e 2iπ/3 eton sedonne A,B et C despointsdu plan

Les résultats doivent être enadrés ou soulignés. Soignez la rédation. À

rendre par binme.

Exerie 1

Dansetexerie ondonne unedémonstration du théorèmede Morleyenutilisant les nombres

omplexes. On note

ρ

^{lenombre omplexe}

e ^2iπ/3

^{eton sedonne}

A

^,

B

^et

C

^{despointsdu plan}

d'axes respetives

a

^,

b

^et

c

^.Onnote

α

^,

β

^et

γ

^{les angles}

(AB, AC)

^,

(BC, BA)

^et

(CA, CB)

^.

1. Montrer

1 + ρ + ρ ² = 0

^.

2. Donner l'expression, en tant que transformationsomplexes, desrotations de entre

A

^et

d'angle

±π/3

^{. En déduire que le triangle}

(ABC)

^est équilatéral si et seulement si l'une despropriétés suivantes estvériée :

(a)

c − a

b − a = −ρ

^ou

c − a

b − a = −ρ ²

^;

(b)

c + ρb + ρ ² a = 0

^ou

c + ρa + ρ ² b = 0

^;

()

a ² + b ² + c ² − ab − bc − ca = 0

^.

3. Soit

u

^{un élément du groupe des unités omplexes}

U

^{. Montrer que} l'appliation

z 7→

a + u(¯ z − ¯ a)

^{estune symétrie axialeetpréiser sonaxe desymétrie.}

4. Exprimer en termes omplexes les symétries

σ _AB

^,

σ _BC

^et

σ _CA

^{par rapport aux tés du}

triangle

(ABC)

^.

5. Exprimer entermes omplexesles transformations

ρ _A = σ _CA σ _AB

^,

ρ _B = σ _AB σ _BC

^et

ρ _C = σ _BC σ _CA

^{etmontrer quee sont desrotations dont on préisera les entres etangles.}

6. Exprimer en termes omplexes la rotation

r A

^{de même entre que}

ρ A

^{et d'angle}

2α/3

^.

Fairede mêmepourexprimer

r _B

^et

r _C

^{,enremplaçant}

A

^par

B

^et

C

^,ainsique

α

^par

β

^et

γ

^.

7. Montrer quel'équation

r _A r _B (z) = z

^{admet ommeunique solutionlepoint} d'intersetion de deux trissetries du triangle

(ABC)

^{que l'on préisera. On notera}

z _C

^{son axe. On}

ferademême ave

r B r C (z) = z

^et

r C r A (z) = z

^{dont onnoterales uniquessolutions}

z A

^et

z _B

^.

8. Montrer, enutilisant les symétries

σ

^,que

r _A ³ r _B ³ r _C ³

^{est égalà} l'identité.

9. En exprimant la transformation omplexe, montrer que

r _A ³ r ³ _B r _C ³

^{est l'identité si etseule-}

ment si

z _C + ρz _A + ρ ² z _B = 0

^.

10. Endéduire lethéorème de Morley.

Exerie 2

Danset exerie onmontre unporismedû àJaob Steiner.

1. Montrerquel'équationduerle

Γ _a,R

^,deentre

A(a)

^{et derayon}

R

^{estdonnée,entermes}

de nombresomplexes, par

z¯ z − 2Re(¯ az) + |a| ² − R ² = 0 .

2. Soit

M (z)

^{un pointdu plan, montrer quelepoint}

P (z ^′ )

^vériant

(a)

P (z ^′ )

^{est situé surla}demi-droite issuede

A(a)

^{passant par}

M (z)

^;

(b) leproduitdes distanes

AM

^et

AP

^{est égalà}

R ²

^.

estdonné par laformule

z ^′ = a + R ²

¯

z − ¯ a

^.Onnote

i _A,R (z)

^leomplexe

z ^′

^.

3. Montrer que la transformation

i _A,R

^{transforme un erle de entre}

A

^{en un autre erle}

de entre

A

^{quel'on préisera.}

4. Montrerquelatransformation

i _A,R

^{transformeunerlenepassant paspar}

A

^enunautre

telerle, dont onpréisera leentre.

