme des intégrales :
f (m
1) − f (m
0) = Z
10
∂f
∂x
m
0+ ua − → i
a du f (m
2) − f (m
0) =
Z
1 0∂f
∂y
m
0+ vb − → j
b dv Preuve. Dénissons une fonction ϕ dans un intervalle I contenant [0, 1] par :
∀t ∈ I : ϕ(t) = f (m
t) avec m
t= m
0+ ta − →
i
L'accroissement de f entre m
0et m
1est alors l'accroissement de ϕ entre 0 et 1 . On va chercher à l'exprimer comme l'intégrale de sa dérivée.
Par dénition de la dérivée en un point dans une direction : D
→−i
f (m
t) = ψ
0(0) avec ψ(λ) = f (m
t+ λ − → i ) On peut exprimer Ψ à l'aide de ϕ :
ψ(λ) = f (m
0+ (ta + λ) − →
i ) = f (m
0+ a(t + λ a ) − →
i ) = ϕ(t + λ a ) Comme la fonction f est C
1, ces fonctions sont dérivables avec :
ψ
0(0) = 1
a ϕ
0(t) ⇒ ϕ
0(t) = aψ
0(0) = D
−→i
f (m
t) = ∂f
∂x
m
0+ ua − → i
a Comme la fonction f est C
1, la fonction ϕ l'est aussi et :
f (m
1) − f (m
0) = ϕ(1) − ϕ(0) = Z
10
ϕ
0(t)dt = Z
10
∂f
∂x
m
0+ ua − → i
a dt La démonstration pour l'accroissement suivant l'autre direction de base est analogue.
Remarques. 1. On pourrait démontrer de manière analogue une expression intégrale de l'accroissement en utilisant un segment quelconque entre deux points.
2. L'expression de l'accroissement de la fonction le long d'un chemin qui n'est pas rectiligne est en revanche une conséquence du théorème fondamental qui fait l'objet de la section suivante.
II. Théorème d'approximation au premier ordre.
m
1m
0m Ω
D(m
0, α)
Fig. 2: Théorème d'approximation Théorème (Théorème fondamental d'approximation). Un repère (O, ( − →
i , − →
j )) est xé. Les fonctions coordonnées dans ce repère sont notées x et y . Soit f ∈ C
1(Ω) et m
0∈ Ω , soit r la fonction dénie dans Ω par :
∀m ∈ Ω : f (m) = f (m
0) + ∂f
∂x (m
0)(x(m) − x(m
0)) + ∂f
∂y (m
0)(y(m) − y(m
0)) + r(m) alors, pour toute norme N :
r(m) N (m − m
0)
m0
−−→ 0
Preuve. Notons a = x(m) − x(m
0) , b = y(m) − y(m
0) , introduisons un point m
1= m
0+ a − →
i (g 2) et exprimons l'accroissement f (m) − f (m
0) comme une intégrale en utilisant le résultat de la section précédente.
f (m) − f (m
0) = f (m) − f (m
1) + f (m
1) − f (m
0) = Z
10
∂f
∂y
m
1+ tb − → j
b dt + Z
10
∂f
∂x
m
0+ ta − → i
a dt Pour toute constante C , on peut toujours écrire C = R
10
C dt , cela permet de mettre r sous la forme d'une intégrale : r(m) =
Z
1 0∂f
∂y
m
1+ tb − → j
b dt + Z
10
∂f
∂x
m
0+ ta − → i
a dt − Z
10
∂f
∂x (m
0)a dt − Z
10
∂f
∂y (m
0)b dt
= Z
10
∂f
∂x
m
0+ ta − → i
− ∂f
∂x (m
0)
a + ∂f
∂y
m
1+ tb − → j
− ∂f
∂y (m
0) b
dt Par commodité, introduisons la norme N
1égale à la somme des valeurs absolues des coordonnées :
N
1(m − m
0) = |a| + |b|
Supposons que m soit dans un disque D(m
0, α) de centre m
0et de rayon α (g 2). Peu importe que ce disque soit relatif à la norme euclidienne et non la norme N
1car toutes les normes sont équivalentes.
Tous les points intervenant dans les intégrales sont alors dans ce disque et on peut majorer :
|r(m)| ≤ sup
D(m0,α)
∂f
∂x − ∂f
∂x (m
0)
+ sup
D(m0,α)
∂f
∂y − ∂f
∂y (m
0)
!
N
1(m − m
0)
Comme les dérivées partielles sont des fonctions continues, pour tout ε > 0 , il existe un α assez petit pour que la somme des deux bornes supérieures soit inférieure à ε . Autrement dit :
r(m) N
1(m − m
0)
m0
−−→ 0
III. Théorème de Schwarz.
Ω
m
0m
1m
2m
D(m
0, α)
Fig. 3: Lemme de Schwarz
Théorème (théorème de Schwarz). Soit f ∈ C
2(Ω) , alors :
∂
∂x ∂f
∂y
= ∂
∂y ∂f
∂x
Preuve. Considérons m
0et m dans Ω . Posons a = x(m) − x(m
0) , b = y(m) − y(m
0) et introduisons les points m
1= m
0+ a − →
i et m
2= m
0+ b − →
j (g 3). La démonstration repose sur l'évaluation de la quantité (g 3) A = f (m) − f (m
1) − f (m
2) + f (m
0)
de deux manières à l'aide de l'expression d'un accroissement dans la direction d'un axe de coordonnées. Un passage à la limite conduit ensuite au théorème sous la forme.
∂
∂x ∂f
∂y
(m
0) = ∂
∂y ∂f
∂x
(m
0) La première expression consiste à écrire
m0 m1
m m2
µ0v=m1+vb−→ j µv+ua−→
i =m0+ua−→ i +vb−→
j
m0+vb−→ j =µv
Fig. 4: Décomposition pour la première expression de A .
A = (f (m) − f (m
1)) − (f (m
2) − f (m
0))
puis à utiliser l'écriture intégrale, d'abord pour un accroissement dans la direction − →
j , puis dans la direction − → i : A =
Z
1 0∂f
∂y (µ
0v)b dv − Z
10
∂f
∂y (µ
v)b dv = Z
10
∂f
∂y (µ
0v) − ∂f
∂y (µ
v)
b dv
= ab Z
10
Z
1 0∂
∂x ∂f
∂y
(m
0+ ua − → i + vb − →
j ) du
dv La deuxième expression s'obtient de manière analogue :
m0+ua−→ i +vb−→
j
m2 m
m0
m0+ua−→ i m2+ua−→ i
m1
Fig. 5: Décomposition pour la deuxième expression de A .
A = (f (m) − f (m
2)) − (f (m
1) − f (m
0)) = Z
10
∂f
∂x (m
2+ ua − → i )a du −
Z
1 0∂f
∂x (m
0+ ua − → i )a du
= Z
10
∂f
∂x (m
2+ ua − → i ) − ∂f
∂x (m
0+ ua − → i )
a du = ab Z
10
Z
1 0∂
∂y ∂f
∂x
(m
0+ ua − → i + vb − →
j ) dv
du De l'égalité entre les deux expressions, on tire, en simpliant par ab ,
Z
1 0Z
1 0∂
∂x ∂f
∂y
(m
0+ ua − → i + vb − →
j ) du
dv = Z
10
Z
1 0∂
∂y ∂f
∂x
(m
0+ ua − → i + vb − →
j ) dv
du
Les deux dérivées partielles secondes sont des fonctions continues dans Ω . Pour tout ε > 0 , il existe donc un α > 0 et un disque D(m
0, α) tel que :
∀A ∈ D(m
0, α) :
∂
∂y ∂f
∂x
(A) dv − ∂
∂y ∂f
∂x
(m
0) dv
≤ε
∂
∂x ∂f
∂y
(A) dv − ∂
∂x ∂f
∂y
(m
0) dv
≤ε
Comme plus haut, pour toute constante C , C =
Z
1 0Z
1 0C dv
du = C = Z
10
Z
1 0C du
dv Lorsque m ∈ D(m
0, α) , tout le rectangle est dans D(m
0, α) (g 6). On en déduit :
∀ε > 0,
∂
∂y ∂f
∂x
(m
0) − ∂
∂x ∂f
∂2
(m
0)
≤ 2ε ⇒ ∂
∂y ∂f
∂x
(m
0) = ∂
∂x ∂f
∂2
(m
0)
IV. Lemme de Poincaré.
Ω
m
O
Fig. 6: Lemme de Poincaré dans un domaine étoilé.
Dénition. On dira qu'une partie Ω d'un plan est étoilée lorsqu'il existe un point O ∈ Ω tel que, pour tout point m ∈ Ω , le segment [O, m] est inclus dans Ω .