5. Sionsedonne deuxerles

Γ = Γ _B,r

^et

Γ ^′ = Γ _C,r ′

^telsque

Γ ^′

^{soit inlusstritement dans}

Γ

^.

(a) Montrer quel'on a

BC < r − r ^′

^.

(b) Montrer quel'on peuthoisir

A

^et

R

^{de sorte quelesimages dees deuxerlespar}

i _A,R

^{soient deserles} onentriques.

() Onsedonne

Γ ₁

^{unerletangent auxdeuxerles}(intérieurement à

Γ

^etextèrieure- ment à

Γ ^′

^),et

Γ ₂

^{un erletangent auxtroiserles}

Γ

^,

Γ ^′

^et

Γ ₁

^{.Faire une gure.}

(d) Ononstruitmaintenant

Γ ₃

^tangentà

Γ

^,

Γ ^′

^et

Γ ₂

^{,maisdistintde}

Γ ₁

^{.Montrerqu'un}

tel

Γ ₃

^estunique.

(e) Plusgénéralementétantdonné,pour

n

^{entier,unerle}

Γ _n

^,ononstruit

Γ _n+1

^tangent

à

Γ

^,

Γ ^′

^et

Γ _n

^.

i. Montrer que,si

Γ

^et

Γ ^′

^sont onentriques, unetellehaînede erlessereferme (i.e. il existe unentier

n > 1

^{tel que}

Γ _n = Γ ₁

⁾ indépendamment du hoix de

Γ ₁

^.

On appelle ette situation unporisme.

ii. Montrer que le porisme est valide même si

Γ

^et

Γ ^′

^{ne sont pas} onentriques, grâe à unhoixjudiieux de transformation

i A,R

^.

MPSI

^{2 DL 2 àrendre le06/10/09}

Exerie 1

1. Comme

ρ

^{est une raine ubiquedel'unité distinte de 1,ona}

1 + ρ + ρ ² = 0

^.

2. La rotationde entre

M (z ₀ )

^estd'angle

θ

^s'érit

z 7→ z ₀ + e ^iθ (z − z ₀ )

^{.Par onséquent}

Lesrotations de entre

A

^etd'angle

±π/3

^{sont données par}

z 7→ a + e ^±iπ/3 (z − z 0 )

^.

Le triangle

(ABC )

^est équilatéral si et seulement si

C

^{est l'image de}

B

^{par une rotation}

d'angle

±π/3

^{,i.e.sietseulementsi}

c = a+e ^±iπ/3 (b−a)

^{,i.e.,puisque}

a 6= b

^,

(c−a)/(b−a) = e ^±iπ/3

^{. Comme}

−ρ = e ^iπ e ^2iπ/3 = e ^5iπ/3 = e ^−iπ/3

^et

−ρ ² = e ^iπ e ^−2iπ/3 = e ^iπ/3

^{le triangle}

(ABC )

^{est don} équilatéral sietseulement si

c − a

b − a = −ρ

^ou

c − a

b − a = −ρ ²

^.

Cettedernièreonditions'érit

c−a = −ρ(b−a)

^ou

c−a = −ρ ² (b−a)

^,i.e.

c+ρb−(1+ρ)a = 0

^ou

c + ρ ² b − (1 + ρ ² )a = 0

^{, i.e. (d'après la première question)}

c + ρb + ρ ² a = 0

^ou

c + ρa + ρ ² b = 0

^.

Un produit de deux omplexes étant nul si et seulement si l'un des deux est nul, ette

dernièrepropriété estéquivalenteà

(c + ρb + ρ ² a)(c + ρa + ρ ² b) = 0 ,

i.e.

c ² + b ² + a ² + bc(ρ + ρ ² ) + ca(ρ + ρ ² ) + ab(ρ ² + ρ ⁴ ) = 0 .

Comme

ρ ⁴ = ρ ³ ρ = ρ

^et

ρ + ρ ² = −1

^{,ette dernièrepropriété est} équivalenteà

a ² + b ² + c ² − ab − bc − ca = 0

^.

Le triangle

(ABC )

^estéquilatéral sietseulement si l'une despropriétés suivantesest vériée :

(a)

c − a

b − a = −ρ

^ou

c − a

b − a = −ρ ²

^;

(b)

c + ρb + ρ ² a = 0

^ou

c + ρa + ρ ² b = 0

^;

()

a ² + b ² + c ² − ab − bc − ca = 0

^.

3. Soit

u

^{unélément du groupe desunités omplexes}

U

^et

z

^{un omplexe distint de}

a

^.On

a:

a + u(¯ z − a) = ¯ z

^{sietseulement si}

(z − a)(¯ z − ¯ a) = u

^ouenore

(z − a) ² /|z − a| ² = u

^,

i.e.

(z − a)/|z − a|

^{estune rainé arréede}

u

^{. Soitdon}

v

^{une rainearrée de}

u

^{,on a}

(z − a) ²

|z − a| ² = v ² ⇔ (z − a) ²

v ² ∈ R ^∗ ₊ ⇔ z − a

v ∈ R ^∗ .

Autrement ditla transformation

z 7→ a + u(¯ z − ¯ a)

^{laisseinvariants les points deladroite}

(D)

^passantpar

a

^{etdeveteur direteur}

v

^{(ettedroite ne dépendant pasdu hoix dela}

raine arrée de

u

^).

Pour montrer quelatransformation

z 7→ a + u(¯ z − ¯ a)

^{est lasymétrieaxialepar rapportà}

ladroite

(D)

^{,il sutde montrer que, ennotant}

M ^′ (z ^′ )

^{letransformé de}

M(z)

^,

z ^′ − z

^est

perpendiulaire à

(D)

^(i.e.

(z ^′ − z)/v

^{estimaginaire pur)etque}

(z + z ^′ )/2

^{est sur}

(D)

^.

Or

z + z ^′

2 = a + (z ^′ − a) + (z − a) 2

= a + v ² (¯ z − ¯ a) + z − a 2

= a + v v(¯ z − ¯ a) + v ⁻¹ (z − a) 2

= a + v v(¯ z − ¯ a) + ¯ v(z − a) 2

= a + v.Re(¯ v(z − a))

etdon

(z + z ^′ )/2

^{appartient àladroite}

(D)

^{,i.e.le milieu de}

(M, M ^′ )

^{est sur}

(D)

^{.Et de}

plus

z ^′ − z = (z ^′ − a) − (z − a)

= v ² (¯ z − ¯ a) − (z − a)

= v (v(¯ z − a) ¯ − ¯ v(z − a))

= −2iv.Im(¯ v(z − a))

etdon

z ^′ − z

^estperpendiulaireà

v

^{,etilen résulte que}

M ^′

^{estle symétriquede}

M

^par

rapportà

(D)

^.

L'appliation

z 7→ a + u(¯ z − ¯ a)

^{estunesymétrie axialepar rapportàladroitepassant}

par

a

^{etde veteur direteurune raine arrée de}

u

^.

4. Ladroite

(AB)

^{estunedroitepassantpar}

A

^{etdeveteurdireteur}

(b −a)

^{.Andel'érire}

omme préédemment, on hoisit un veteur direteur

v

^{qui soit dans}

U

^{. Par exemple}

(b − a)/|b − a|

^{.Et alors laquestion préédente montrequeles deux}expressions

z 7→ a + (b − a) ² (¯ z − ¯ a)

|b − a| ²

et

z 7→ b + (b − a) ² (¯ z − ¯ b)

|b − a| ²

sonttoutes lesdeuxdesexpressionsomplexesde

σ _AB

^{.Par onséquent,enéhangeant les}

rlesde

A

^,

B

^et

C

^{,il vient:}

les symétries

σ AB

^,

σ BC

^et

σ CA

s'expriment respetivement en termesomplexes

z 7→ a + (b − a) ² (¯ z − ¯ a)

|b − a| ² ou z 7→ b + (b − a) ² (¯ z − ¯ b)

|b − a| ² z 7→ b + (b − c) ² (¯ z − ¯ b)

|b − c| ² ou z 7→ c + (b − c) ² (¯ z − c) ¯

|b − c| ² z 7→ a + (c − a) ² (¯ z − a) ¯

|c − a| ² ou z 7→ c + (c − a) ² (¯ z − ¯ c)

|c − a| ² .