Remarque. Toute partie convexe est étoilée car tous les segments entre deux points quelconques de Ω sont inclus dans Ω .
Théorème (Lemme de Poincaré). Lorsque Ω est une partie étoilée d'un plan, toute 1-forme fermée de classe C
1dans Ω est exacte.
Preuve. Dans un domaine étoilée Ω , considérons une 1-forme fermée ω = Adx + Bdy avec A et B dans C
1(Ω) . Le caractère fermé se traduit par :
∂A
∂y = ∂B
∂x Un repère (O, − →
i , ( − →
j )) est xé. Les fonctions coordonnées attachées à ce repère sont notées x et y .
La démonstration consiste à former une fonction f à l'aide d'une intégrale curviligne et à vérier df = ω . On sera amené à utiliser un théorème (admis) de dérivation d'une intégrale dépendant d'un paramètre ainsi qu'une intégration par parties.
Comme Ω est étoilé, on peut dénir une fonction f par l'intégrale curviligne : f (m) =
Z
[O,m]
ω
Le segment [O, m] est paramétré pour t entre 0 et 1 par m
t= O + t −−→
Om . On en déduit : f (m) =
Z
1 0(A(m
t)x(m) + B(m
t)y(m)) dt
= Z
10
A
O + tx(m) − →
i + ty(m) − → j
x(m) + B
O + tx(m) − →
i + ty(m) − → j
y(m) dt Admettons que l'on puisse calculer
∂f∂x(m) en faisant passer l'opérateur sous l'intégrale. C'est essentiellement la continuité des dérivées qui le permet. Un énoncé précis du théorème utilisé ne sera pas donné ici. On obtient alors :
∂f
∂x (m) = Z
10
A(m
t) + ∂A
∂x (m
t)tx(m) + ∂B
∂x (m
t)ty(m)
dt
= Z
10
A(m
t) dt + Z
10
∂A
∂x (m
t)x(m) + ∂A
∂y (m
t)y(m)
t dt En utilisant le caractère fermé de la forme. On peut considérer alors une fonction ϕ de la variable réelle t :
ϕ(t) = A(m
t) = A
O + tx(m) − →
i + ty(m) − → j
⇒ ϕ
0(t) = ∂A
∂x (m
t)x(m) + ∂A
∂y (m
t)y(m) Cela permet de réécrire la dérivée partielle et de conclure par une intégration par parties :
∂f
∂x (m) = Z
10
ϕ(t) dt + Z
10
ϕ
0(t)t dt = [ϕ(t)t]
t=1t=0= ϕ(1) = A(m) On démontre de manière analogue l'autre relation
∂f
∂y (m) = B(m)
V. Théorème d'approximation au deuxième ordre.
Théorème (Théorème d'approximation à l'ordre 2 ). Soit f ∈ C
2(Ω) et a ∈ Ω , soit r la fonction dénie dans Ω par :
f (m) = f (a) + ∂f
∂x (a)(x(m) − x(a)) + ∂f
∂y (a)(y(m) − y(a)) + 1
2 ∂
2f
∂x
2(a)(x(m) − x(a))
2+ 2 ∂
2f
∂x∂y (a)(x(m) − x(a))(y(m) − y(a)) + ∂
2f
∂y
2(a)(y(m) − y(a))
2+ r(m) alors, pour toute norme N ,
r(m) N
2(m − a)
− →
a0
Preuve. La démonstration est très proche de celle du théorème au premier ordre. Elle fait intervenir la relation suivante valable pour toute constante C :
1 2 C =
Z
1 0Z
1 0Cdt
1t dt
Dans la première démonstration (g 2), on a obtenu une expression intégrale de la diérence entre l'accroissement et son approximation au premier ordre
f (m) − f (m
0) − ∂f
∂x (m
0)a − ∂f
∂b (m
0)b
= Z
10
∂f
∂x
m
0+ ta − → i
− ∂f
∂x (m
0)
dt + Z
10
∂f
∂y
m
1+ tb − → j
− ∂f
∂y (m
0)
dt
On insère
∂f∂y(m