MPSI

^{2 DL 2 Solution distribuée le07/10/09}

5. D'aprèsles premièresexpressions de

σ _AB

^et

σ _CA

^{,on a}

ρ _A (z) = a + (c − a) ²

|c − a| ²

(b − a) ² (¯ z − ¯ a)

|b − a| ²

!

ou enore

ρ _A (z) = a + (c − a) ² (¯ b − ¯ a) ²

|(c − a)(b − a)| ² (z − a)

soit

ρ _A (z) = a + (c − a) ² (b − a) ²

|b − a| ²

|c − a| ² (z − a)

etdon

ρ A

^{estlarotation de entre}

A

^etd'angle

2 arg((c − a)/(b − a))

^,i.e.

2α

^:

ρ _A (z) = a + e ^2iα (z − a) .

Par onséquent,en éhangeant les rlesde

A

^,

B

^et

C

^{,ilvient :}

les transformations

ρ _A

^,

ρ _B

^et

ρ _C

s'expriment respetivement en termesomplexes

ρ A (z) = a + e ^2iα (z − a) , ρ _B (z) = b + e ^2iβ (z − b) , ρ _C (z) = c + e ^2iγ (z − c) .

etsont,respetivement,les rotations deentres

A

^,

B

^et

C

^,etd'angles

2α

^,

2β

^et

2γ

^.

6. Puisque

ρ _A

^{est de entre}

A

^,

r _A

^s'érit

r _A (z) = a + e ^2iα/3 (z − a) ,

etdon,en éhangeant les rlesde

A

^,

B

^et

C

^{,il vient :}

les rotations

r _A

^,

r _B

^et

r _C

s'expriment respetivement en termesomplexes

r _A (z) = a + e ^2iα/3 (z − a) , r _B (z) = b + e ^2iβ/3 (z − b) , r _C (z) = c + e ^2iγ/3 (z − c) .

7. Soit

D

^{la trissetrie du triangle}

(ABC )

^{au sommet}

A

^et

D ^′

^{elle au sommet}

B

^dénies

par

D = n

z ∈ C | ∃λ ∈ R , z = a + λ(b − a)e ^iα/3 o

et

D ^′ = n

z ∈ C | ∃µ ∈ R , z = b + µ(a − b)e ^−iβ/3 o

.

Ces deuxdroites nesont pasparallèlespuisque

α/3

^et

β/3

^{sont distintsmodulo}

π

^.Elles

ont don un unique point d'intersetion, noté

P

^{.Or, par dénition de es droites etdes}

rotations

r _A

^et

r _B

^{, larotation}

r _B

^envoie

D ^′

^{sur sonsymétriquepar rapport à}

(AB)

^{et la}

rotation

r _A

^{envoieladroitesymétriquede}

D

^parrapportà

(AB)

^sur

D

^,etdon

P

^estxé

par

r _A r _B

^.

Entermes omplexes, l'axe

z _C

^{du point} d'intersetions'érit

z _C = a + λ(b − a)e ^iα/3 = b + µ(a − b)e ^−iβ/3

pour deux réels(uniques)

λ

^et

µ

^.Onadon

(b − a)

1 − µe ^−iβ/3 − λe ^iα/3

= 0

etdon

µe ^−iβ/3 + λe ^iα/3 = 1 .

On a don

λ = sin(β/3)/ sin((β − α)/3)

^et

µ = sin(α/3)/ sin((β − α)/3)

^{, omme on le}

vérie failement. Autrement dit :

z _C = a + sin

β 3

sin

β−α 3

(b − a)e ^iα/3 = b + sin ^α ₃ sin

β−α 3

(a − b)e ^−iβ/3 .

Et ona don

r _B (z _C ) = b + e ^2iβ/3 (z _C − b) = b + µ(a − b)e ^iβ/3 .

Comme

λ

^et

µ

^{sont réels, en passant aux omplexes onjugués dans l'égalité}

µe ^−iβ/3 + λe ^iα/3 = 1

^{,on a}

µe ^iβ/3 + λe ^−iα/3 = 1 .

D'où

r B (z C ) = b + (a − b)

1 − λe ^−iα/3

= a + λ(b − a)e ^−iα/3

etdon

r _A (r _B (z _C )) = a + λ(b − a)e ^iα/3 = z _C .

L'équation

r _A r _B (z) = z

^{admetommeuniquesolutionlepoint}d'intersetiondesdeux trissetries intérieures dutriangle

(ABC )

^{en les sommets}

A

^et

B

^{lesplus prohesdu}

té

(AB)

^{, i.e.ellesdont lespointssont d'axes dénies par}

D = n

z ∈ C | ∃λ ∈ R , z = a + λ(b − a)e ^iα/3 o

et

D ^′ = n

z ∈ C | ∃µ ∈ R , z = b + µ(a − b)e ^−iβ/3 o

.

8. Ona

r ³ _A = ρ A = σ CA σ AB

^,

r _B ³ = ρ B = σ AB σ BC

^et

r ³ _C = ρ C = σ BC σ CA

^{.Par onséquent}

r _A ³ r _B ³ r _C ³ = σ _CA σ _AB σ _AB σ _BC σ _BC σ _CA

etommelessymétriessont desinvolutions,

σ AB σ AB

^estl'identité,etdemêmeenpermu- tant

A

^,

B

^et

C

^.D'où

La transformation

r ³ _A r ³ _B r ³ _C

^{estégale à} l'identité.

MPSI

^{2 DL 2 Solution distribuée le07/10/09}

9. Érivons

r _A

^,

r _B

^et

r _C

^{en termesomplexes, de sorte que,pour toutomplexe}

z

^{,on a}

r A (z) = uz + r r B (z) = vz + s et r C (z) = wz + t

ave

u = e ^2iα

^,

v = e ^2iβ

^,

w = e ^2iγ

^,

r = a(1 − u)

^,

s = b(1 − v)

^et

t = c(1 − w)

^.Soit

z

^un

omplexe,on a

r _A ³ (z) = u(u(uz + r) + r) + r = u ³ z + r(1 + u + u ² )

etde même

r ³ _B (z) = v ³ z + s(1 + v + v ² )

^et

R _C (z) = w ³ z + t(1 + w + w ² )

^{. Ilvient don}

r _A ³ r ³ _B r _C ³ (z) = u ³ v ³ w ³ z + t(1 + w + w ² )

+ s(1 + v + v ² )

+ r(1 + u + u ² )

soit

r ³ _A r _B ³ r _C ³ (z) = (uvw) ³ z + (uv) ³ t(1 + w + w ² ) + u ³ s(1 + v + v ² ) + r(1 + u + u ² )

desorte que

r _A ³ r _B ³ r _C ³

^{estl'identitési etseulement si}

uvw

^{estune raine ubiquede l'unité}

et

(uv) ³ t(1 + w + w ² ) + u ³ s(1 + v + v ² ) + r(1 + u + u ² )

^estnul.

Remarquons qu'on a

uvw = e 2i(α+β+γ)/3 = e ^2iπ/3 = ρ

^{et don}

uvw

^{est bien une raine}

ubiquede l'unité. Ennotant

n = (uv) ³ t(1 + w + w ² ) + u ³ s(1 + v + v ² ) + r(1 + u + u ² )

^,

on adon :

r _A ³ r ³ _B r _C ³

^{est l'identité sietseulement si}

n = 0

^.

Puisque

r A r B (z) = uvz + us + r

^,ona

(1 − uv)z C = us + r

^etdemême

(1 − vw)z A = vt + s

et

(1 − wu)z _B = wr + t

^{.Par onséquent}

(1 − uv)(1 − vw)(1 − wu) z C + ρz A + ρ ² z B

s'éritommeunesommedesixtermesquel'onpeutregrouperdeuxpardeuxenmettant

r

^,

s

^ou

t

^{enfateur. Le terme}orrespondant à

r

^est

R = (1 − vw)(1 − wu)r + ρ ² (1 − uv)(1 − vw)wr

'est-à-dire, enutilisant

uvw = ρ

^et

ρ ³ = 1

^,

R = r(1 − vw) 1 − wu + ρ ² w − ρ ³

= −rw(1 − vw)(u − ρ ² ) .