1) dans la deuxième intégrale et on exprime encore les accroissements comme des intégrales. On obtient alors deux intégrales doubles et une simple
f (m) − f (m
0) − ∂f
∂x (m
0)a − ∂f
∂b (m
0)b = Z
10
Z
1 0∂
2f
∂x
2m
0+ t
1ta − → i
dt
1t dt
a
2+
Z
1 0Z
1 0∂
2f
∂y
2m
1+ t
1tb − → j
dt
1t dt
b
2+
Z
1 0∂
2f
∂x∂y
m
0+ ta − → i
dt
ab Avec la remarque du début de la démonstration, on peut exprimer les termes au deuxième ordre comme des intégrales : une simple et deux doubles. On en déduit l'évaluation suivante du reste
r(m) = Aa
2+ Bb
2+ Cab avec
A = Z
10
Z
1 0∂
2f
∂x
2m
0+ t
1ta − → i
− ∂
2f
∂x
2(m
0)
dt
1t dt B =
Z
1 0Z
1 0∂
2f
∂y
2m
1+ t
1ta − → i
− ∂
2f
∂y
2(m
0)
dt
1t dt C =
Z
1 0∂
2f
∂x∂y
m
0+ ta − → i
− ∂
2f
∂x∂y (m
0)
dt Comme la fonction f est C
2, pour tout ε > 0 , il existe un α > 0 tel que, lorsque m est dans le disque D(m
0, α) , les valeurs absolues des diérences entre les dérivées secondes dans les intégrales soient inférieures à ε . Les majorations de |A| , |B| , |C| conduisent à :
|r(m)| ≤ 1
2 ε|a|
2+ 1
2 ε|b|
2+ ε|a||b| = ε
2 N
1(m − m
0) Ce qui démontre le théorème.
Remarque. On peut adapter la démonstration précédente pour prouver en même temps le théorème de Schwarz et le théorème d'approximation au deuxième ordre
VI. Indépendance de la diérentielle d'une 1-forme par rapport au sys- tème de coordonnées.
Théorème. Soit (x, y) et (u, v) deux systèmes de fonctions coordonnées dans un domaine Ω . Soit ω une 1-forme diérentielle de classe C
1qui s'exprime à l'aide des deux systèmes
ω = Adx + Bdy = U du + V dv
alors :
− ∂A
∂y + ∂B
∂x
dx ∧ dy =
− ∂U
∂v + ∂V
∂u
du ∧ dv Preuve. La démonstration se déroule selon les étapes suivantes :
Expression de U et V en fonction de A , B et des dérivées partielles de x et y par rapport à u et v . Simplication de
− ∂U
∂v + ∂V
∂u en utilisant le théorème de Schwarz
Expression des opérateurs
∂u∂et
∂v∂en fonction de
∂x∂et
∂y∂. Application aux dérivées de A et B . Simplication et factorisation.
1. Exprimons les diérentielles puis combinons les :
dx = ∂x
∂u du + ∂x
∂v dv ×A dy = ∂y
∂u du + ∂y
∂v dv ×B
⇒
U =A ∂x
∂u + B ∂y
∂u V =A ∂x
∂v + B ∂y
∂v
2. On compose par les opérateurs de dérivation, une simplication de termes croisés se produit par le théorème de Schwarz, il reste quatre termes :
∂
2x
∂u∂v = ∂
2x
∂v∂u
∂
2y
∂u∂v = ∂
2y
∂v∂u
⇒ − ∂U
∂v + ∂V
∂u = − ∂A
∂v
∂x
∂u − ∂B
∂v
∂y
∂u + ∂A
∂u
∂x
∂v + ∂B
∂u
∂y
∂v
3. Les opérateurs de dérivation par rapport à u et v s'expriment en fonction des opérateurs de dérivation par rapport à x et y .
∂
∂u = ∂u
∂x
∂
∂x + ∂u
∂y
∂
∂y
∂
∂v = ∂v
∂x
∂
∂x + ∂v
∂y
∂
∂y
⇒
∂A
∂u = ∂x
∂u
∂A
∂x
| {z }
+ ∂y
∂u
∂A
∂y × + ∂x
∂v
∂A
∂v = ∂x
∂v
∂A
∂x
| {z }
+ ∂y
∂v
∂A
∂y × − ∂x
∂u
∂B
∂u = ∂x
∂u
∂B
∂x + ∂y
∂u
∂B
∂y
| {z }
♣
× + ∂y
∂v
∂B
∂v = ∂x
∂v
∂B
∂x + ∂y
∂v
∂B
∂y
| {z }
♣