Or

u(1 − vw) = u − ρ

^et

(u − ρ)(u − ρ ² ) = u ² + u + 1

^puisque

ρ

^et

ρ ²

^{sontlesdeuxraines}

de l'équation

z ² + z + 1 = 0

^{.Il enrésulte}

R = −r w

u (1 + u + u ² ) .

Demême, leterme orrespondant à

s

^est

S = (1 − vw)(1 − wu)us + ρ(1 − uv)(1 − wu)s

etilvient

S = s(1 − wu) (u − ρ + ρ − ρuv) = su(1 − wu)(1 − ρv)

etdon,puisque

v(1 − uw) = v − ρ

^et

1 − ρv = ρ(ρ ² − v)

^,

S = −s u

v (v − ρ)(v − ρ ² ) = −ρs u

v (1 + v + v ² ) .

Quant au terme

T

orrespondant à

t

^{,on a}

T = ρ(1 − uv)(1 − wu)vt + ρ ² (1 − uv)(1 − vw)t = ρt(1 − uv)(v − ρ + ρ − ρvw)

etilvient

T = ρtv(1 − uv)(1 − ρw) = −ρ ² t v

w (w − ρ)(w − ρ ² )

i.e.

T = −ρ ² t v

w (1 + w + w ² ) .

Remarquons,enn, que

ρ u

v = u ² w = w

u u ³ et ρ ² v

w = u ² v ³ w = w u (uv) ³

etdon

(1 − uv)(1 − vw)(1 − wu) z _C + ρz _A + ρ ² z _B

= R + S + T

= − w

u r(1 + u + u ² )+

u ³ s(1 + v + v ² )+

(uv) ³ t(1 + w + w ² )

= − w u n .

Remarquons enore que

uv = 1

^{si et seulement si}

w = ρ

^{. Mais si}

w = ρ

^,

w ³ = 1

^et

r _C ³

est l'identité. Comme

r ³ _C = ρ _C

^{ei est impossible ar les trois points}

A

^,

B

^et

C

^{ne sont}

pas alignés. Pour la même raison

vw

^et

wu

^{sont distints de 1, de sorte que}

n = 0

^{si et}

seulement si

z _C + ρz _A + ρ ² z _B = 0

^.

La transformation

r ³ _A r ³ _B r ³ _C

^{estl'identité sietseulement si}

z _C + ρz _A + ρ ² z _B = 0

^.

10. Ilrésultedesdeuxquestionspréédentesque

z C +ρz A + ρ ² z B = 0

^,etdonque

(z C , z A , z B )

sont lesaxes d'untriangle équilatéral,d'aprèslaquestion 2.

Les intersetions des trissetries intérieures des angles d'un triangle forment un tri-

angle équilatéral.

MPSI

^{2 DL 2 Solution distribuée le07/10/09}

Exerie 2

1. Ona,pour toutomplexe

z

^,

|z − a| ² = (z − a)(¯ z − ¯ a) = |z| ² − a¯ z − az ¯ + |a| ²

etdon :

|z − a| = R ⇔ |z − a| ² = R ²

⇔ z¯ z − 2Re(¯ az) + |a| ² − R ² = 0 .

L'équation du erle

Γ _a,R

^{, de entre}

A(a)

^{et de rayon}

R

^{est donnée, en termes de}

nombres omplexes, par

z¯ z − 2Re(¯ az) + |a| ² − R ² = 0 .

2. Lesdeuxonditions dénissant

P

^{setraduisent en termesomplexes par}

arg

z ^′ − a z − a

= 0 et |z ^′ − a|.|z − a| = R ² .

Ouenore

arg (z ^′ − a)(¯ z − ¯ a)

= 0 et |z ^′ − a|.|¯ z − ¯ a| = R ²

i.e.

(z ^′ − a)(¯ z − ¯ a) = R ²

^.

Le point

P (z ^′ )

^vériant

(a)

P (z ^′ )

^{est situé surla}demi-droite issuede

A(a)

^{passant par}

M (z)

^;

(b) leproduitdes distanes

AM

^et

AP

^{est égalà}

R ²

^.

estdonné par laformule

z ^′ = a + R ²

¯ z − ¯ a

^.

3. Soit

z

^{un omplexe. Pour tout réel}

r

^{stritement positif, on a}

(|z − a| = r ⇒ z 6= a)

^{, et,}

en posant,

z ^′ = i _A,R (z)

^,

|z − a| = r ⇔ R ²

|z − a| = R ² r

⇔ |z ^′ − a| = R ² r

de sorteque

Γ _a,r

^{esttransformé en}

Γ _a,R 2 /r

^.

Latransformation

i _A,R

^{transformeunerledeentre}

A

^derayon

r

^{en unautreerle}

de entre

A

^{de rayon}

R ² /r

^.

4. Soit

z

^{un omplexe.}

Pour toutomplexe

b

^{ettoutréelstritement positif}

r

^{tels que}

|b − a| 6= r

^{,on a}

(|z − b| = r ⇒ z 6= a)

^etdon

z ^′ = i _A,R (z)

^{existe et, sion pose}

Z = (z − a)/R

^et

Z ^′ = (z ^′ − a)/R

on a

Z ^′ = 1/ Z ¯

^{et don}

Z = 1/ Z ¯ ^′

^{. On a, ave les notations} préédentes,

(|z − b| = r ⇔

|RZ + a − b| = r)

^,i.e.

(|z − b| = r ⇔ |Z − (b − a)/R| = r/R

^{).Onseramène don auas}

a = 0

^et

R = 1

^{en onsidérant}

Z

^et

Z ^′

^{et en remplaçant}

b

^par

β = (b − a)/R

^et

r

^par

ρ = r/R

^{.Il vient, en tenant ompte de}

|β | = |b − a|/R

^et

r/R = ρ

^{et don de}

|β| 6= ρ

^et

ausside

Z 6= 0

^et

Z ^′ 6= 0

^,

|z − b| = r ⇔ |Z − β| = ρ ⇔ | Z ¯ − β| ¯ = ρ

⇔ |Z ^′ Z ¯ − Z ^′ β| ¯ = ρ|Z ^′ | ⇔ |1 − Z ^′ β| ¯ = ρ|Z ^′ |

⇔ Z ^′ − _β ¹ _¯

|Z ^′ | = ρ

|β|

etdon, puisque

ρ/|β| 6= 1

^{, ette dernièreéquation représenteun erle, ar'estla ligne}

deniveaud'unefontionrapportdedistanes.Sonentreestsurladroitepassantpar

0

^et

1/ β ¯

^{,i.e.surladroitedirigéepar}

β

^.Si

Z ^′ = t/ β ¯

^,ona

|Z ^′ | = |t|/|β|

^et

|Z ^′ −1/ β ¯ | = |t−1|/|β|

^,

de sorte que

|z − b| = r

^{sietseulement si}

|1 − 1/t| = ρ/|β|

^,i.e.

t = 1/(1 ± ρ/|β|)

^{et don}

leentredu erlereprésenté par l'équationpréédente estobtenu pour

t = 1 2

1

1 + _|β| ^ρ + 1 1 − _|β| ^ρ

!

= |β| ²

|β| ² − ρ ²

i.e.le entre est d'axe

β/(|β | ² − ρ ² )

^{. Onremarque aussiquesi}

|z − b| = r

^,alors

Z ^′ 6= 0

etdon leerleobtenu ne passepaspar

A

^.

Enrevenant auxvariablesde départ, il vient

La transformation

i A,R

^{transforme un erle de entre}

B

^{etde rayon}

r

^{etne passant}

paspar

A

^{enun autretel erle, deentre d'axe}

R(b − a)/(|b − a| ² − r ² )

^.

5. (a) Ladroite

(BC)

^oupeleerle

Γ ^′

^{endeuxpointsdontl'unesttelque}

C

^soitentre

B

^et

lui.Notons

M

^epoint.Ona

CM = r ^′

^{.Parailleurs,ona}

BM = BC +CM = BC +r ^′

puisque

B

^,

C

^et

M

^{sontalignésdansetordre.Comme}

Γ ^′

^{estinlusstritementdans}

Γ

^,on

BM < r

^,i.e.

on a

BC < r − r ^′

^.

(b) Si

B = C

^{,une inversionde entre}

B

^{onvient d'aprèslaquestion 3.Sinon, notons}

b

et

c

^{les axesde}

B

^et

C

^{.D'aprèslaquestion préédente,on herhe}

a

^et

R

^{tels que}

R(b − a)(|c − a| ² − (r ^′ ) ² ) = R(c − a)(|b − a| ² − r ² ) .

Onhoisit

A

^surladroite

(BC)

^{en posant}

a = b + t(c − b)

^{.L'équation préédentese}

rérit

t(b − c)((r ^′ ) ² − |c − b| ² (1 − t) ² ) = (1 − t)(c − b)(r ² − |c − b| ² t ² )

ou enore

|c − b| ² t(t − 1) = (t − 1) ² r ² − t ² (r ^′ ) ² .

Ledisriminantdeetteéquationest

|c − b| ⁴ + 4(rr ^′ ) ²

^{etestdonstritementpositif.}

Il enrésulteque

t

^{peutêtre hoisipourque etteéquationsoit satisfaiteetdonque}

i _A,1

^envoie

Γ

^et

Γ ^′

^surdeuxerles onentriques.

Onpeuthoisir

A

^et

R

^{de sorte que lesimages des deuxerles}

Γ

^et

Γ ^′

^par

i _A,R

^{soient deserles} onentriques.

MPSI

^{2 DL 2 Solution distribuée le07/10/09}

()

(d) i. Si

Γ

^et

Γ ^′

^sont onentriques, lerayon des erles

Γ _i

^{est égal à}

(r − r ^′ )/2

^{et les}

entres de eserlessont situéssurleerlede entre

B

^{etde rayon}

(r + r ^′ )/2

^.

Puisque deuxerles

Γ _i

^{onséutifssont tangents, ladistaneentreleurs entres}

estégaleàlasommedeleursrayons,i.e.

r − r ^′

^{.Orletriangleformépar}

B

^etdeux

entres onséutifsest isoèle puisquees entres sont à une distane

(r + r ^′ )/2

de

B

^.Si

θ

^{estl'angle en}

B

^{de e triangle, on a}

r − r ^′ = 2 r + r ^′

2 sin θ

2

etdon

θ = 2 arcsin((r − r ^′ )/(r + r ^′ ))

^{.La haîne serefermesietseulement siles}

entres deserlesreviennentdeuxfoisaumêmeendroit,etdonsietseulement

si

nθ

^{est un multiple de}

2π

^{pour un ertainentier naturel non nul}

n

^{,ou enore}

si etseulement si

θ

^{est unmultiple rationnel de}

π

^.

Cette dernièreondition peutenore s'érire

∃α ∈ Q , r − r ^′

r + r ^′ = sin(απ) .

Elle est indépendanteduhoix de

Γ ₁

^.

Si

Γ

^et

Γ ^′

^sontonentriques,une tellehaînede erlesserefermeindépen- damment du hoixde

Γ ₁

^.

ii. Une inversiontransforme leserles enerles. Par ailleursdeuxerles sonttan-

gents siet seulement siils ont un etun seul point ommun etdon, puisqu'une

inversionestbijetive(surle planprivé duentred'inversion), uneinversionen-

voie deux erles tangents (ne passant pas par le entre d'inversion) sur deux

erles tangents. Elle envoiedon unehaîne de erles tangents surune haîne

de erles tangents.

Si don une tellehaîne de erles sereferme, alors sonimage par une inversion

aussi. Sionhoisituneinversionquienvoie

Γ

^et

Γ ^′

^surdeserlesonentriques, le fait que la haîne image se referme entraine, d'après la question préédente,

quetoutehaîneimagesereferme,etdonenrevenantà

Γ

^et

Γ ^′

^{,toutehaînese}

referme.

Même si

Γ

^et

Γ ^′

^{ne sont pas} onentriques, une telle haîne de erles se refermeindépendamment du hoix de

Γ ₁

^.